Uniformización (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , el axioma de uniformización es una forma débil del axioma de elección . Afirma que si es un subconjunto de , donde y son espacios polacos , entonces hay un subconjunto de que es una función parcial de a , y cuyo dominio (el conjunto de todos los que existen) es igual a ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}\,}$

Esta función se denomina función uniformizadora para , o uniformización de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Uniformización de la relación R (azul claro) por la función f (rojo).

Para ver la relación con el axioma de elección, observe que se puede pensar en él como asociar, a cada elemento de , un subconjunto de . Una uniformización de entonces elige exactamente un elemento de cada uno de esos subconjuntos, siempre que el subconjunto no esté vacío . Por lo tanto, permitir conjuntos arbitrarios X e Y (en lugar de solo espacios polacos) haría que el axioma de uniformización fuera equivalente al axioma de elección. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$

Se dice que una clase puntual tiene la propiedad de uniformización si cada relación en puede uniformizarse mediante una función parcial en . La propiedad de uniformización está implícita en la propiedad de escala , al menos para clases puntuales adecuadas de una determinada forma. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$

De ZFC por sí solo se deduce que y tienen la propiedad de uniformización. De la existencia de suficientes cardinales grandes se deduce que ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}}$y tienen la propiedad de uniformización para cada número natural . ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}}$ ${\displaystyle n}$
• Por lo tanto, la colección de conjuntos proyectivos tiene la propiedad de uniformización.
• Toda relación en L(R) puede uniformizarse, pero no necesariamente mediante una función en L(R). De hecho, L(R) no tiene la propiedad de uniformización (equivalentemente, L(R) no satisface el axioma de uniformización).
  • (Nota: es trivial que cada relación en L(R) pueda uniformizarse en V , suponiendo que V satisface el axioma de elección. El punto es que cada una de esas relaciones puede uniformizarse en algún modelo interno transitivo de V en el que se cumple el axioma de determinación ).

Referencias

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría de conjuntos descriptivos . Holanda Septentrional. ISBN 0-444-70199-0.