Valor temporal del dinero

Conjetura de que hay mayor beneficio en recibir una suma de dinero ahora que más tarde

El valor actual de $1000, dentro de 100 años. Las curvas representan tasas de descuento constantes del 2%, 3%, 5% y 7%.

El valor temporal del dinero se refiere al hecho de que normalmente hay un mayor beneficio al recibir una suma de dinero ahora que una suma idéntica más adelante. Puede verse como una implicación del concepto de preferencia temporal , desarrollado posteriormente .

El valor temporal del dinero se refiere a la observación de que es mejor recibir dinero antes que después. El dinero que tienes hoy puede invertirse para obtener una tasa de rendimiento positiva, lo que produciría más dinero mañana. Por lo tanto, un dólar hoy vale más que un dólar en el futuro. ^[1]

El valor temporal del dinero es uno de los factores que se tienen en cuenta al sopesar los costos de oportunidad de gastar en lugar de ahorrar o invertir dinero. Como tal, es una de las razones por las que se pagan o ganan intereses : el interés, ya sea sobre un depósito bancario o una deuda , compensa al depositante o prestamista por la pérdida del uso de su dinero. Los inversores están dispuestos a renunciar a gastar su dinero ahora solo si esperan un rendimiento neto favorable de su inversión en el futuro, de modo que el valor incrementado que estará disponible más adelante sea lo suficientemente alto como para compensar tanto la preferencia por gastar dinero ahora como la inflación (si existe); consulte tasa de rendimiento requerida .

Historia

El Talmud (500 d.C. aproximadamente) reconoce el valor temporal del dinero. En la página 3a del Tratado Makkos, el Talmud analiza un caso en el que unos testigos afirmaron falsamente que el plazo de un préstamo era de 30 días cuando en realidad era de 10 años. Los testigos falsos deben pagar la diferencia del valor del préstamo "en una situación en la que se le exigiría que devolviera el dinero (dentro de) treinta días..., y esa misma suma en una situación en la que se le exigiría que devolviera el dinero (dentro de) 10 años... La diferencia es la suma que el testimonio de los testigos (falsos) pretendía que perdiera el prestatario; por lo tanto, es la suma que deben pagar". ^[2]

La noción fue descrita posteriormente por Martín de Azpilcueta (1491-1586) de la Escuela de Salamanca .

Cálculos

Los problemas del valor temporal del dinero implican el valor neto de los flujos de efectivo en diferentes puntos del tiempo.

En un caso típico, las variables pueden ser: un saldo (el valor real o nominal de una deuda o un activo financiero en términos de unidades monetarias), una tasa periódica de interés, el número de períodos y una serie de flujos de efectivo. (En el caso de una deuda, los flujos de efectivo son pagos a cuenta del principal y los intereses; en el caso de un activo financiero, son contribuciones o retiros del saldo). De manera más general, los flujos de efectivo pueden no ser periódicos, sino que pueden especificarse individualmente. Cualquiera de estas variables puede ser la variable independiente (la respuesta buscada) en un problema dado. Por ejemplo, uno puede saber que: el interés es 0.5% por período (por mes, digamos); el número de períodos es 60 (meses); el saldo inicial (de la deuda, en este caso) es 25,000 unidades; y el saldo final es 0 unidades. La variable desconocida puede ser el pago mensual que el prestatario debe pagar.

Por ejemplo, 100 libras esterlinas invertidas durante un año, con un interés del 5%, valdrán 105 libras esterlinas al cabo de un año; por lo tanto, 100 libras esterlinas pagadas ahora y 105 libras esterlinas pagadas exactamente un año después tienen el mismo valor para un receptor que espera un interés del 5% suponiendo que la inflación sería del cero por ciento. Es decir, 100 libras esterlinas invertidas durante un año con un interés del 5% tienen un valor futuro de 105 libras esterlinas suponiendo que la inflación sería del cero por ciento. ^[3]

Este principio permite la valoración de un flujo probable de ingresos en el futuro, de tal manera que los ingresos anuales se descuentan y luego se suman, proporcionando así un "valor actual" global de todo el flujo de ingresos; todos los cálculos estándar para el valor temporal del dinero se derivan de la expresión algebraica más básica para el valor actual de una suma futura, "descontada" al presente por una cantidad igual al valor temporal del dinero. Por ejemplo, la suma del valor futuro que se recibirá en un año se descuenta a la tasa de interés para obtener la suma del valor actual : ${\displaystyle FV}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle PV}$

${\displaystyle PV={\frac {FV}{(1+r)}}}$

Algunos cálculos estándar basados ​​en el valor temporal del dinero son:

• Valor actual : El valor actual de una suma futura de dinero o flujo de efectivo , dada una tasa de rendimiento específica. Los flujos de efectivo futuros se "descuentan" a la tasa de descuento; cuanto mayor sea la tasa de descuento, menor será el valor actual de los flujos de efectivo futuros. Determinar la tasa de descuento adecuada es la clave para valorar adecuadamente los flujos de efectivo futuros, ya sean ganancias u obligaciones. ^[4]
• Valor actual de una anualidad : Una anualidad es una serie de pagos o cobros iguales que se producen a intervalos espaciados de manera uniforme. Los arrendamientos y los pagos de alquiler son ejemplos. Los pagos o cobros se producen al final de cada período en el caso de una anualidad ordinaria, mientras que se producen al comienzo de cada período en el caso de una anualidad vencida.

El valor actual de una perpetuidad es un flujo infinito y constante de flujos de efectivo idénticos. ^[5]

• Valor futuro : El valor de un activo o efectivo en una fecha específica en el futuro, basado en el valor de ese activo en el presente. ^[6]
• Valor futuro de una anualidad (FVA) : el valor futuro de un flujo de pagos (anualidad), asumiendo que los pagos se invierten a una tasa de interés determinada.

Existen varias ecuaciones básicas que representan las igualdades mencionadas anteriormente. Las soluciones se pueden encontrar utilizando (en la mayoría de los casos) las fórmulas, una calculadora financiera o una hoja de cálculo . Las fórmulas están programadas en la mayoría de las calculadoras financieras y en varias funciones de hojas de cálculo (como PV, FV, RATE, NPER y PMT). ^[7]

En el caso de cualquiera de las ecuaciones que se indican a continuación, la fórmula también se puede reorganizar para determinar una de las otras incógnitas. En el caso de la fórmula de la anualidad estándar, no existe una solución algebraica de forma cerrada para la tasa de interés (aunque las calculadoras financieras y los programas de hojas de cálculo pueden determinar fácilmente las soluciones mediante algoritmos rápidos de prueba y error).

Estas ecuaciones se combinan con frecuencia para usos particulares. Por ejemplo, los bonos se pueden cotizar fácilmente utilizando estas ecuaciones. Un bono cupón típico se compone de dos tipos de pagos: un flujo de pagos de cupones similar a una anualidad y un retorno de capital en una suma global al final del vencimiento del bono , es decir, un pago futuro. Las dos fórmulas se pueden combinar para determinar el valor actual del bono.

Una nota importante es que la tasa de interés i es la tasa de interés para el período relevante. Para una anualidad que realiza un pago por año, i será la tasa de interés anual. Para un flujo de ingresos o pagos con un cronograma de pagos diferente, la tasa de interés debe convertirse en la tasa de interés periódica relevante. Por ejemplo, una tasa mensual para una hipoteca con pagos mensuales requiere que la tasa de interés se divida por 12 (vea el ejemplo a continuación). Vea interés compuesto para obtener detalles sobre la conversión entre diferentes tasas de interés periódicas.

La tasa de rendimiento en los cálculos puede ser la variable resuelta o una variable predefinida que mide una tasa de descuento, interés, inflación, tasa de rendimiento, costo del capital, costo de la deuda o cualquier otro número de conceptos análogos. La elección de la tasa adecuada es fundamental para el ejercicio, y el uso de una tasa de descuento incorrecta hará que los resultados carezcan de significado.

Para los cálculos que involucran anualidades, se debe decidir si los pagos se realizan al final de cada período (conocido como anualidad ordinaria) o al comienzo de cada período (conocido como anualidad vencida). Cuando se utiliza una calculadora financiera o una hoja de cálculo , generalmente se puede configurar para cualquiera de los cálculos. Las siguientes fórmulas son para una anualidad ordinaria. Para la respuesta del valor actual de una anualidad vencida, el VP de una anualidad ordinaria se puede multiplicar por (1 + i ).

Fórmula

La siguiente fórmula utiliza estas variables comunes:

• PV es el valor en el tiempo cero (valor actual)
• FV es el valor en el tiempo n (valor futuro)
• A es el valor de los pagos individuales en cada período de capitalización
• n es el número de períodos (no necesariamente un entero)
• i es la tasa de interés a la que el monto se capitaliza en cada período
• g es la tasa creciente de pagos durante cada período de tiempo

Valor futuro de una suma presente

La fórmula del valor futuro ( FV ) es similar y utiliza las mismas variables.

${\displaystyle FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}}$

Valor actual de una suma futura

La fórmula del valor actual es la fórmula básica para el valor temporal del dinero; todas las demás fórmulas se derivan de esta fórmula. Por ejemplo, la fórmula de la anualidad es la suma de una serie de cálculos de valor actual.

La fórmula del valor actual ( VP ) tiene cuatro variables, cada una de las cuales se puede resolver mediante métodos numéricos :

${\displaystyle PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}}$

El valor presente acumulado de los flujos de efectivo futuros se puede calcular sumando las contribuciones de FV _t , el valor del flujo de efectivo en el momento t :

${\displaystyle PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}}$

Nótese que esta serie se puede sumar para un valor dado de n , o cuando n es ∞. ^[8] Esta es una fórmula muy general, que conduce a varios casos especiales importantes que se detallan a continuación.

Valor actual de una anualidad para n períodos de pago

En este caso, los valores del flujo de efectivo permanecen invariables a lo largo de los n períodos. La fórmula del valor actual de una anualidad (PVA) tiene cuatro variables, cada una de las cuales se puede calcular mediante métodos numéricos:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]}$

Para obtener el VP de una anualidad vencida , multiplique la ecuación anterior por (1 + i ).

Valor actual de una anualidad creciente

En este caso, cada flujo de efectivo crece por un factor de (1+ g ). De manera similar a la fórmula para una anualidad, el valor actual de una anualidad creciente (PVGA) utiliza las mismas variables con la adición de g como la tasa de crecimiento de la anualidad (A es el pago de la anualidad en el primer período). Este es un cálculo que rara vez se incluye en las calculadoras financieras.

Donde i ≠ g :

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]}$

Donde i = g :

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}}$

Para obtener el VP de una anualidad creciente con vencimiento , multiplique la ecuación anterior por (1 + i ).

Valor actual de una perpetuidad

Una perpetuidad consiste en pagos de una cantidad fija de dinero que se realizan de manera periódica y continúan para siempre. Cuando n → ∞, el valor presente de una perpetuidad (una anualidad perpetua) se convierte en una simple división.

${\displaystyle PV(P)\ =\ {A \over i}}$

Valor actual de una perpetuidad creciente

Cuando el pago de una anualidad perpetua crece a una tasa fija ( g , con g < i ), el valor se determina de acuerdo con la siguiente fórmula, obtenida al fijar n en infinito en la fórmula anterior para una perpetuidad creciente:

${\displaystyle PV(A)\,=\,{A \over i-g}}$

En la práctica, hay pocos valores con características precisas y la aplicación de este enfoque de valoración está sujeta a diversas salvedades y modificaciones. Lo más importante es que es raro encontrar una renta perpetua creciente con tasas fijas de crecimiento y generación de flujo de efectivo perpetuo real. A pesar de estas salvedades, el enfoque general puede utilizarse en valoraciones de bienes raíces, acciones y otros activos.

Este es el conocido modelo de crecimiento de Gordon utilizado para la valoración de acciones .

Valor futuro de una anualidad

La fórmula del valor futuro (después de n períodos) de una anualidad (FVA) tiene cuatro variables, cada una de las cuales se puede resolver mediante métodos numéricos:

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}}$

Para obtener el valor real de una anualidad vencida, multiplique la ecuación anterior por (1 + i).

Valor futuro de una anualidad creciente

La fórmula del valor futuro (después de n períodos) de una anualidad creciente (FVA) tiene cinco variables, cada una de las cuales se puede resolver mediante métodos numéricos:

Donde i ≠ g :

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}}$

Donde i = g :

${\displaystyle FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}}$

Tabla de fórmulas

La siguiente tabla resume las diferentes fórmulas comúnmente utilizadas para calcular el valor temporal del dinero. ^[9] Estos valores a menudo se muestran en tablas donde se especifican la tasa de interés y el tiempo.

Notas:

• A es un monto de pago fijo, cada período
• G es el monto de pago inicial de un monto de pago creciente, que comienza en G y aumenta en G para cada período subsiguiente.
• D es el monto de pago inicial de un monto de pago que aumenta exponencialmente (geométricamente), que comienza en D y aumenta en un factor de (1+ g ) en cada período subsiguiente.

Derivaciones

Derivación de anualidades

La fórmula para el valor actual de un flujo regular de pagos futuros (una anualidad) se deriva de la suma de la fórmula para el valor futuro de un único pago futuro, como se muestra a continuación, donde C es el monto del pago y n el período.

Un pago único C en el tiempo futuro m tiene el siguiente valor futuro en el tiempo futuro n :

${\displaystyle FV\ =C(1+i)^{n-m}}$

Sumando todos los pagos desde el momento 1 hasta el momento n, luego invirtiendo t

${\displaystyle FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}}$

Nótese que se trata de una serie geométrica , con valor inicial a = C , factor multiplicativo 1 + i , con n términos. Aplicando la fórmula para series geométricas, obtenemos

${\displaystyle FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}}$

El valor actual de la anualidad (PVA) se obtiene simplemente dividiendo por : ${\displaystyle (1+i)^{n}}$

${\displaystyle PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)}$

Otra forma sencilla e intuitiva de calcular el valor futuro de una anualidad es considerar una dotación cuyo interés se paga como anualidad y cuyo capital permanece constante. El capital de esta dotación hipotética puede calcularse como aquel cuyo interés es igual al monto del pago de la anualidad:

${\displaystyle {\text{Principal}}\times i=C}$

${\displaystyle {\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}}$

Téngase en cuenta que ningún dinero entra ni sale del sistema combinado de capital de dotación + pagos de anualidades acumuladas y, por lo tanto, el valor futuro de este sistema se puede calcular simplemente a través de la fórmula del valor futuro:

${\displaystyle FV=PV(1+i)^{n}}$

Inicialmente, antes de cualquier pago, el valor actual del sistema es solo el capital de la dotación, . Al final, el valor futuro es el capital de la dotación (que es el mismo) más el valor futuro de los pagos totales de la anualidad ( ). Introduciendo esto en la ecuación: ${\displaystyle PV={\frac {C}{i}}}$ ${\displaystyle FV={\frac {C}{i}}+FVA}$

${\displaystyle {\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}}$

${\displaystyle FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]}$

Derivación de perpetuidad

Sin mostrar aquí la derivación formal, la fórmula de perpetuidad se deriva de la fórmula de anualidad. En concreto, el término:

${\displaystyle \left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)}$

se puede observar que se acerca al valor 1 a medida que n se hace más grande. En el infinito, es igual a 1, quedando como único término restante. ${\displaystyle {C \over i}}$

Composición continua

Las tasas se convierten a veces en el equivalente de la tasa de interés compuesta continua porque el equivalente continuo es más conveniente (por ejemplo, más fácil de diferenciar). Cada una de las fórmulas anteriores se puede reformular en sus equivalentes continuos. Por ejemplo, el valor presente en el momento 0 de un pago futuro en el momento t se puede reformular de la siguiente manera, donde e es la base del logaritmo natural y r es la tasa compuesta continua:

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}}$

Esto se puede generalizar a tasas de descuento que varían con el tiempo: en lugar de una tasa de descuento constante r, se utiliza una función del tiempo r ( t ). En ese caso, el factor de descuento, y por lo tanto el valor actual, de un flujo de efectivo en el momento T viene dado por la integral de la tasa de capitalización continua r ( t ):

${\displaystyle {\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)}$

De hecho, una razón fundamental para utilizar la capitalización continua es simplificar el análisis de las tasas de descuento variables y permitir el uso de las herramientas del cálculo. Además, en el caso de los intereses devengados y capitalizados durante la noche (es decir, capitalizados diariamente), la capitalización continua es una aproximación cercana a la capitalización diaria real. Un análisis más sofisticado incluye el uso de ecuaciones diferenciales, como se detalla a continuación.

Ejemplos

El uso de la composición continua produce las siguientes fórmulas para varios instrumentos:

Anualidad

${\displaystyle \ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}}$

Perpetuidad

${\displaystyle \ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}}$

Anualidad creciente

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}}$

Creciente perpetuidad

${\displaystyle \ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}}$

Anualidad con pagos continuos

${\displaystyle \ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}}$

Estas fórmulas suponen que el pago A se realiza en el primer período de pago y la anualidad finaliza en el momento t. ^[10]

Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales (EDO y EDP) —ecuaciones que involucran derivadas y una (o varias) variables, respectivamente— son omnipresentes en los tratamientos más avanzados de las matemáticas financieras . Si bien el valor temporal del dinero puede entenderse sin utilizar el marco de ecuaciones diferenciales, la sofisticación añadida arroja luz adicional sobre el valor temporal y proporciona una introducción simple antes de considerar situaciones más complicadas y menos familiares. A continuación se presenta esta exposición (Carr y Flesaker 2006, págs. 6-7).  

El cambio fundamental que aporta la perspectiva de la ecuación diferencial es que, en lugar de calcular un número (el valor actual ) , se calcula una función (el valor actual o en cualquier momento futuro ). Esta función puede luego analizarse  (¿  cómo cambia su valor con el tiempo?  )  o compararse con otras funciones.

Formalmente, la afirmación de que "el valor disminuye con el tiempo" se da definiendo el operador diferencial lineal como: ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).}$

Esto indica que el valor disminuye (−) con el tiempo (∂ _t ) a la tasa de descuento ( r ( t )). Aplicado a una función, se obtiene:

${\displaystyle {\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).}$

Para un instrumento cuyo flujo de pago está descrito por f ( t ), el valor V ( t ) satisface la EDO de primer orden no homogénea ("inomogénea" es porque uno tiene f en lugar de 0, y "de primer orden" es porque uno tiene primeras derivadas pero no derivadas superiores) ; esto codifica el hecho de que cuando ocurre cualquier flujo de efectivo, el valor del instrumento cambia por el valor del flujo de efectivo (si recibe un cupón de £10, el valor restante disminuye exactamente en £10). ${\displaystyle {\mathcal {L}}V=f}$  

La herramienta técnica estándar en el análisis de EDO son las funciones de Green , a partir de las cuales se pueden construir otras soluciones. En términos del valor temporal del dinero, la función de Green (para la EDO de valor temporal) es el valor de un bono que paga £1 en un único punto en el tiempo u  —el  valor de cualquier otro flujo de efectivo se puede obtener tomando combinaciones de este flujo de efectivo básico. En términos matemáticos, este flujo de efectivo instantáneo se modela como una función delta de Dirac ${\displaystyle \delta _{u}(t):=\delta (t-u).}$

La función de Green para el valor en el momento t de un flujo de efectivo de £1 en el momento u es

${\displaystyle b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)}$

donde H es la función escalonada de Heaviside ; la notación " " sirve para enfatizar que u es un parámetro (fijo en cualquier caso : el momento en que se producirá el flujo de efectivo), mientras que t es una variable (tiempo). En otras palabras, los flujos de efectivo futuros se descuentan exponencialmente (exp) por la suma (integral, ) de las tasas de descuento futuras ( para futuras, r ( v ) para las tasas de descuento), mientras que los flujos de efectivo pasados ​​valen 0 ( ), porque ya se han producido. Nótese que el valor en el momento de un flujo de efectivo no está bien definido : hay una discontinuidad en ese punto y se puede utilizar una convención (asumir que los flujos de efectivo ya se han producido, o que no se han producido), o simplemente no definir el valor en ese punto. ${\displaystyle ;u}$   ${\displaystyle \textstyle {\int }}$ ${\displaystyle \textstyle {\int _{t}^{u}}}$ ${\displaystyle H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u}$  

En caso de que la tasa de descuento sea constante, esto se simplifica a ${\displaystyle r(v)\equiv r,}$

${\displaystyle b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}}$

¿Dónde está el "tiempo restante hasta el flujo de caja"? ${\displaystyle (u-t)}$

Por lo tanto, para una secuencia de flujos de efectivo f ( u ) que finaliza en el tiempo T (que puede establecerse en sin horizonte temporal), el valor en el tiempo t se obtiene combinando los valores de estos flujos de efectivo individuales: ${\displaystyle T=+\infty }$ ${\displaystyle V(t;T)}$

${\displaystyle V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.}$

Esto formaliza el valor temporal del dinero en valores futuros de flujos de efectivo con tasas de descuento variables, y es la base de muchas fórmulas en matemáticas financieras, como la fórmula de Black-Scholes con tasas de interés variables .

Véase también

• Portal de dinero

• Ciencia actuarial

• Flujo de caja descontado

• Crecimiento de las ganancias

• Crecimiento exponencial

• Gestión financiera

• Descuento hiperbólico

• Tasa interna de retorno

• Valor actual neto

• Valor temporal de la opción

• Valor real versus valor nominal (economía)

• Retorno del tiempo invertido

• Efecto bola de nieve

Notas

1. Gitman y Zutter (2013). Principios de finanzas gerenciales (13.ª ed.). Pearson Education Limited. pág. 213. ISBN 978-0-273-77986-5.
2. "Macot 3a". www.sefaria.org .
3. Carther, Shauna (3 de diciembre de 2003). "Entender el valor temporal del dinero".
4. Staff, Investopedia (25 de noviembre de 2003). "Valor actual - PV".
5. Staff, Investopedia (24 de noviembre de 2003). "Perpetuidad".
6. Staff, Investopedia (23 de noviembre de 2003). "Valor futuro - FV".
7. Hovey, M. (2005). Modelado de hojas de cálculo para finanzas. Frenchs Forest, NSW: Pearson Education Australia.
8. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Serie geométrica
9. "Examen FE NCEES".
10. "Anualidades y perpetuidades con capitalización continua". 11 de octubre de 2012.

Referencias

• Carr, Peter; Flesaker, Bjorn (2006), Robust Replication of Default Contingent Claims (diapositivas de la presentación) (PDF) , Bloomberg LP , archivado desde el original (PDF) el 27 de febrero de 2009. Véase también la presentación en audio y el artículo. {{citation}}: Enlace externo en |postscript=( ayuda )CS1 maint: postscript (link)
• Crosson, SV, y Needles, BE (2008). Contabilidad gerencial (8.ª edición). Boston: Houghton Mifflin Company.

Enlaces externos

• Valor temporal del dinero (libro electrónico)