Convergencia débil (espacio de Hilbert)

Tipo de convergencia en los espacios de Hilbert

En matemáticas , la convergencia débil en un espacio de Hilbert es la convergencia de una secuencia de puntos en la topología débil .

Definición

Se dice que una secuencia de puntos en un espacio de Hilbert H converge débilmente a un punto x en H si ${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle x_{n},y\rangle =\langle x,y\rangle }$

para todo y en H . Aquí, se entiende que es el producto interno en el espacio de Hilbert. La notación ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle x_{n}\rightharpoonup x}$

A veces se utiliza para denotar este tipo de convergencia. ^[1]

Propiedades

• Si una secuencia converge fuertemente (es decir, si converge en norma), entonces también converge débilmente.
• Dado que todo conjunto cerrado y acotado es relativamente compacto (su clausura en la topología débil es compacta), toda sucesión acotada en un espacio de Hilbert H contiene una subsucesión débilmente convergente. Nótese que los conjuntos cerrados y acotados no son en general débilmente compactos en espacios de Hilbert (consideremos el conjunto que consiste en una base ortonormal en un espacio de Hilbert de dimensión infinita que es cerrado y acotado pero no débilmente compacto ya que no contiene 0). Sin embargo, los conjuntos acotados y débilmente cerrados son débilmente compactos, por lo que, como consecuencia, todo conjunto cerrado acotado convexo es débilmente compacto. ${\displaystyle x_{n}}$
• Como consecuencia del principio de acotación uniforme , toda secuencia débilmente convergente está acotada.
• La norma es (secuencialmente) débilmente semicontinua inferior : si converge débilmente a x , entonces ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \Vert x\Vert \leq \liminf _{n\to \infty }\Vert x_{n}\Vert ,}$

Y esta desigualdad es estricta siempre que la convergencia no sea fuerte. Por ejemplo, las sucesiones ortonormales infinitas convergen débilmente a cero, como se demuestra a continuación.

• Si débilmente y , entonces fuertemente: ${\displaystyle x_{n}\to x}$ ${\displaystyle \lVert x_{n}\rVert \to \lVert x\rVert }$ ${\displaystyle x_{n}\to x}$

${\displaystyle \langle x-x_{n},x-x_{n}\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x_{n},x_{n}\rangle -\langle x_{n},x\rangle -\langle x,x_{n}\rangle \rightarrow 0.}$

• Si el espacio de Hilbert es de dimensión finita, es decir, un espacio euclidiano , entonces la convergencia débil y fuerte son equivalentes.

Ejemplo

Las tres primeras funciones de la secuencia en . Como converge débilmente a . ${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle f=0}$

El espacio de Hilbert es el espacio de las funciones integrables al cuadrado en el intervalo equipado con el producto interno definido por ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{2\pi }f(x)\cdot g(x)\,dx,}$

(ver espacio L p ). La secuencia de funciones definida por ${\displaystyle f_{1},f_{2},\ldots }$

${\displaystyle f_{n}(x)=\sin(nx)}$

converge débilmente a la función cero en , como la integral ${\displaystyle L^{2}[0,2\pi ]}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\sin(nx)\cdot g(x)\,dx.}$

tiende a cero para cualquier función integrable al cuadrado en cuando tiende a infinito, lo cual es según el lema de Riemann-Lebesgue , es decir ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \langle f_{n},g\rangle \to \langle 0,g\rangle =0.}$

Aunque tiene un número creciente de 0 en cuanto tiende al infinito, por supuesto no es igual a la función cero para ningún . Nótese que no converge a 0 en las normas o . Esta disimilitud es una de las razones por las que este tipo de convergencia se considera "débil". ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle L_{2}}$

Convergencia débil de secuencias ortonormales

Consideremos una secuencia que fue construida para ser ortonormal, es decir, ${\displaystyle e_{n}}$

${\displaystyle \langle e_{n},e_{m}\rangle =\delta _{mn}}$

donde es igual a uno si m = n y cero en caso contrario. Afirmamos que si la sucesión es infinita, entonces converge débilmente a cero. Una prueba sencilla es la siguiente. Para x ∈ H , tenemos ${\displaystyle \delta _{mn}}$

${\displaystyle \sum _{n}|\langle e_{n},x\rangle |^{2}\leq \|x\|^{2}}$( Desigualdad de Bessel )

donde la igualdad se cumple cuando { e _n } es una base del espacio de Hilbert. Por lo tanto

${\displaystyle |\langle e_{n},x\rangle |^{2}\rightarrow 0}$(dado que la serie anterior converge, su secuencia correspondiente debe tender a cero)

es decir

${\displaystyle \langle e_{n},x\rangle \rightarrow 0.}$

Teorema de Banach-Saks

El teorema de Banach-Saks establece que toda secuencia acotada contiene una subsecuencia y un punto x tal que ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{n_{k}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{k=1}^{N}x_{n_{k}}}$

converge fuertemente a x cuando N tiende a infinito.

Generalizaciones

La definición de convergencia débil se puede extender a los espacios de Banach . Se dice que una secuencia de puntos en un espacio de Banach B converge débilmente a un punto x en B si para cualquier funcional lineal acotado definido en , es decir, para cualquier en el espacio dual . Si es un espacio Lp en y , entonces cualquier tal tiene la forma para algún , donde es la medida en y son índices conjugados . ${\displaystyle (x_{n})}$ $${\displaystyle f(x_{n})\to f(x)}$$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle p<+\infty }$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(x)=\int _{\Omega }x\,y\,d\mu }$$ ${\displaystyle y\in \,L^{q}(\Omega )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}$

En el caso donde es un espacio de Hilbert, entonces, por el teorema de representación de Riesz , para algunos en , por lo que se obtiene la definición del espacio de Hilbert de convergencia débil. ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle f(\cdot )=\langle \cdot ,y\rangle }$$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle B}$

Véase también

• Topología dual
• Topologías de operadores : topologías en el conjunto de operadores en un espacio de Hilbert

Referencias

1. "redireccionar". dept.math.lsa.umich.edu . Consultado el 17 de septiembre de 2024 .