colector central

Concepto matemático

En las matemáticas de los sistemas en evolución, el concepto de variedad central se desarrolló originalmente para determinar la estabilidad de los equilibrios degenerados. Posteriormente, se comprendió que el concepto de variedades centrales era fundamental para el modelado matemático .

Las variedades centrales juegan un papel importante en la teoría de la bifurcación porque tiene lugar un comportamiento interesante en la variedad central y en matemáticas multiescala porque la dinámica de largo tiempo de la microescala a menudo se ve atraída por una variedad central relativamente simple que involucra las variables de escala gruesa.

descripción informal

Los anillos de Saturno se encuentran en la variedad central definida por las fuerzas de marea .

Los anillos de Saturno capturan gran parte de la geometría del centro-colector. Las partículas de polvo en los anillos están sujetas a fuerzas de marea , que actúan característicamente para "comprimir y estirar". Las fuerzas comprimen las órbitas de las partículas en los anillos, estiran las partículas a lo largo de los anillos e ignoran pequeños cambios en el radio de los anillos. La dirección de compresión define la variedad estable , la dirección de estiramiento define la variedad inestable y la dirección neutral es la variedad central.

Si bien son geométricamente precisos, una diferencia importante distingue los anillos de Saturno de una variedad central física. Como la mayoría de los sistemas dinámicos, las partículas de los anillos se rigen por leyes de segundo orden . Comprender las trayectorias requiere modelar la posición y una variable de velocidad/momento, para dar una estructura múltiple tangente llamada espacio de fase . Físicamente hablando, las variedades estables, inestables y neutrales del sistema de anillos de Saturno no dividen el espacio de coordenadas para la posición de una partícula; en su lugar, dividen de manera análoga el espacio de fase.

El colector central normalmente se comporta como una colección extendida de puntos silla . Algunos pares posición-velocidad son impulsados ​​hacia el colector central, mientras que otros son arrojados lejos de él. Pequeñas perturbaciones que generalmente los empujan al azar y, a menudo, los empujan fuera del colector central. Sin embargo, existen contraejemplos dramáticos de la inestabilidad en la variedad central, llamados estructuras coherentes lagrangianas . Toda la dinámica del cuerpo rígido no forzado de una bola es una variedad central. ^[1]

Un ejemplo mucho más sofisticado es el flujo de Anosov sobre haces tangentes de superficies de Riemann. En ese caso, el espacio tangente se divide de manera muy explícita y precisa en tres partes: los haces inestable y estable, con la variedad neutra encajada entre ellos.

Definición

Colectores centrales (rojos) e inestables (verdes) del punto de equilibrio del nodo silla del sistema . ${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},}$ ${\displaystyle {\dot {y}}=y}$

Los puntos seleccionados aleatoriamente del espacio de fase 2D convergen exponencialmente a una variedad central 1D en la que la dinámica es lenta (no exponencial). El estudio de la dinámica de la variedad central determina la estabilidad del punto fijo no hiperbólico en el origen.

La variedad central de un sistema dinámico se basa en un punto de equilibrio de ese sistema. Una variedad central del equilibrio consiste entonces en aquellas órbitas cercanas que no decaen ni crecen exponencialmente rápidamente.

Matemáticamente, el primer paso al estudiar los puntos de equilibrio de sistemas dinámicos es linealizar el sistema y luego calcular sus valores y vectores propios . Los vectores propios (y los vectores propios generalizados si ocurren) correspondientes a valores propios con parte real negativa forman una base para el espacio propio estable . Los vectores propios (generalizados) correspondientes a valores propios con parte real positiva forman el espacio propio inestable.

Algebraicamente, sea

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (\mathbf {x} )\approx ({\mathcal {D}}\mathbf {f} )(\mathbf {x} ^{*})\mathbf {x} }$$

sistema dinámicodel punto de equilibrio x ^*matriz jacobiana ( D f )( x ^* )

• el subespacio central, atravesado por vectores propios generalizados cuyos valores propios satisfacen (más generalmente, ^[2] ); ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda =0}$ ${\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }$
• el subespacio estable, abarcado por vectores propios generalizados cuyos valores propios satisfacen (más generalmente, ); ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda <0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }$
• el subespacio inestable, abarcado por los vectores propios generalizados cuyos valores propios satisfacen (más generalmente, ). ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }$

Dependiendo de la aplicación, pueden ser de interés otros subespacios invariantes de la ecuación linealizada, incluidos los subespacios centro estable, centro inestable, subcentro, lento y rápido.

Si el punto de equilibrio es hiperbólico (es decir, todos los valores propios de la linealización tienen parte real distinta de cero), entonces el teorema de Hartman-Grobman garantiza que estos valores propios y vectores propios caracterizan completamente la dinámica del sistema cerca del equilibrio. Sin embargo, si el equilibrio tiene valores propios cuya parte real es cero, entonces los vectores propios correspondientes (generalizados) forman el espacio propio central . Yendo más allá de la linealización, cuando tomamos en cuenta las perturbaciones por no linealidad o forzamiento en el sistema dinámico, el espacio propio central se deforma hacia la variedad central cercana. ^[3]

Si los valores propios son precisamente cero (como lo son para la pelota), en lugar de que simplemente la parte real sea cero, entonces el espacio propio correspondiente da lugar más específicamente a una variedad lenta . El comportamiento en el colector central (lento) generalmente no está determinado por la linealización y, por lo tanto, puede ser difícil de construir.

De manera análoga, la no linealidad o el forzamiento en el sistema perturba los espacios propios estables e inestables de una variedad estable cercana y una variedad inestable cercana . ^[4] Estos tres tipos de variedades son tres casos de una variedad invariante .

Correspondiente al sistema linealizado, el sistema no lineal tiene variedades invariantes , cada una de las cuales consta de conjuntos de órbitas del sistema no lineal. ^[5]

• Una variedad invariante tangente al subespacio estable y con la misma dimensión es la variedad estable .
• La variedad inestable es de la misma dimensión y tangente al subespacio inestable.
• Una variedad central es de la misma dimensión y tangente al subespacio central. Si, como es común, los valores propios del subespacio central son todos exactamente cero, en lugar de solo parte cero real, entonces una variedad central a menudo se llama variedad lenta .

Teoremas de la variedad central

El teorema de existencia del centro múltiple establece que si la función del lado derecho es ( veces continuamente diferenciable), entonces en cada punto de equilibrio existe una vecindad de algún tamaño finito en la que hay al menos uno de ^[6] ${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {x}})}$ ${\displaystyle C^{r}}$ ${\displaystyle r}$

• un colector estable único , ${\displaystyle C^{r}}$
• una variedad inestable única , ${\displaystyle C^{r}}$
• y una variedad central (no necesariamente única) . ${\displaystyle C^{r-1}}$

En aplicaciones de ejemplo, una transformación de coordenadas no lineal a una forma normal puede separar claramente estas tres variedades. ^[7]

En el caso de que la variedad inestable no exista, las variedades centrales suelen ser relevantes para el modelado. El teorema de emergencia de la variedad central dice entonces que la vecindad puede elegirse de modo que todas las soluciones del sistema que permanecen en la vecindad tiendan exponencialmente rápidamente a alguna solución en la variedad central; en fórmulas, ${\displaystyle {\textbf {y}}(t)}$

$${\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {y} (t)+{\mathcal {O}}(e^{-\beta t})\quad {\text{ as }}\quad t\to \infty }$$

β^[8]

Un tercer teorema, el teorema de aproximación, afirma que si una expresión aproximada para tales variedades invariantes, digamos , satisface la ecuación diferencial del sistema con residuos como , entonces la variedad invariante se aproxima a un error del mismo orden, a saber . ${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$ ${\displaystyle {\textbf {s}}\to {\textbf {0}}}$ ${\displaystyle {\textbf {x}}={\textbf {X}}({\textbf {s}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(|{\textbf {s}}|^{p})}$

Colectores centrales de sistemas de dimensión infinita o no autónomos

Sin embargo, algunas aplicaciones, como la dispersión en tubos o canales, requieren un colector central de dimensiones infinitas. ^[9] La teoría más general y poderosa fue desarrollada por Aulbach y Wanner. ^{[10] [11] [12]} Abordaron sistemas dinámicos no autónomos en dimensiones infinitas, con variedades centrales, inestables y estables de dimensiones potencialmente infinitas. Además, generalizaron útilmente la definición de las variedades de modo que la variedad central esté asociada con valores propios tales que , la variedad estable con valores propios y la variedad inestable con valores propios . Probaron la existencia de estas variedades y la aparición de una variedad central mediante transformaciones de coordenadas no lineales. ${\displaystyle {\frac {d{\textbf {x}}}{dt}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},t)}$ ${\displaystyle |\operatorname {Re} \lambda |\leq \alpha }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \leq -\beta <-r\alpha }$ ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda \geq \beta >r\alpha }$

Potzsche y Rasmussen establecieron un teorema de aproximación correspondiente para sistemas no autónomos de dimensiones infinitas. ^[13]

Teoría alternativa al revés

Toda la teoría existente mencionada anteriormente busca establecer múltiples propiedades invariantes de un problema dado específico. En particular, se construye una variedad que se aproxima a una variedad invariante del sistema dado. Un enfoque alternativo es construir variedades invariantes exactas para un sistema que se aproxima al sistema dado, lo que se denomina teoría hacia atrás. El objetivo es aplicar la teoría de manera útil a una gama más amplia de sistemas y estimar errores y tamaños de dominio de validez. ^{[14] [15]}

Este enfoque es similar al bien establecido análisis de errores hacia atrás en el modelado numérico.

Colector central y análisis de sistemas no lineales.

Como la estabilidad del equilibrio se correlaciona con la "estabilidad" de sus variedades, la existencia de una variedad central plantea la cuestión de la dinámica de la variedad central. Esto se analiza mediante la reducción del colector central, que, en combinación con algún parámetro del sistema μ, conduce a los conceptos de bifurcaciones .

Ejemplos

La entrada de Wikipedia sobre variedades lentas ofrece más ejemplos.

Un ejemplo sencillo

Considere el sistema

${\displaystyle {\dot {x}}=x^{2},\quad {\dot {y}}=y.}$

La variedad inestable en el origen es el eje y , y la variedad estable es el conjunto trivial {(0, 0)}. Cualquier órbita que no esté en la variedad estable satisface una ecuación de la forma para alguna constante real A. De ello se deduce que para cualquier A real , podemos crear una variedad central uniendo la curva para x > 0 con el eje x  negativo (incluido el origen). ^[16] Además, todas las variedades centrales tienen esta no unicidad potencial, aunque a menudo la no unicidad sólo ocurre en valores complejos no físicos de las variables. ${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$ ${\displaystyle y=Ae^{-1/x}}$

Las ecuaciones diferenciales de retardo suelen tener bifurcaciones de Hopf.

Otro ejemplo muestra cómo una variedad central modela la bifurcación de Hopf que ocurre para el parámetro en la ecuación diferencial de retardo . Estrictamente, el retraso hace que este DE sea de dimensión infinita. ${\displaystyle a\approx 4}$ ${\displaystyle {dx}/{dt}=-ax(t-1)-2x^{2}-x^{3}}$

Afortunadamente, podemos aproximarnos a dichos retrasos mediante el siguiente truco que mantiene la dimensionalidad finita. Defina y aproxima la variable retardada en el tiempo, , utilizando los intermediarios y . ${\displaystyle u_{1}(t)=x(t)}$ ${\displaystyle x(t-1)\approx u_{3}(t)}$ ${\displaystyle {du_{2}}/{dt}=2(u_{1}-u_{2})}$ ${\displaystyle {du_{3}}/{dt}=2(u_{2}-u_{3})}$

Para el parámetro casi crítico, el sistema aproxima la ecuación diferencial de retardo ${\displaystyle a=4+\alpha }$

${\displaystyle {\frac {d{\textbf {u}}}{dt}}=\left[{\begin{array}{ccc}0&0&-4\\2&-2&0\\0&2&-2\end{array}}\right]{\textbf {u}}+\left[{\begin{array}{c}-\alpha u_{3}-2u_{1}^{2}-u_{1}^{3}\\0\\0\end{array}}\right].}$

En términos de una amplitud compleja y su conjugado complejo , la variedad central es ${\displaystyle s(t)}$ ${\displaystyle {\bar {s}}(t)}$

${\displaystyle {\textbf {u}}=\left[{\begin{array}{c}e^{i2t}s+e^{-i2t}{\bar {s}}\\{\frac {1-i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {1+i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\\-{\frac {i}{2}}e^{i2t}s+{\frac {i}{2}}e^{-i2t}{\bar {s}}\end{array}}\right]+{O}(\alpha +|s|^{2})}$

y la evolución en el colector central es

${\displaystyle {\frac {ds}{dt}}=\left[{\frac {1+2i}{10}}\alpha s-{\frac {3+16i}{15}}|s|^{2}s\right]+{O}(\alpha ^{2}+|s|^{4})}$

Esta evolución muestra que el origen es linealmente inestable , pero la no linealidad cúbica luego estabiliza los ciclos límite cercanos como en la bifurcación clásica de Hopf . ${\displaystyle \alpha >0\ (a>4)}$

Ver también

• variedad invariante
• Colector estable
• Estructura coherente lagrangiana
• Colector invariante normalmente hiperbólico

Notas

1. Roberts, AJ (1993). "La variedad invariante de deformaciones de vigas. Parte 1: la varilla circular simple". J. Elast . 30 : 1–54. doi :10.1007/BF00041769. S2CID  123743932.
2. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
3. Carr, Jack (1981). Aplicaciones de la teoría de la variedad central . Ciencias Matemáticas Aplicadas. vol. 35. Springer-Verlag . doi :10.1007/978-1-4612-5929-9. ISBN 978-0-387-90577-8.
4. Kelley, A. (1967). "Las variedades estable, centro-estable, centro, centro-inestable e inestable". J. Ecuaciones diferenciales . 3 (4): 546–570. Código bibliográfico : 1967JDE......3..546K. doi : 10.1016/0022-0396(67)90016-2 .
5. Guckenheimer y Holmes (1997), sección 3.2
6. Guckenheimer y Holmes (1997), Teorema 3.2.1
7. Murdock, James (2003). Formas y desarrollos normales para sistemas dinámicos locales . Springer-Verlag .
8. Iooss, G.; Adelmeyer, M. (1992). Temas de la teoría de la bifurcación . pag. 7.
9. Roberts, AJ (1988). "La aplicación de la teoría de la variedad central a la evolución de sistemas que varían lentamente en el espacio". J.Austral. Matemáticas. Soc . B. 29 (4): 480–500. doi : 10.1017/S0334270000005968 .
10. Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Variedades integrales para ecuaciones diferenciales tipo Caratheodory en espacios de Banach". En Aulbach, B.; Colonio, F. (eds.). Seis conferencias sobre sistemas dinámicos . Singapur: World Scientific. págs. 45-119. ISBN 9789810225483.
11. Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Foliaciones invariantes para ecuaciones diferenciales tipo Caratheodory en espacios de Banach". En Lakshmikantham, V.; Martynyuk, AA (eds.). Avances de la teoría de la estabilidad a finales del siglo XX . Gordon y violación.
12. Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "El teorema de Hartman-Grobman para ecuaciones diferenciales de tipo Caratheodory en espacios de Banach". Análisis no lineal . 40 (1–8): 91–104. doi :10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
13. Potzsche, C.; Rasmussen, M. (2006). "Aproximación de Taylor de variedades integrales". Revista de Dinámica y Ecuaciones Diferenciales . 18 (2): 427–460. Código Bib : 2006JDDE...18..427P. doi :10.1007/s10884-006-9011-8. S2CID  59366945.
14. Roberts, AJ (2019). "La teoría hacia atrás apoya el modelado mediante variedades invariantes para sistemas dinámicos no autónomos". arXiv : 1804.06998 [matemáticas.DS].
15. Hochs, Peter; Roberts, AJ (2019). "Formas normales y variedades invariantes para PDE no lineales y no autónomas, vistas como EDO en dimensiones infinitas". J. Ecuaciones diferenciales . 267 (12): 7263–7312. arXiv : 1906.04420 . Código Bib : 2019JDE...267.7263H. doi :10.1016/j.jde.2019.07.021. S2CID  184487247.
16. Chicone 2010, pag. 344.

Otras lecturas

• Jack Carr (ed.). "Colector central". Scholarpedia .
• Chicone, Carmen (2010). Ecuaciones diferenciales ordinarias con aplicaciones . Textos de matemáticas aplicadas (2ª ed.). Nueva York, Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-35794-2.
• Guckenheimer, John; Holmes, Philip (1997), Oscilaciones no lineales, sistemas dinámicos y bifurcaciones de campos vectoriales , Ciencias Matemáticas Aplicadas, vol. 42, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90819-9, quinta impresión corregida.

enlaces externos

• Servicios web en línea para extraer colectores centrales de un sistema específico mediante álgebra informática:
  • Un servicio sencillo para construir colectores centrales para sistemas autónomos.
  • Un servicio más complicado para convertir un sistema ODE específico a una forma normal