Variedad invariante normalmente hiperbólica

Una variedad invariante normalmente hiperbólica ( NHIM ) es una generalización natural de un punto fijo hiperbólico y un conjunto hiperbólico . La diferencia se puede describir heurísticamente de la siguiente manera: para que una variedad sea normalmente hiperbólica, se nos permite suponer que su dinámica es neutra en comparación con la dinámica cercana, lo que no se permite para un conjunto hiperbólico. Las NHIM fueron introducidas por Neil Fenichel en 1972. ^[1] En este y otros artículos posteriores, ^{[2] [3]} Fenichel demuestra que las NHIM poseen variedades estables e inestables y, lo que es más importante, las NHIM y sus variedades estables e inestables persisten bajo pequeñas perturbaciones. Por lo tanto, en problemas que involucran la teoría de perturbaciones, existen variedades invariantes con ciertas propiedades de hiperbolicidad, que a su vez se pueden usar para obtener información cualitativa sobre un sistema dinámico. ^[4] ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$

Definición

Sea M una variedad compacta y suave , f : M → M un difeomorfismo , y Df : TM → TM la diferencial de f . Se dice que una subvariedad f -invariante Λ de M es una variedad invariante normalmente hiperbólica si la restricción a Λ del fibrado tangente de M admite una división en una suma de tres subfibrados Df -invariantes, uno de los cuales es el fibrado tangente de , los otros son el fibrado estable y el fibrado inestable y se denotan E ^s y E ^u , respectivamente. Con respecto a alguna métrica de Riemann sobre M , la restricción de Df a E ^s debe ser una contracción y la restricción de Df a E ^u debe ser una expansión, y debe ser relativamente neutral sobre . Por lo tanto, existen constantes y c  > 0 tales que ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle T\Lambda }$ ${\displaystyle 0<\lambda <\mu ^{-1}<1}$

${\displaystyle T_{\Lambda }M=T\Lambda \oplus E^{s}\oplus E^{u}}$

${\displaystyle (Df)_{x}E_{x}^{s}=E_{f(x)}^{s}{\text{ and }}(Df)_{x}E_{x}^{u}=E_{f(x)}^{u}{\text{ for all }}x\in \Lambda ,}$

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|{\text{ for all }}v\in E^{s}{\text{ and }}n>0,}$

${\displaystyle \|Df^{-n}v\|\leq c\lambda ^{n}\|v\|{\text{ for all }}v\in E^{u}{\text{ and }}n>0,}$

y

${\displaystyle \|Df^{n}v\|\leq c\mu ^{|n|}\|v\|{\text{ for all }}v\in T\Lambda {\text{ and }}n\in \mathbb {Z} .}$

Véase también

• Colector estable
• Colector central
• Punto fijo hiperbólico
• Conjunto hiperbólico
• Estructuras coherentes lagrangianas hiperbólicas

Referencias

1. Fenichel, N (1972). "Persistencia y suavidad de variedades invariantes para flujos". Indiana Univ. Math. J . 21 (3): 193–226. doi : 10.1512/iumj.1971.21.21017 .
2. Fenichel, N (1974). "Estabilidad asintótica con condiciones de velocidad". Indiana Univ. Math. J . 23 (12): 1109–1137. doi : 10.1512/iumj.1974.23.23090 .
3. Fenichel, N (1977). "Estabilidad asintótica con condiciones de velocidad II". Indiana Univ. Math. J . 26 (1): 81–93. doi : 10.1512/iumj.1977.26.26006 .
4. A. Katok y B. Hasselblatt Introducción a la teoría moderna de sistemas dinámicos , Cambridge University Press (1996), ISBN 978-0521575577 

• MW Hirsch, CC Pugh y M. Shub Variedades invariantes , Springer-Verlag (1977), ISBN 978-3540081487 doi :10.1007/BFb0092042