Potencial vectorial magnético

Integral del campo magnético

En el electromagnetismo clásico , el potencial vectorial magnético (a menudo llamado A ) es la cantidad vectorial definida de modo que su rotacional sea igual al campo magnético : . Junto con el potencial eléctrico φ , el potencial vectorial magnético también se puede utilizar para especificar el campo eléctrico E. Por lo tanto, muchas ecuaciones de electromagnetismo se pueden escribir en términos de los campos E y B , o equivalentemente en términos de los potenciales φ y A. En teorías más avanzadas, como la mecánica cuántica , la mayoría de las ecuaciones utilizan potenciales en lugar de campos. ${\textstyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

El potencial vectorial magnético fue introducido por primera vez por Franz Ernst Neumann y Wilhelm Eduard Weber en 1845 y 1846, respectivamente. William Thomson también introdujo el potencial vectorial en 1847, junto con la fórmula que lo relaciona con el campo magnético. ^{[1] [2]}

Convenciones de unidad

Este artículo utiliza el sistema SI.

En el sistema SI , las unidades de A son V · s · m ⁻¹ y son las mismas que las de momento por unidad de carga o fuerza por unidad de corriente .

Potencial vectorial magnético

El potencial vectorial magnético, , es un campo vectorial , y el potencial eléctrico , , es un campo escalar tal que: ^[3] donde es el campo magnético y es el campo eléctrico . En magnetostática , donde no hay distribución de corriente o carga que varíe con el tiempo , solo se necesita la primera ecuación. (En el contexto de la electrodinámica , los términos potencial vectorial y potencial escalar se utilizan para el potencial vectorial magnético y el potencial eléctrico , respectivamente. En matemáticas, el potencial vectorial y el potencial escalar se pueden generalizar a dimensiones superiores). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ ,\quad \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}},}$$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$

Si los campos eléctricos y magnéticos se definen como se ha indicado anteriormente a partir de potenciales, satisfacen automáticamente dos de las ecuaciones de Maxwell : la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Faraday . Por ejemplo, si es continua y está bien definida en todas partes, entonces se garantiza que no dará lugar a monopolos magnéticos . (En la teoría matemática de monopolos magnéticos, se permite que sea indefinida o de múltiples valores en algunos lugares; consulte monopolo magnético para obtener más detalles). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Comenzando con las definiciones anteriores y recordando que la divergencia del rizo es cero y el rizo del gradiente es el vector cero: $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} &=\nabla \cdot \left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=0\ ,\\\nabla \times \mathbf {E} &=\nabla \times \left(-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {A} \right)=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}~.\end{aligned}}}$$

Alternativamente, la existencia de y se garantiza a partir de estas dos leyes utilizando el teorema de Helmholtz . Por ejemplo, dado que el campo magnético no presenta divergencia (ley de Gauss para el magnetismo; es decir, ), siempre existe que satisface la definición anterior. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

El potencial vectorial se utiliza al estudiar el lagrangiano en mecánica clásica y en mecánica cuántica (véase ecuación de Schrödinger para partículas cargadas , ecuación de Dirac , efecto Aharonov-Bohm ). ${\displaystyle \mathbf {A} }$

En el acoplamiento mínimo , se llama momento potencial y es parte del momento canónico . ${\displaystyle q\mathbf {A} }$

La integral de línea de sobre un bucle cerrado, , es igual al flujo magnético , , a través de una superficie, , que encierra: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Phi _{\mathbf {B} }}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {A} \,\cdot \ d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {A} \ \cdot \ d\mathbf {S} =\Phi _{\mathbf {B} }~.}$$

Por lo tanto, las unidades de también son equivalentes a weber por metro . La ecuación anterior es útil en la cuantificación del flujo de bucles superconductores . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Aunque el campo magnético, , es un pseudovector (también llamado vector axial ), el potencial vectorial, , es un vector polar . ^[4] Esto significa que si la regla de la mano derecha para productos cruzados se reemplazara por una regla de la mano izquierda, pero sin cambiar ninguna otra ecuación o definición, entonces cambiaría de signo, pero A no cambiaría. Este es un ejemplo de un teorema general: el rotacional de un vector polar es un pseudovector, y viceversa. ^[4] ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

Opciones de calibre

La definición anterior no define el potencial vectorial magnético de manera única porque, por definición, podemos agregar arbitrariamente componentes libres de rizo al potencial magnético sin cambiar el campo magnético observado. Por lo tanto, hay un grado de libertad disponible al elegir . Esta condición se conoce como invariancia de calibre . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Dos opciones de calibre comunes son

• El calibre de Lorenz : $${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$
• El calibre de Coulomb : $${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$$

Calibre de Lorenz

En otros calibres, las fórmulas para y son diferentes; por ejemplo, consulte el calibre de Coulomb para conocer otra posibilidad. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

Dominio del tiempo

Usando la definición anterior de los potenciales y aplicándola a las otras dos ecuaciones de Maxwell (las que no se satisfacen automáticamente) se obtiene una ecuación diferencial complicada que se puede simplificar usando el calibre de Lorenz donde se elige para satisfacer: ^[3] ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0}$$

Utilizando el calibre de Lorenz, las ecuaciones de ondas electromagnéticas se pueden escribir de forma compacta en términos de los potenciales, ^[3]

• Ecuación de onda del potencial escalar $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\phi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\ \partial t^{2}}}&=-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\[2.734ex]\end{aligned}}}$$
• Ecuación de onda del potencial vectorial $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\ \partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\ \mathbf {J} \end{aligned}}}$$

Las soluciones de las ecuaciones de Maxwell en el calibre de Lorenz (ver Feynman ^[3] y Jackson ^[5] ) con la condición límite de que ambos potenciales llegan a cero suficientemente rápido a medida que se acercan al infinito se denominan potenciales retardados , que son el potencial vectorial magnético y el potencial escalar eléctrico debido a una distribución de corriente de densidad de corriente , densidad de carga y volumen , dentro de la cual y son distintos de cero al menos algunas veces y en algunos lugares): ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

• Soluciones $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\\\phi \!\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$

donde los campos en el vector de posición y el tiempo se calculan a partir de fuentes en una posición distante en un tiempo anterior . La ubicación es un punto de origen en la distribución de carga o corriente (también la variable de integración, dentro del volumen ). El tiempo anterior se denomina tiempo retardado y se calcula como ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle t'}$ $${\displaystyle R={\bigl \|}\mathbf {r} -\mathbf {r} '{\bigr \|}~.}$$ $${\displaystyle t'=t-{\frac {\ R\ }{c}}~.}$$

Notas del dominio del tiempo

• Se cumple la condición del calibre de Lorenz :

$${\displaystyle \ \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{\ c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0~.}$$

• La posición de , el punto en el que se encuentran los valores de y , solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar de a La dirección de a no entra en la ecuación. Lo único que importa sobre un punto de origen es qué tan lejos está. ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} .}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• El integrando utiliza tiempo retardado . Esto refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz. Por lo tanto, las densidades de carga y corriente que afectan el potencial eléctrico y magnético en y desde una ubicación remota también deben estar en algún momento anterior. ${\displaystyle t'.}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle t'.}$
• La ecuación para es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se divide en tres ecuaciones escalares: ^[6] De esta forma, es evidente que el componente de en una dirección dada depende únicamente de los componentes de que están en la misma dirección. Si la corriente circula por un cable recto, apunta en la misma dirección que el cable. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{x}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{y}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{y}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '\ ,\qquad A_{z}\left(\mathbf {r} ,t\right)&={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {J_{z}\left(\mathbf {r} ',t'\right)}{R}}\ d^{3}\mathbf {r} '~.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Dominio de frecuencia

Las ecuaciones del dominio del tiempo anteriores se pueden expresar en el dominio de la frecuencia. ^{[7] : 139}

• Calibre de Lorenz o ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {j\omega }{c^{2}}}\phi =0\qquad }$ ${\displaystyle \qquad \phi ={\frac {j\omega }{k^{2}}}\nabla \cdot \mathbf {A} }$
• Soluciones ${\displaystyle \mathbf {A} \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {\mu _{0}}{\ 4\pi \ }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '\qquad \phi \!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{\Omega }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}d^{3}\mathbf {r} '}$
• Ecuaciones de ondas ${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +k^{2}\phi =-{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\qquad \nabla ^{2}\mathbf {A} +k^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\ \mathbf {J} .}$
• Ecuaciones del campo electromagnético ${\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \ \qquad \mathbf {E} =-\nabla \phi -j\omega \mathbf {A} =-j\omega \mathbf {A} -j{\frac {\omega }{k^{2}}}\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )}$

dónde

${\displaystyle \phi }$y son fasores escalares . ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {E} ,}$y son fasores vectoriales . ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}$

Notas sobre el dominio de frecuencia

Hay algunas cosas destacables sobre este método de cálculo: ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \phi }$

• Se satisface la condición de calibre de Lorenz : esto implica que el potencial eléctrico del dominio de frecuencia, , se puede calcular completamente a partir de la distribución de densidad de corriente, . ${\displaystyle \textstyle \phi =-{\frac {c^{2}}{j\omega }}\nabla \cdot \mathbf {A} .}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$
• La posición del punto en el que se encuentran los valores de y solo entra en la ecuación como parte de la distancia escalar de a La dirección de a no entra en la ecuación. Lo único que importa sobre un punto de origen es qué tan lejos está. ${\displaystyle \mathbf {r} ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} .}$ ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$
• El integrando utiliza el término de desplazamiento de fase , que desempeña un papel equivalente al tiempo retardado . Esto refleja el hecho de que los cambios en las fuentes se propagan a la velocidad de la luz; el retardo de propagación en el dominio del tiempo es equivalente a un desplazamiento de fase en el dominio de la frecuencia. ${\displaystyle e^{-jkR}}$
• La ecuación para es una ecuación vectorial. En coordenadas cartesianas, la ecuación se divide en tres ecuaciones escalares: ^[6] De esta forma, es evidente que el componente de en una dirección dada depende únicamente de los componentes de que están en la misma dirección. Si la corriente circula por un cable recto, apunta en la misma dirección que el cable. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} _{x}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{x}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{y}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{y}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} ',\qquad \mathbf {A} _{z}\!\left(\mathbf {r} ,\omega \right)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {J} _{z}\left(\mathbf {r} ',\omega \right)}{R}}\ e^{-jkR}\ d^{3}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} \ }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Representación del campo A

Representación de los campos de potencial magnético de calibre de Coulomb , densidad de flujo magnético y densidad de corriente alrededor de un inductor toroidal de sección transversal circular . Las líneas más gruesas indican líneas de campo de mayor intensidad promedio. Los círculos en la sección transversal del núcleo representan el campo que sale de la imagen, los signos más representan el campo que entra en la imagen . ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$

Véase Feynman ^[8] para la representación del campo alrededor de un solenoide largo y delgado . ${\displaystyle \mathbf {A} }$

Dado que se suponen condiciones cuasiestáticas, es decir $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\ \mathbf {J} }$$

${\displaystyle {\frac {\ \partial \mathbf {E} \ }{\partial t}}\to 0\ }$y , ${\displaystyle \ \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {B} }$

Las líneas y contornos de se relacionan con como las líneas y contornos de se relacionan con Por lo tanto, una representación del campo alrededor de un bucle de flujo (como se produciría en un inductor toroidal ) es cualitativamente la misma que el campo alrededor de un bucle de corriente. ${\displaystyle \ \mathbf {A} \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {B} \ }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \ \mathbf {J} .}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

La figura de la derecha es una representación artística del campo. Las líneas más gruesas indican trayectorias de mayor intensidad media (las trayectorias más cortas tienen mayor intensidad, por lo que la integral de la trayectoria es la misma). Las líneas se dibujan para transmitir (estéticamente) el aspecto general del campo. ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$

El dibujo supone tácitamente que es cierto bajo cualquiera de los siguientes supuestos: ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}$

• Se supone que el calibre de Coulomb
• Se supone que el calibre de Lorenz es correcto y que no hay distribución de carga, ${\displaystyle \rho =0}$
• Se asume el calibre de Lorenz y se supone una frecuencia cero.
• Se supone que el calibre de Lorenz es una frecuencia distinta de cero, pero aún así se supone que es lo suficientemente baja como para descuidar el término. ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

Electromagnético de cuatro potenciales

En el contexto de la relatividad especial , es natural unir el potencial vectorial magnético junto con el potencial eléctrico (escalar) en el potencial electromagnético , también llamado cuatro-potencial .

Una de las razones para hacerlo es que el potencial cuatridimensional es un vector matemático . Por lo tanto, utilizando las reglas de transformación de cuatro vectores estándar, si se conocen los potenciales eléctrico y magnético en un sistema de referencia inercial, se pueden calcular de manera sencilla en cualquier otro sistema de referencia inercial.

Otra motivación relacionada es que el contenido del electromagnetismo clásico se puede escribir de forma concisa y conveniente utilizando el potencial electromagnético de cuatro, especialmente cuando se utiliza el calibre de Lorenz . En particular, en la notación de índice abstracto , el conjunto de ecuaciones de Maxwell (en el calibre de Lorenz) se puede escribir (en unidades gaussianas ) de la siguiente manera: donde es el d'Alembertiano y es la corriente de cuatro . La primera ecuación es la condición de calibre de Lorenz, mientras que la segunda contiene las ecuaciones de Maxwell. El potencial de cuatro también juega un papel muy importante en la electrodinámica cuántica . $${\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{\nu }A_{\nu }&=0\\\Box ^{2}A_{\nu }&={\frac {4\pi }{\ c\ }}\ J_{\nu }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \ \Box ^{2}\ }$ ${\displaystyle \ J\ }$

Partícula cargada en un campo

En un campo con potencial eléctrico y potencial magnético , el lagrangiano ( ) y el hamiltoniano ( ) de una partícula con masa y carga son ${\displaystyle \ \phi \ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {L}}\ }$ ${\displaystyle \ {\mathcal {H}}\ }$ ${\displaystyle \ m\ }$ ${\displaystyle \ q\ }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {1}{2}}m\ \mathbf {v} ^{2}+q\ \mathbf {v} \cdot \mathbf {A} -q\ \phi \ ,\\{\mathcal {H}}&={\frac {1}{2m}}\left(q\ \mathbf {A} -\mathbf {p} \right)^{2}+q\ \phi ~.\end{aligned}}}$$

Véase también

• Potencial escalar magnético
• Efecto Aharonov-Bohm
• Campo de gluones

Notas

1. Neumann, Franz Ernst (1 de enero de 1846). "Allgemeine Gesetze der induzirten elektrischen Ströme (Leyes generales de las corrientes eléctricas inducidas)". Annalen der Physik . 143 (11): 31–34. doi : 10.1002/andp.18461430103.
2. Yang, ChenNing (2014). "Los orígenes conceptuales de las ecuaciones de Maxwell y la teoría de gauge". Physics Today . 67 (11): 45–51. Bibcode :2014PhT....67k..45Y. doi :10.1063/PT.3.2585.
3. Feynman (1964), pág. 15
4. Fitzpatrick, Richard. "Tensores y pseudotensores" (notas de clase). Austin, TX: Universidad de Texas .
5. Jackson (1999), pág. 246
6. Kraus (1984), pág. 189
7. Balanis, Constantine A. (2005), Teoría de antenas (tercera edición), John Wiley, ISBN 047166782X
8. Feynman (1964), pág. 11, capítulo 15

Referencias

• Duffin, WJ (1990). Electricidad y magnetismo, cuarta edición . McGraw-Hill.
• Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew (1964). Las conferencias Feynman sobre física, volumen 2. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02117-X.
• Jackson, John David (1999). Electrodinámica clásica (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.
• Kraus, John D. (1984). Electromagnetismo (3.ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-035423-5.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Potencial magnético vectorial en Wikimedia Commons