La desigualdad de Harnack aplicada a funciones armónicas.
Tras estudiar en su ciudad natal, se trasladó a Erlangen para convertirse en alumno de Felix Klein.
Un año más tarde aceptó un puesto en la Universidad Técnica de Darmstadt.
Harnack sufriría problemas de salud a partir de 1882, lo que le obligaría a pasar largas temporadas en un sanatorio.
Publicó 29 artículos científicos y fue un matemático muy conocido hasta el momento de su muerte.