Colector estable

Formalización de la idea de atractor o repelente en sistemas dinámicos.

En matemáticas , y en particular en el estudio de sistemas dinámicos , la idea de conjuntos estables e inestables o variedades estables e inestables dan una definición matemática formal a las nociones generales incorporadas en la idea de atractor o repelente . En el caso de la dinámica hiperbólica , la noción correspondiente es la de conjunto hiperbólico .

Ejemplo de flujo hiperbólico, que ilustra variedades estables e inestables. La ecuación del campo vectorial es . La variedad estable es el eje x y la variedad inestable es la otra curva asintótica que cruza el eje x. ${\displaystyle (x+\exp(-y),-y)}$

Ejemplo fisico

Las fuerzas de marea gravitacionales que actúan sobre los anillos de Saturno proporcionan un ejemplo físico fácil de visualizar. Las fuerzas de marea aplanan el anillo en el plano ecuatorial, al mismo tiempo que lo estiran en dirección radial. Si imaginamos que los anillos son partículas de arena o grava ("polvo") en órbita alrededor de Saturno, las fuerzas de marea son tales que cualquier perturbación que empuje partículas por encima o por debajo del plano ecuatorial da como resultado que esa partícula sienta una fuerza restauradora, empujándola de regreso al plano ecuatorial. avión. Las partículas oscilan efectivamente en un pozo armónico, amortiguado por las colisiones. La dirección estable es perpendicular al anillo. La dirección inestable es a lo largo de cualquier radio, donde las fuerzas se estiran y separan las partículas. Dos partículas que comienzan muy cerca una de la otra en el espacio de fases experimentarán fuerzas radiales que las harán divergir radialmente. Estas fuerzas tienen un exponente de Lyapunov positivo ; las trayectorias se encuentran en una variedad hiperbólica y el movimiento de las partículas es esencialmente caótico y deambula a través de los anillos. El colector central es tangencial a los anillos y las partículas no experimentan compresión ni estiramiento. Esto permite que dominen las fuerzas gravitacionales de segundo orden, por lo que las partículas pueden ser arrastradas por lunas o lunas pequeñas en los anillos, bloqueando su fase. Las fuerzas gravitacionales de las lunas proporcionan efectivamente una pequeña patada que se repite regularmente, cada vez alrededor de la órbita, similar a un rotor pateado , como el que se encuentra en un bucle de fase bloqueada .

El movimiento en tiempo discreto de las partículas en el anillo puede aproximarse mediante el mapa de Poincaré . El mapa proporciona efectivamente la matriz de transferencia del sistema. El vector propio asociado con el valor propio más grande de la matriz es el vector propio de Frobenius-Perron , que también es la medida invariante , es decir , la densidad real de las partículas en el anillo. Todos los demás vectores propios de la matriz de transferencia tienen valores propios más pequeños y corresponden a modos de descomposición.

Definición

A continuación se proporciona una definición para el caso de un sistema que es una función iterada o tiene una dinámica de tiempo discreto. Nociones similares se aplican a sistemas cuya evolución temporal viene dada por un flujo .

Sea un espacio topológico y un homeomorfismo . Si es un punto fijo para , el conjunto estable de está definido por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:f^{n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}}$

y el conjunto inestable de ${\displaystyle p}$ está definido por

${\displaystyle W^{u}(f,p)=\{q\in X:f^{-n}(q)\to p{\mbox{ as }}n\to \infty \}.}$

Aquí, denota la inversa de la función , es decir , dónde está el mapa de identidad en . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f=id_{X}}$ ${\displaystyle id_{X}}$ ${\displaystyle X}$

Si es un punto periódico de período mínimo , entonces es un punto fijo de , y los conjuntos estable e inestable de están definidos por ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{k}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=W^{s}(f^{k},p)}$

y

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{u}(f^{k},p).}$

Dada una vecindad de , los conjuntos locales estables e inestables de están definidos por ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{s}(f,p,U)=\{q\in U:f^{n}(q)\in U{\mbox{ for each }}n\geq 0\}}$

y

${\displaystyle W_{\mathrm {loc} }^{u}(f,p,U)=W_{\mathrm {loc} }^{s}(f^{-1},p,U).}$

Si es metrizable , podemos definir los conjuntos estable e inestable para cualquier punto mediante ${\displaystyle X}$

${\displaystyle W^{s}(f,p)=\{q\in X:d(f^{n}(q),f^{n}(p))\to 0{\mbox{ for }}n\to \infty \}}$

y

${\displaystyle W^{u}(f,p)=W^{s}(f^{-1},p),}$

¿Dónde hay una métrica para ? Esta definición coincide claramente con la anterior cuando se trata de un punto periódico. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$

Supongamos ahora que es una variedad compacta y suave y que es un difeomorfismo . Si es un punto periódico hiperbólico, el teorema de la variedad estable asegura que para alguna vecindad de , los conjuntos locales estable e inestable son discos incrustados, cuyos espacios tangentes en son y (los espacios estable e inestable de ), respectivamente; además, varían continuamente (en cierto sentido) en una vecindad de en la topología de (el espacio de todos los difeomorfismos desde hacia sí mismo). Finalmente, los conjuntos estable e inestable son discos sumergidos por inyección. Es por eso que comúnmente se les llama variedades estables e inestables . Este resultado también es válido para puntos no periódicos, siempre que se encuentren en algún conjunto hiperbólico (teorema de la variedad estable para conjuntos hiperbólicos). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E^{s}}$ ${\displaystyle E^{u}}$ ${\displaystyle Df(p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {Diff} ^{k}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$

Observación

Si es un espacio vectorial (de dimensión finita) y un isomorfismo, sus conjuntos estable e inestable se denominan espacio estable y espacio inestable, respectivamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

Ver también

• variedad invariante
• colector central
• límite establecido
• conjunto julia
• colector lento
• colector inercial
• Colector invariante normalmente hiperbólico
• Estructura coherente lagrangiana

Referencias

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Misa de lectura: Benjamin/Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
• Irwin, Michael C. (2001). "Múltiples estables". Sistemas Dinámicos Suaves . Científico mundial. págs. 143-160. ISBN 981-02-4599-8.
• Sritharan, SS (1990). Teoría de la variedad invariante para la transición hidrodinámica . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 0-582-06781-2.

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