Nacido en San Cristobal de La Laguna, empezó a recibir sus primeras lecciones de canto con la eminente profesora y cantante, Pilar Castro Palazón, más tarde pasó al Conservatorio Profesional de Música de Santa Cruz de Tenerife con Isabel García Soto y a la Escuela Superior de Música Reina Sofía de Madrid con Tom Krause y Manuel Cid, perfeccionándose más tarde con Carlo Bergonzi en la Accademia de Busseto.

En 2006, debutó con el personaje del Duca di Mantova de Rigoletto (Verdi) en Busseto,[1]​ junto a Leo Nucci.

Ha cantado en la Royal Opera House de Londres (La sonámbula[9]​), en la Opéra National de Paris (La hija del regimiento[10]​), la Ópera Estatal de Viena (El elixir de amor, La sonámbula), en la Ópera Alemana de Berlín, el Gran Teatro del Liceu de Barcelona (La sonámbula, Capuletos y Montescos) (Lucía de Lammermoor[11]​).

Celso Albelo ha sido galardonado con el Premios Ópera Actual 2008, el Oscar de la Lírica de la Fundación Verona per l’Arena (2010-2012), el Premio Lírico Teatro Campoamor 2010 en la categoría Cantante revelación (por Los puritanos de Escocia) y en 2012 en la categoría Mejor tenor de la temporada (por El elixir de amor en Bilbao).

Ha recibido la Medalla de Oro de Canarias 2013, el Premio Giuseppe Lugo 2013 en Italia, el Premio Codalario 2014 y el Premio Taburiente en el 2017.