bifurcación de hopf

Punto crítico donde surge una solución periódica.

Valores propios complejos de un mapa arbitrario (puntos). En el caso de la bifurcación de Hopf, dos valores propios conjugados complejos cruzan el eje imaginario.

En la teoría matemática de las bifurcaciones , una bifurcación de Hopf es un punto crítico donde, a medida que cambia un parámetro, la estabilidad de un sistema cambia y surge una solución periódica . ^[1] Más exactamente, es una bifurcación local en la que un punto fijo de un sistema dinámico pierde estabilidad, ya que un par de valores propios conjugados complejos —de la linealización alrededor del punto fijo— cruza el eje imaginario del plano complejo cuando un parámetro cruza un valor umbral. Bajo supuestos razonablemente genéricos sobre el sistema dinámico, el punto fijo se convierte en un ciclo límite de pequeña amplitud a medida que cambia el parámetro.

Una bifurcación de Hopf también se conoce como bifurcación Poincaré-Andronov-Hopf , llamada así en honor a Henri Poincaré , Aleksandr Andronov y Eberhard Hopf .

Descripción general

Bifurcaciones de Hopf supercríticas y subcríticas.

Dinámica de la bifurcación de Hopf cerca . Posibles trayectorias en rojo, estructuras estables en azul oscuro y estructuras inestables en azul claro discontinuo. Bifurcación de Hopf supercrítica: 1a) punto fijo estable 1b) punto fijo inestable, ciclo límite estable 1c) dinámica del espacio de fase. Bifurcación subcrítica de Hopf: 2a) punto fijo estable, ciclo límite inestable 2b) punto fijo inestable 2c) dinámica del espacio de fase. determina la dinámica angular y, por tanto, la dirección de giro de las trayectorias. ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle \omega }$

El ciclo límite es orbitalmente estable si una cantidad específica llamada primer coeficiente de Lyapunov es negativa y la bifurcación es supercrítica. De lo contrario es inestable y la bifurcación es subcrítica.

La forma normal de una bifurcación de Hopf es la siguiente ecuación diferencial dependiente del tiempo:

${\displaystyle {\frac {dz}{dt}}=z((\lambda +i)+b|z|^{2}),}$donde z ,  b son complejos y λ es un parámetro real.

Escribe: El número α se llama primer coeficiente de Lyapunov . ${\displaystyle b=\alpha +i\beta .\,}$

• Si α es negativo entonces hay un ciclo límite estable para λ  > 0:

${\displaystyle z(t)=re^{i\omega t}\,}$

dónde

${\displaystyle r={\sqrt {-\lambda /\alpha }}{\text{ and }}\omega =1+\beta r^{2}.\,}$

La bifurcación se denomina entonces supercrítica.

• Si α es positivo entonces hay un ciclo límite inestable para λ  < 0. La bifurcación se llama subcrítica.

Intuición

Forma normal de la bifurcación supercrítica de Hopf en coordenadas cartesianas. ^[2]

La forma normal de la bifurcación de Hopf supercrítica se puede expresar intuitivamente en coordenadas polares,

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega }$

donde es la amplitud instantánea de la oscilación y es su posición angular instantánea. ^[3] La velocidad angular es fija. Cuando , la ecuación diferencial para tiene un punto fijo inestable en y un punto fijo estable en . El sistema describe así un ciclo límite circular estable con radio y velocidad angular . Cuando entonces es el único punto fijo y es estable. En ese caso, el sistema describe una espiral que converge hacia el origen. ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \theta (t)}$ ${\displaystyle (\omega )}$ ${\displaystyle \mu >0}$ ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle r={\sqrt {\mu }}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\mu }}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mu <0}$ ${\displaystyle r=0}$

Coordenadas cartesianas

Las coordenadas polares se pueden transformar en coordenadas cartesianas escribiendo y . ^[3] Derivando y con respecto al tiempo se obtienen las ecuaciones diferenciales, ${\displaystyle x=r\cos(\theta )}$ ${\displaystyle y=r\sin(\theta )}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\cos(\theta )-{\frac {d\theta }{dt}}r\sin(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\cos(\theta )-\omega r\sin(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})x-\omega y\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dt}}&={\frac {dr}{dt}}\sin(\theta )+{\frac {d\theta }{dt}}r\cos(\theta )\\&=(\mu -r^{2})r\sin(\theta )+\omega r\cos(\theta )\\&=(\mu -x^{2}-y^{2})y+\omega x.\end{aligned}}}$

Caso subcrítico

La forma normal del Hopf subcrítico se obtiene negando el signo de , ${\displaystyle dr/dt}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-(\mu -r^{2})r,~~{\frac {d\theta }{dt}}=\omega }$

lo que invierte la estabilidad de los puntos fijos en . Porque el ciclo límite ahora es inestable y el origen es estable. ${\displaystyle r(t)}$ ${\displaystyle \mu >0}$

Ejemplo

La bifurcación de Hopf en el sistema Selkov (ver artículo). A medida que cambian los parámetros, aparece un ciclo límite (en azul) fuera de un equilibrio estable.

Las bifurcaciones de Hopf ocurren en el modelo Lotka-Volterra de interacción depredador-presa (conocido como paradoja del enriquecimiento ), el modelo Hodgkin-Huxley para el potencial de membrana nerviosa, ^[4] el modelo de glucólisis de Selkov , ^[5] la reacción de Belousov-Zhabotinsky , el atractor de Lorenz , el Brusselator , y en el electromagnetismo clásico . ^[6] También se ha demostrado que las bifurcaciones de Hopf ocurren en ondas de fisión. ^[7]

El modelo de Selkov es

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-x+ay+x^{2}y,~~{\frac {dy}{dt}}=b-ay-x^{2}y.}$

La figura muestra un retrato de fase que ilustra la bifurcación de Hopf en el modelo de Selkov. ^[8]

En los sistemas de vehículos ferroviarios, el análisis de bifurcación de Hopf es de particular importancia. Convencionalmente, el movimiento estable de un vehículo ferroviario a bajas velocidades se vuelve inestable a altas velocidades. Uno de los objetivos del análisis no lineal de estos sistemas es realizar una investigación analítica de la bifurcación, la estabilidad lateral no lineal y el comportamiento de oscilación de vehículos ferroviarios en una vía tangente, que utiliza el método de Bogoliubov. ^[9]

Método de expansión en serie

^[10]

Considere un sistema definido por , donde es suave y es un parámetro. Después de una transformación lineal de parámetros, podemos suponer que a medida que aumenta desde debajo de cero hasta arriba de cero, el origen pasa de un sumidero en espiral a una fuente en espiral. ${\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Ahora, para , realizamos una expansión perturbativa usando dos tiempos : ${\displaystyle \mu >0}$

$${\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\epsilon ^{3}x_{3}(t,T)+\cdots }$$

equilibrio armónico^[10] ${\displaystyle T=\nu t}$ ${\displaystyle \epsilon ,\nu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},\nu =\mu }$ ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle {\ddot {x}}+h({\dot {x}},x,\mu )=0}$ ${\displaystyle \epsilon ^{3}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$

La primera ecuación sería de la forma , que da la solución , donde hay "términos que varían lentamente" de . Sustituyéndolo en la segunda ecuación, podemos resolver para . ${\displaystyle \partial _{tt}x_{1}+\omega _{0}^{2}x_{1}=0}$ ${\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(\omega _{0}t+\phi (T))}$ ${\displaystyle A(T),\phi (T)}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}(t,T)}$

Luego, reemplazando la tercera ecuación, tendríamos una ecuación de forma , con el lado derecho una suma de términos trigonométricos. De estos términos, debemos establecer el "término de resonancia", es decir, cero. Esta es la misma idea que el método Poincaré-Lindstedt . Esto proporciona entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias para , lo que permite resolver el valor de equilibrio de , así como su estabilidad. ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ ${\displaystyle \partial _{tt}x_{3}+\omega _{0}^{2}x_{3}=...}$ ${\displaystyle \cos(\omega _{0}t),\sin(\omega _{0}t)}$ ${\displaystyle A,\phi }$ ${\displaystyle A}$

Ejemplo

Considere el sistema definido por y . El sistema tiene un punto de equilibrio en el origen. Cuando aumenta de negativo a positivo, el origen pasa de un punto de espiral estable a un punto de espiral inestable. ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu }$

Primero eliminamos de las ecuaciones: ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}\implies {\ddot {x}}=\mu {\dot {x}}+(-x+\mu y+2x^{2})-2x{\dot {x}}\implies {\ddot {x}}-2\mu {\dot {x}}+(1+\mu ^{2})x+2x{\dot {x}}-(2+\mu )x^{2}=0}$$

$${\displaystyle x(t)=\epsilon x_{1}(t,T)+\epsilon ^{2}x_{2}(t,T)+\cdots }$$

${\displaystyle \epsilon =\mu ^{1/2},T=\mu t}$ ${\displaystyle \epsilon ^{3}}$

$${\displaystyle {\begin{cases}\partial _{tt}x_{1}+x_{1}=0\\\partial _{tt}x_{2}+x_{2}=2x_{1}^{2}-2x_{1}\partial _{t}x_{1}\\\partial _{tt}x_{3}+x_{3}=4x_{1}x_{2}+2\partial _{t}(x_{1}-x_{1}x_{2}-\partial _{T}x_{1})\end{cases}}}$$

${\displaystyle x_{1}(t,T)=A(T)\cos(t+\phi (T))}$ ${\displaystyle A(T),\phi (T)}$

La segunda ecuación tiene solución , donde también varían lentamente la amplitud y la fase. Ahora, desde entonces , podemos fusionar los dos términos como algunos . ${\displaystyle x_{1}(t,T)=B\cos(t+\theta )+A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$ ${\displaystyle B,\theta }$ ${\displaystyle x=\epsilon x_{1}+\epsilon ^{2}x_{2}+\cdots =\epsilon (A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta ))+\cdots }$ ${\displaystyle A\cos(t+\phi )+\epsilon B\cos(t+\theta )}$ ${\displaystyle C\cos(t+\xi )}$

Por tanto, sin pérdida de generalidad, podemos suponer . De este modo ${\displaystyle B=0}$

$${\displaystyle x_{2}(t,T)=A^{2}-{\frac {1}{3}}A^{2}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$$

$${\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+(2A-A^{3}-2A')\sin(t+\phi )-(2A\phi '+11A^{3}/3)\cos(t+\phi )+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$

$${\displaystyle A'=A-A^{3}/2,\quad \phi '=-{\frac {11}{6}}A^{2}}$$

${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$

Al conectarnos , tenemos . Podemos reelegir el origen del tiempo para hacer . Ahora resuelve para ${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \phi =-{\frac {11}{3}}T+\phi _{0}}$ ${\displaystyle \phi _{0}=0}$

$${\displaystyle \partial _{t}^{2}x_{3}+x_{3}+{\frac {1}{3}}A^{3}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$

$${\displaystyle x_{3}={\frac {\sqrt {2}}{12}}(5\sin(3t+3\phi )-\cos(3t+3\phi ))}$$

${\displaystyle A={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$

$${\displaystyle x_{1}={\sqrt {2}}\cos(t+\phi ),\quad x_{2}=2-{\frac {2}{3}}(\sin(2t+2\phi )+\cos(2t+2\phi ))}$$

${\displaystyle y=x^{2}+{\dot {x}}-\mu x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Dejando a un lado la pulcritud de la notación, tenemos ${\displaystyle \theta :=t+\phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=&\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\cos \theta +&\mu \left(2-{\frac {2}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {2}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(5\sin(3\theta )-\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\\y&=&-\mu ^{1/2}{\sqrt {2}}\sin \theta +&\mu \left(1+{\frac {4}{3}}\sin(2\theta )-{\frac {1}{3}}\cos(2\theta )\right)+&\mu ^{3/2}{\frac {1}{\sqrt {72}}}(36\sin \theta +28\cos \theta -5\sin(3\theta )+7\cos(3\theta ))+&O(\mu ^{2})\end{aligned}}}$

Esto nos proporciona una ecuación paramétrica para el ciclo límite. Esto se muestra en la ilustración de la derecha.

• Ejemplos de bifurcaciones
• 
  Se produce una bifurcación de Hopf en el sistema y , cuando , alrededor del origen. Alrededor se produce una bifurcación homoclínica . ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=\mu x+y-x^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-x+\mu y+2x^{2}}$ ${\displaystyle \mu =0}$ ${\displaystyle \mu =0.06605695}$
• 
  Una vista detallada de la bifurcación homoclínica.
• 
  A medida que aumenta desde cero, surge un ciclo límite estable desde el origen a través de la bifurcación de Hopf. Aquí trazamos el ciclo límite paramétricamente, hasta el orden . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu ^{3/2}}$

Definición de bifurcación de Hopf

La aparición o desaparición de una órbita periódica a través de un cambio local en las propiedades de estabilidad de un punto fijo se conoce como bifurcación de Hopf. El siguiente teorema funciona para puntos fijos con un par de valores propios conjugados distintos de cero puramente imaginarios . Cuenta las condiciones bajo las cuales se produce este fenómeno de bifurcación.

Teorema (ver sección 11.2 de ^[11] ). Sea el jacobiano de un sistema dinámico paramétrico continuo evaluado en un punto estacionario . Supongamos que todos los valores propios de tienen parte real negativa excepto un par conjugado distinto de cero puramente imaginario . Una bifurcación de Hopf surge cuando estos dos valores propios cruzan el eje imaginario debido a una variación de los parámetros del sistema. ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle Z_{e}}$ ${\displaystyle J_{0}}$ ${\displaystyle \pm i\beta }$

Criterio de Routh-Hurwitz

El criterio de Routh-Hurwitz (sección I.13 de ^[12] ) proporciona las condiciones necesarias para que se produzca una bifurcación de Hopf. ^[13]

serie de tormenta

Sean series de Sturm asociadas a un polinomio característico . Se pueden escribir en la forma: ${\displaystyle p_{0},~p_{1},~\dots ~,~p_{k}}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

Los coeficientes de in corresponden a lo que se denomina determinantes de Hurwitz . ^[13] Su definición está relacionada con la matriz de Hurwitz asociada . ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,~\dots ~,~k\}}$

Proposiciones

Proposición 1 . Si todos los determinantes de Hurwitz son positivos, quizás aparte, entonces el jacobiano asociado no tiene valores propios imaginarios puros. ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle c_{k,0}}$

Proposición 2 . Si todos los determinantes de Hurwitz (para all in) son positivos, entonces todos los valores propios del jacobiano asociado tienen partes reales negativas excepto un par conjugado puramente imaginario. ${\displaystyle c_{i,0}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{0,~\dots ~,~k-2\}}$ ${\displaystyle c_{k-1,0}=0}$ ${\displaystyle c_{k-2,1}<0}$

Las condiciones que buscamos para que ocurra una bifurcación de Hopf (ver teorema arriba) para un sistema dinámico continuo paramétrico vienen dadas por esta última proposición.

Ejemplo

Considere el oscilador clásico de Van der Pol escrito con ecuaciones diferenciales ordinarias:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dfrac {dx}{dt}}=\mu (1-y^{2})x-y,\\{\dfrac {dy}{dt}}=x.\end{array}}\right.}$

La matriz jacobiana asociada a este sistema es la siguiente:

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}-\mu (-1+y^{2})&-2\mu yx-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$

El polinomio característico (en ) de la linealización en (0,0) es igual a: ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle P(\lambda )=\lambda ^{2}-\mu \lambda +1.}$

Los coeficientes son: La serie de Sturm asociada es: ${\displaystyle a_{0}=1,a_{1}=-\mu ,a_{2}=1}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}p_{0}(\lambda )=a_{0}\lambda ^{2}-a_{2}\\p_{1}(\lambda )=a_{1}\lambda \end{array}}}$

Los polinomios de Sturm se pueden escribir como (aquí ): ${\displaystyle i=0,1}$

${\displaystyle p_{i}(\mu )=c_{i,0}\mu ^{k-i}+c_{i,1}\mu ^{k-i-2}+c_{i,2}\mu ^{k-i-4}+\cdots }$

La proposición 2 anterior dice que se debe tener:

${\displaystyle c_{0,0}=1>0,c_{1,0}=-\mu =0,c_{0,1}=-1<0.}$

Debido a que 1 > 0 y −1 < 0 son obvios, se puede concluir que puede ocurrir una bifurcación de Hopf para el oscilador de Van der Pol si . ${\displaystyle \mu =0}$

Ver también

• Sistemas de reacción-difusión.

Referencias

1. "Bifurcaciones de Hopf" (PDF) . MIT.
2. Heitmann, S., Breakspear, M (2017-2022) Caja de herramientas de dinámica cerebral. bdtoolbox.org doi.org/10.5281/zenodo.5625923
3. Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.
4. Guckenheimer, J.; Labouriau, JS (1993), "Bifurcación de las ecuaciones de Hodgkin y Huxley: un nuevo giro", Boletín de biología matemática , 55 (5): 937–952, doi :10.1007/BF02460693, S2CID  189888352.
5. "Demostración de Wolfram del modelo Selkov". [demostraciones.wolfram.com] . Consultado el 30 de septiembre de 2012 .
6. López, Álvaro G (1 de diciembre de 2020). "Análisis de estabilidad del movimiento uniforme de cuerpos electrodinámicos". Escritura física . 96 (1): 015506. doi : 10.1088/1402-4896/abcad2. ISSN  1402-4896. S2CID  228919333.
7. Osborne, Andrew G.; Deinert, Mark R. (octubre de 2021). "Estabilidad, inestabilidad y bifurcación de Hopf en ondas de fisión". Informes celulares Ciencias físicas . 2 (10): 100588. Código bibliográfico : 2021CRPS....200588O. doi : 10.1016/j.xcrp.2021.100588 . S2CID  240589650.
8. Para una derivación detallada, consulte Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. pag. 205.ISBN​ 978-0-7382-0453-6.
9. Serajian, Reza (2011). "Efectos de la inercia del bogie y la carrocería sobre la caza no lineal del juego de ruedas reconocidos por la teoría de la bifurcación de Hopf" (PDF) . Revista Internacional de Ingeniería Automotriz . 3 (4): 186–196.
10. 18.385J / 2.036J Dinámica no lineal y caos, otoño de 2014: bifurcaciones de Hopf. OpenCourseWare del MIT
11. Hale, J.; Koçak, H. (1991). Dinámica y Bifurcaciones . Textos en Matemática Aplicada. vol. 3. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
12. Pelo, E.; Norsett, SP; Wanner, G. (1993). Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.
13. Kahoui, YO; Weber, A. (2000). "Decisión de bifurcaciones de Hopf mediante eliminación de cuantificadores en una arquitectura de componentes de software". Revista de Computación Simbólica . 30 (2): 161-179. doi : 10.1006/jsco.1999.0353 .

Otras lecturas

• Guckenheimer, J .; Myers, M.; Sturmfels, B. (1997). "Cálculo de bifurcaciones de Hopf I". Revista SIAM de Análisis Numérico . 34 (1): 1–21. CiteSeerX  10.1.1.52.1609 . doi :10.1137/S0036142993253461.
• Hale, J .; Koçak, H. (1991). Dinámica y Bifurcaciones . Textos en Matemática Aplicada. vol. 3. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-97141-2.
• Hassard, Brian D.; Kazarinoff, Nicholas D .; Wan, Yieh-Hei (1981). Teoría y aplicaciones de la bifurcación de Hopf. Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-23158-2.
• Kuznetsov, Yuri A. (2004). Elementos de la teoría de la bifurcación aplicada (Tercera ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-21906-6.
• Strogatz, Steven H. (1994). Dinámica no lineal y caos . Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6.

enlaces externos

• La bifurcación de Hopf
• Página de bifurcación de Andronov-Hopf en Scholarpedia