Un defensa central que ocasionalmente juega de lateral por la derecha,[2] Mepham comenzó su carrera en la academia del Chelsea Football Club a los 10 años.
[3] Luego de su salida del Chelsea a la edad de 14 años, fue rechazado por las inferiores del Watford y el Queens Park Rangers.
[4] Mepham se unió a la academia del Brentford en 2012,[3] y firmó su primer contrato profesional con el club el 2 de febrero de 2016.
[5] Para la temporada 2017-18, luego de la salida del central Harlee Dean en agosto de 2017, Mepham fue promovido al primer equipo y renovó su contrato con el club por cinco años.
[8] Jugó 23 encuentros y anotó un gol en su primera temporada con el Brentford.