En matemáticas , una variedad de Haken es una variedad compacta P²-irreducible de 3 dimensiones que es suficientemente grande , lo que significa que contiene una superficie incompresible de dos lados adecuadamente incrustada . A veces se consideran sólo variedades de Haken orientables, en cuyo caso una variedad de Haken es una variedad de 3 compacta, orientable e irreducible que contiene una superficie orientable e incompresible.
Se dice que una variedad de 3 cubiertas finitamente por una variedad de Haken es prácticamente Haken . La conjetura de Virtualmente Haken afirma que cada variedad 3 compacta e irreducible con un grupo fundamental infinito es virtualmente Haken. Esta conjetura fue probada por Ian Agol . [1]
Las variedades Haken fueron introducidas por Wolfgang Haken (1961). Haken (1962) demostró que las variedades de Haken tienen una jerarquía , donde se pueden dividir en 3 bolas a lo largo de superficies incompresibles. Haken también demostró que había un procedimiento finito para encontrar una superficie incompresible si la variedad 3 tenía una. William Jaco y Ulrich Oertel (1984) dieron un algoritmo para determinar si una variedad 3 era Haken.
Las superficies normales son omnipresentes en la teoría de las variedades de Haken y su estructura simple y rígida conduce de forma bastante natural a algoritmos.
Consideraremos sólo el caso de variedades de Haken orientables , ya que esto simplifica la discusión; una vecindad regular de una superficie orientable en una variedad orientable de 3 es simplemente una versión "engrosada" de la superficie, es decir, un paquete I trivial . Entonces, la vecindad regular es una subvariedad tridimensional con un límite que contiene dos copias de la superficie.
Dada una variedad de Haken orientable M , por definición contiene una superficie orientable e incompresible S. Tome la vecindad regular de S y elimine su interior de M , lo que da como resultado M' . En efecto, hemos cortado M a lo largo de la superficie S. (Esto es análogo, en una dimensión menos, a cortar una superficie a lo largo de un círculo o arco). Es un teorema que cualquier variedad compacta orientable con un componente límite que no sea una esfera tiene un primer grupo de homología infinito , lo que implica que tiene una superficie incompresible que no se separa de 2 lados correctamente incrustada, y también lo es nuevamente una variedad de Haken. Por tanto, podemos elegir otra superficie incompresible en M' y cortar a lo largo de ella. Si finalmente esta secuencia de corte da como resultado una variedad cuyas piezas (o componentes) son solo 3 bolas, llamamos a esta secuencia jerarquía.
La jerarquía hace que demostrar ciertos tipos de teoremas sobre las variedades de Haken sea una cuestión de inducción. Se prueba el teorema de 3 bolas. Luego se demuestra que si el teorema es verdadero para las piezas resultantes del corte de una variedad de Haken, entonces es cierto para esa variedad de Haken. La clave aquí es que el corte se realiza a lo largo de una superficie que resulta muy "bonita", es decir, incompresible. Esto hace que en muchos casos sea factible probar el paso de inducción.
Haken esbozó una prueba de un algoritmo para comprobar si dos variedades de Haken eran homeomórficas o no. Su esquema se completó con esfuerzos sustanciales de Friedhelm Waldhausen , Klaus Johannson, Geoffrey Hemion, Sergeĭ Matveev y otros. Dado que existe un algoritmo para comprobar si una variedad 3 es Haken (cf. Jaco-Oertel), se puede considerar que el problema básico de reconocimiento de variedades 3 está resuelto para las variedades Haken.
Friedhelm Waldhausen (1968) demostró que las variedades cerradas de Haken son topológicamente rígidas : aproximadamente, cualquier equivalencia de homotopía de las variedades de Haken es homotópica a un homeomorfismo (para el caso de la frontera, se necesita una condición sobre la estructura periférica). Entonces estas tres variedades están completamente determinadas por su grupo fundamental. Además, Waldhausen demostró que los grupos fundamentales de las variedades de Haken tienen problemas verbales que se pueden resolver; Esto también es válido para variedades prácticamente Haken.
La jerarquía jugó un papel crucial en el teorema de hiperbolización de William Thurston para variedades de Haken, parte de su revolucionario programa de geometrización para 3 variedades.
Johannson (1979) demostró que las tres variedades de Haken atoroidales , anulares y de límites irreducibles tienen grupos de clases de mapeo finitos . Este resultado se puede recuperar de la combinación de la rigidez de Mostow con el teorema de geometrización de Thurston.
Tenga en cuenta que algunas familias de ejemplos están contenidas en otras.