En lógica , una lógica de valores infinitos (o lógica de valores reales o lógica de valores infinitos ) es una lógica de muchos valores en la que los valores de verdad comprenden un rango continuo . Tradicionalmente, en la lógica de Aristóteles , la lógica distinta de la lógica bivalente era anormal, ya que la ley del tercero excluido excluía más de dos valores posibles (es decir, "verdadero" y "falso") para cualquier proposición . [1] La lógica moderna de tres valores (lógica ternaria) permite un posible valor de verdad adicional (es decir, "indeciso") [2] y es un ejemplo de lógica de valores finitos en la que los valores de verdad son discretos, en lugar de continuos. La lógica de valores infinitos comprende la lógica difusa continua , aunque la lógica difusa en algunas de sus formas puede abarcar además la lógica de valores finitos. Por ejemplo, la lógica de valores finitos se puede aplicar en el modelado de valores booleanos , [3] [4] lógicas de descripción , [5] y la defusificación [6] [7] de la lógica difusa.
Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz utilizaron infinitos e infinitesimales para desarrollar el cálculo diferencial e integral a finales del siglo XVII. Richard Dedekind , que definió los números reales en términos de ciertos conjuntos de números racionales en el siglo XIX, [8] también desarrolló un axioma de continuidad que afirma que existe un único valor correcto en el límite de cualquier aproximación de prueba y error . Felix Hausdorff demostró la posibilidad lógica de un ordenamiento absolutamente continuo de palabras que comprenden valores bivalentes, teniendo cada palabra una longitud absolutamente infinita , en 1938. Sin embargo, la definición de un número real aleatorio, es decir, un número real que no tiene descripción finita alguna, sigue siendo algo en el ámbito de la paradoja . [9]
Jan Łukasiewicz desarrolló un sistema de lógica de tres valores en 1920. Generalizó el sistema a lógicas de muchos valores en 1922 y pasó a desarrollar lógicas con valores de verdad (infinitos dentro de un rango). Kurt Gödel desarrolló un sistema deductivo , aplicable tanto para la lógica de primer orden de valores finitos como para los infinitos (una lógica formal en la que un predicado puede referirse a un solo sujeto ), así como para la lógica intermedia (una lógica intuicionista formal utilizable para proporcionar pruebas). como una prueba de consistencia para la aritmética ), y demostró en 1932 que la intuición lógica no puede caracterizarse por una lógica de valores finitos . [10]
El concepto de expresar valores de verdad como números reales en el rango entre 0 y 1 puede recordar la posibilidad de utilizar números complejos para expresar valores de verdad. Estos valores de verdad tendrían una dimensión imaginaria , por ejemplo entre 0 e i . La verdad bidimensional o superior podría ser potencialmente útil en sistemas de lógica paraconsistente . Si surgieran aplicaciones prácticas para tales sistemas, la lógica multidimensional de valores infinitos podría desarrollarse como un concepto independiente de la lógica de valores reales. [11]
Lotfi A. Zadeh propuso una metodología formal de lógica difusa y sus aplicaciones a principios de la década de 1970. En 1973, otros investigadores estaban aplicando la teoría de los controladores difusos de Zadeh a diversos procesos mecánicos e industriales. El concepto de modelado difuso que evolucionó a partir de esta investigación se aplicó a las redes neuronales en los años 1980 y al aprendizaje automático en los años 1990. La metodología formal también condujo a generalizaciones de teorías matemáticas en la familia de lógicas difusas de norma t . [12]
La lógica difusa básica es la lógica de normas t continuas ( operaciones binarias en el intervalo unitario real [0, 1]). [13] Las aplicaciones que involucran lógica difusa incluyen sistemas de reconocimiento facial , electrodomésticos , sistemas de frenos antibloqueo , transmisiones automáticas , controladores para sistemas de tránsito rápido y vehículos aéreos no tripulados , sistemas de optimización de ingeniería y basados en el conocimiento , pronóstico del tiempo , fijación de precios y evaluación de riesgos. sistemas de modelado , diagnóstico médico y planificación de tratamientos y sistemas de comercio de productos básicos , y más. [14] La lógica difusa se utiliza para optimizar la eficiencia en termostatos para el control de calefacción y refrigeración, para automatización industrial y control de procesos , animación por computadora , procesamiento de señales y análisis de datos . [15] La lógica difusa ha hecho contribuciones significativas en los campos del aprendizaje automático y la minería de datos . [dieciséis]
En lógica infinita , los grados de demostrabilidad de las proposiciones se pueden expresar en términos de lógica de valores infinitos que se pueden describir mediante fórmulas evaluadas, escritas como pares ordenados, cada uno de los cuales consta de un símbolo de grado de verdad y una fórmula. [17]
En matemáticas , la semántica libre de números puede expresar hechos sobre nociones matemáticas clásicas y hacerlas derivables mediante deducciones lógicas en lógica de valores infinitos. Se puede aplicar lógica difusa de norma T para eliminar referencias a números reales de definiciones y teoremas, con el fin de simplificar ciertos conceptos matemáticos y facilitar ciertas generalizaciones. Un marco empleado para la formalización de conceptos matemáticos sin números se conoce como teoría de clases difusa. [18]
Las cuestiones filosóficas, incluida la paradoja de Sorites , se han considerado con base en una lógica de valores infinitos conocida como epistemicismo difuso . [19] La paradoja de Sorites sugiere que si agregar un grano de arena a algo que no es un montón no puede crear un montón, entonces no se puede crear un montón de arena. Un acercamiento gradual hacia un límite, en el que la verdad se "filtra" gradualmente, tiende a refutar esa sugerencia. [20]
En el estudio de la lógica misma, la lógica de valores infinitos ha servido como ayuda para comprender la naturaleza de la comprensión humana de los conceptos lógicos. Kurt Gödel intentó comprender la capacidad humana para la intuición lógica en términos de lógica de valores finitos antes de concluir que la capacidad se basa en una lógica de valores infinitos. [21] Quedan preguntas abiertas con respecto al manejo, en la semántica del lenguaje natural , de valores de verdad indeterminados. [22]
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