Tras haber realizado estudios de arquitectura en la capital soviética, se dio a conocer en la época que Ilyá Ehrenburg denominara del deshielo, junto con otros jóvenes como Yevgueni Yevtushenko y Róbert Rozhdéstvenski con una primera selección de sus poemas en los que, al lado de una técnica innovadora en el plano formal (superposición estrófica, elipsis, barroquismo metafórico, etc.), plantea un lirismo metafísico y simbolista, bien lejano del realismo socialista de anteriores generaciones poéticas.

Dentro de esa tónica intimista y original, ha publicado Los amos (1958), Mosaico (1960), Parábola (1960), La pera triangular (1962), Antimundos (1964) y La sombra del sonido (1970).

En 1972 Andréi Voznesenski eligió como tema la historia de amor de Nikolái Rezánov y Concepción Argüello y escribió su poema famoso Juno y Avós.

En 1979, basándose en el poema, el compositor Alekséi Rýbnikov escribió una de las primeras óperas rock rusas.

Se bautizó con su nombre a un planeta menor 3723 Voznesenskij, descubierto por el astrónomo soviético Nikolái Chernyj en 1976. Poemas Libros de versos Prosa