Variedad esférica de 3 vías

Subclase de variedad

En matemáticas , una 3-variedad esférica M es una 3-variedad de la forma

${\displaystyle M=S^{3}/\Gamma }$

donde es un subgrupo finito de O(4) que actúa libremente por rotaciones en la 3-esfera . Todas estas variedades son primas , orientables y cerradas . Las 3-variedades esféricas a veces se denominan 3-variedades elípticas . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S^{3}}$

Propiedades

Un caso especial del teorema de Bonnet-Myers dice que toda variedad lisa que tenga una métrica de Riemann lisa que sea geodésicamente completa y de curvatura positiva constante debe ser cerrada y tener un grupo fundamental finito . La conjetura de eliptización de William Thurston , demostrada por Grigori Perelman utilizando el flujo de Ricci de Richard Hamilton , establece una inversa: toda variedad tridimensional cerrada con un grupo fundamental finito tiene una métrica de Riemann lisa de curvatura positiva constante. (Esta inversa es especial para tres dimensiones). Como tal, las tres-variedades esféricas son precisamente las tres-variedades cerradas con un grupo fundamental finito.

Según el teorema de Synge , toda variedad esférica de 3 dimensiones es orientable y, en particular, debe estar incluida en SO(4) . El grupo fundamental es cíclico o es una extensión central de un grupo diedro , tetraédrico , octaédrico o icosaédrico por un grupo cíclico de orden par. Esto divide el conjunto de dichas variedades en cinco clases, que se describen en las siguientes secciones. ${\displaystyle \Gamma }$

Las variedades esféricas son exactamente las variedades con geometría esférica, una de las ocho geometrías de la conjetura de geometrización de Thurston .

Caso cíclico (espacios de lentes)

Las variedades con Γ cíclico son precisamente los espacios de lentes tridimensionales . Un espacio de lentes no está determinado por su grupo fundamental (existen espacios de lentes no homeomorfos con grupos fundamentales isomorfos ); pero cualquier otra variedad esférica sí lo está. ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$

Los espacios de lentes tridimensionales surgen como cocientes de por la acción del grupo que se genera por elementos de la forma ${\displaystyle S^{3}\subset \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\omega &0\\0&\omega ^{q}\end{pmatrix}}.}$

donde . Un espacio de lentes de este tipo tiene un grupo fundamental para todos los , por lo que los espacios con diferentes no son homotópicamente equivalentes. Además, se conocen clasificaciones hasta el homeomorfismo y la equivalencia homotópica, como sigue. Los espacios tridimensionales y son: ${\displaystyle \omega =e^{2\pi i/p}}$ ${\displaystyle L(p;q)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle L(p;q_{1})}$ ${\displaystyle L(p;q_{2})}$

1. homotopía equivalente si y sólo si para algún ${\displaystyle q_{1}q_{2}\equiv \pm n^{2}{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ;}$
2. homeomorfo si y sólo si ${\displaystyle q_{1}\equiv \pm q_{2}^{\pm 1}{\pmod {p}}.}$

En particular, los espacios de lentes L (7,1) y L (7,2) dan ejemplos de dos 3-variedades que son homotópicamente equivalentes pero no homeomorfas.

El espacio de lentes L (1,0) es la 3-esfera, y el espacio de lentes L (2,1) es un espacio proyectivo real tridimensional.

Los espacios de lentes se pueden representar como espacios de fibras de Seifert de muchas maneras, normalmente como espacios de fibras sobre la 2-esfera con como máximo dos fibras excepcionales, aunque el espacio de lentes con un grupo fundamental de orden 4 también tiene una representación como un espacio de fibras de Seifert sobre el plano proyectivo sin fibras excepcionales.

Caso diedro (variedades prismáticas)

Una variedad prismática es una variedad tridimensional cerrada M cuyo grupo fundamental es una extensión central de un grupo diedro.

El grupo fundamental π ₁ ( M ) de M es un producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2^{k}}=y^{n}\rangle }$

para números enteros k , m , n con k ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 2 y m coprimos con 2 n .

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación.

${\displaystyle \langle x,y\mid xyx^{-1}=y^{-1},x^{2m}=y^{n}\rangle }$

para números enteros coprimos m , n con m ≥ 1, n ≥ 2. (El n aquí es igual al n anterior , y el m aquí es 2 ^{k -1} veces el m anterior ).

Continuamos con la última presentación. Este grupo es un grupo metacíclico de orden 4 mn con abelianización de orden 4 m (por lo que m y n están ambos determinados por este grupo). El elemento y genera un subgrupo normal cíclico de orden 2 n , y el elemento x tiene orden 4 m . El centro es cíclico de orden 2 m y es generado por x ² , y el cociente por el centro es el grupo diedro de orden 2 n .

Cuando m = 1 este grupo es un grupo diédrico binario o dicíclico . El ejemplo más simple es m = 1, n = 2, donde π ₁ ( M ) es el grupo cuaternion de orden 8.

Las variedades prismáticas están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales: si una 3-variedad cerrada tiene el mismo grupo fundamental que una variedad prismática M , es homeomorfa a M .

Las variedades prismáticas se pueden representar como espacios de fibra de Seifert de dos maneras.

Caso tetraédrico

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m con un grupo que tiene presentación

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3^{k}}=1\rangle }$

para números enteros k , m con k ≥ 1, m ≥ 1 y m coprimos con 6.

Alternativamente, el grupo fundamental tiene presentación.

${\displaystyle \langle x,y,z\mid (xy)^{2}=x^{2}=y^{2},zxz^{-1}=y,zyz^{-1}=xy,z^{3m}=1\rangle }$

para un entero impar m ≥ 1. (El m aquí es 3 ^{k -1 veces el} m anterior ).

Continuamos con la última presentación. Este grupo tiene orden 24 m . Los elementos x e y generan un subgrupo normal isomorfo al grupo cuaternionario de orden 8. El centro es cíclico de orden 2 m . Está generado por los elementos z ³ y x ² = y ² , y el cociente por el centro es el grupo tetraédrico, equivalentemente, el grupo alternado A ₄ .

Cuando m = 1 este grupo es el grupo tetraédrico binario .

Estas variedades están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de forma esencialmente única como espacios de fibras de Seifert : la variedad cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 3.

Caja octaédrica

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprimo a 6 con el grupo octaédrico binario (de orden 48) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{4}\rangle .}$

Estas variedades están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de forma esencialmente única como espacios de fibras de Seifert : la variedad cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 4.

Caso icosaédrico

El grupo fundamental es un producto de un grupo cíclico de orden m coprimo a 30 con el grupo icosaédrico binario (orden 120) que tiene la presentación

${\displaystyle \langle x,y\mid (xy)^{2}=x^{3}=y^{5}\rangle .}$

Cuando m es 1, la variedad es la esfera de homología de Poincaré .

Estas variedades están determinadas de forma única por sus grupos fundamentales. Todas ellas pueden representarse de una forma esencialmente única como espacios de fibras de Seifert: la variedad cociente es una esfera y hay 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 5.

Referencias

• Peter Orlik , Variedades de Seifert , Lecture Notes in Mathematics, vol. 291, Springer-Verlag (1972). ISBN  0-387-06014-6
• William Jaco , Conferencias sobre topología de 3 variedades ISBN 0-8218-1693-4 
• William Thurston , Geometría tridimensional y topología. Vol. 1. Editado por Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey , 1997. ISBN 0-691-08304-5