Colector Stein

En matemáticas, en la teoría de varias variables complejas y variedades complejas , una variedad de Stein es una subvariedad compleja del espacio vectorial de n dimensiones complejas . Fueron introducidas por Karl Stein  (1951) y recibieron su nombre en honor a este nombre. Un espacio de Stein es similar a una variedad de Stein, pero se le permite tener singularidades. Los espacios de Stein son análogos de las variedades afines o esquemas afines en geometría algebraica.

Definición

Supongamos que es una variedad compleja de dimensión compleja y sea el anillo de funciones holomorfas en Llamamos variedad de Stein si se cumplen las siguientes condiciones: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es holomórficamente convexo, es decir, para cada subconjunto compacto , la denominada envoltura holomórficamente convexa , ${\displaystyle K\subset X}$

${\displaystyle {\bar {K}}=\left\{z\in X\,\left|\,|f(z)|\leq \sup _{w\in K}|f(w)|\ \forall f\in {\mathcal {O}}(X)\right.\right\},}$

también es un subconjunto compacto de . ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle X}$es holomórficamente separable, es decir, si hay dos puntos en , entonces existe tal que ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {O}}(X)}$ ${\displaystyle f(x)\neq f(y).}$

Las superficies de Riemann no compactas son variedades de Stein

Sea X una superficie de Riemann conexa y no compacta . Un teorema profundo de Heinrich Behnke y Stein (1948) afirma que X es una variedad de Stein.

Otro resultado, atribuido a Hans Grauert y Helmut Röhrl (1956), establece además que todo fibrado vectorial holomorfo en X es trivial. En particular, todo fibrado lineal es trivial, por lo que . La sucesión de haces exponenciales conduce a la siguiente sucesión exacta: ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})=0}$

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\longrightarrow H^{2}(X,\mathbb {Z} )\longrightarrow H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Ahora bien, el teorema B de Cartan muestra que , por lo tanto . ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})=H^{2}(X,{\mathcal {O}}_{X})=0}$ ${\displaystyle H^{2}(X,\mathbb {Z} )=0}$

Esto está relacionado con la solución del segundo problema de Cousin .

Propiedades y ejemplos de variedades de Stein

• El espacio complejo estándar es una variedad de Stein. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Cada dominio de holomorfía es una variedad de Stein. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

• Cada subvariedad compleja cerrada de una variedad de Stein es también una variedad de Stein.

• El teorema de incrustación para variedades de Stein establece lo siguiente: Toda variedad de Stein de dimensión compleja puede ser incrustada en una función propia biholomórfica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2n+1}}$

Estos hechos implican que una variedad de Stein es una subvariedad compleja cerrada del espacio complejo, cuya estructura compleja es la del espacio ambiente (porque la incrustación es biholomórfica).

• Toda variedad de Stein de dimensión (compleja) n tiene el tipo de homotopía de un complejo CW de n dimensiones.

• En una dimensión compleja, la condición de Stein se puede simplificar: una superficie de Riemann conexa es una variedad de Stein si y sólo si no es compacta. Esto se puede demostrar utilizando una versión del teorema de Runge para superficies de Riemann, creada por Behnke y Stein.

• Toda variedad de Stein es holomorfamente expandible, es decir, para cada punto , hay funciones holomorfas definidas en todas las cuales forman un sistema de coordenadas local cuando se restringen a algún vecindario abierto de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

• Ser una variedad de Stein es equivalente a ser una variedad (compleja) fuertemente pseudoconvexa . Esto último significa que tiene una función exhaustiva fuertemente pseudoconvexa (o plurisubarmónica ), es decir, una función real suave en (que puede asumirse que es una función de Morse ) con , tal que los subconjuntos son compactos en para cada número real . Esta es una solución al llamado problema de Levi , ^[1] llamado así por Eugenio Levi (1911). La función invita a una generalización de la variedad de Stein a la idea de una clase correspondiente de variedades complejas compactas con borde llamadas dominios de Stein . Un dominio de Stein es la preimagen . Algunos autores llaman a tales variedades, por lo tanto, variedades estrictamente pseudoconvexas. ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i\partial {\bar {\partial }}\psi >0}$ ${\displaystyle \{z\in X\mid \psi (z)\leq c\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \{z\mid -\infty \leq \psi (z)\leq c\}}$

• Relacionado con el punto anterior, otra definición equivalente y más topológica en dimensión compleja 2 es la siguiente: una superficie de Stein es una superficie compleja X con una función de Morse de valor real f en X tal que, lejos de los puntos críticos de f , el campo de tangencias complejas a la preimagen es una estructura de contacto que induce una orientación en X _c concordante con la orientación usual como frontera de Es decir, es un relleno de Stein de X _c . ${\displaystyle X_{c}=f^{-1}(c)}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c).}$ ${\displaystyle f^{-1}(-\infty ,c)}$

Existen numerosas caracterizaciones adicionales de tales variedades, en particular las que capturan la propiedad de que tienen "muchas" funciones holomorfas que toman valores en los números complejos. Véanse, por ejemplo, los teoremas de Cartan A y B , relacionados con la cohomología de haces . El impulso inicial fue tener una descripción de las propiedades del dominio de definición de la continuación analítica (máxima) de una función analítica .

En el conjunto de analogías GAGA , las variedades de Stein corresponden a variedades afines .

Las variedades de Stein son en cierto sentido duales con las variedades elípticas en el análisis complejo, que admiten "muchas" funciones holomorfas de los números complejos en sí mismas. Se sabe que una variedad de Stein es elíptica si y sólo si es fibrante en el sentido de la denominada "teoría de homotopía holomorfa".

Relación con las variedades lisas

Toda variedad compacta y suave de dimensión 2 n , que tiene solo mangos de índice ≤  n , tiene una estructura de Stein siempre que n  > 2, y cuando n  = 2 lo mismo se cumple siempre que los 2-mangos estén unidos con ciertos encuadres (encuadres menores que el encuadre de Thurston-Bennequin ). ^{[2] [3]} Toda 4-variedad suave y cerrada es una unión de dos 4-variedades de Stein pegadas a lo largo de su límite común. ^[4]

Notas

1. Onishchik, AL (2001) [1994], "Problema de Levi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
2. Yakov Eliashberg , Caracterización topológica de variedades de Stein de dimensión > 2, International Journal of Mathematics vol. 1, no 1 (1990) 29–46.
3. Robert Gompf , Construcción de superficies de Stein mediante Handlebody, Annals of Mathematics 148, (1998) 619–693.
4. Selman Akbulut y Rostislav Matveyev, Una descomposición convexa para cuatro variedades, International Mathematics Research Notices (1998), n.º 7, 371–381. MR 1623402

Referencias

• Andrist, Rafael (2010). "Espacios de Stein caracterizados por sus endomorfismos". Transactions of the American Mathematical Society . 363 (5): 2341–2355. arXiv : 0809.3919 . doi : 10.1090/S0002-9947-2010-05104-9 . S2CID  14903691.
• Forster, Otto (1981), Lecciones sobre superficies de Riemann , Texto de posgrado en matemáticas, vol. 81, Nueva York: Springer Verlag, ISBN 0-387-90617-7(incluida una demostración de los teoremas de Behnke-Stein y Grauert-Röhrl)
• Forstnerič, Franc (2011). Colectores Stein y mapeos holomorfos . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / Una serie de estudios modernos en matemáticas. vol. 56.doi :10.1007/978-3-642-22250-4 . ISBN 978-3-642-22249-8.
• Hörmander, Lars (1990), Introducción al análisis complejo en varias variables , North-Holland Mathematical Library, vol. 7, Ámsterdam: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0-444-88446-6, Sr.  1045639(incluida una prueba del teorema de incrustación)
• Gompf, Robert E. (1998), "Construcción de superficies de Stein con cuerpos de mango", Annals of Mathematics , Segunda serie, 148 (2), The Annals of Mathematics, vol. 148, n.º 2: 619–693, arXiv : math/9803019 , doi : 10.2307/121005, ISSN  0003-486X, JSTOR  121005, MR  1668563, S2CID  17709531(definiciones y construcciones de dominios y variedades de Stein en dimensión 4)
• Grauert, Hans; Remmert, Reinhold (1979), Teoría de los espacios de Stein , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 236, Berlín-Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-90388-7, Sr.  0580152
• Ornea, Liviu; Verbitsky, Misha (2010). "Variedades de Kähler localmente conformes con potencial". Mathematische Annalen . 348 : 25–33. doi :10.1007/s00208-009-0463-0. S2CID  10734808.
• Iss'Sa, Hej (1966). "Sobre el campo de funciones meromorfas de una variedad de Stein". Anales de Matemáticas . 83 (1): 34–46. doi :10.2307/1970468. JSTOR  1970468.
• Stein, Karl (1951), "Analytische Funktionen mehrerer komplexer Veränderlichen zu vorgegebenen Periodizitätsmoduln und das zweite Cousinsche Problem", Math. Ana. (en alemán), 123 : 201–222, doi : 10.1007/bf02054949, MR  0043219, S2CID  122647212
• Zhang, Jing (2008). "Variedades algebraicas de Stein". Mathematical Research Letters . 15 (4): 801–814. arXiv : math/0610886 . doi :10.4310/MRL.2008.v15.n4.a16. MR  2424914.