Jerarquía proyectiva

Concepto de teoría de conjuntos descriptivos

En el campo matemático de la teoría descriptiva de conjuntos , un subconjunto de un espacio polaco es proyectivo si es para algún entero positivo . Aquí está ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle A}$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$Si es analítico ${\displaystyle A}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$si el complemento de , , es ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X\setminus A}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$
• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n+1}^{1}}$si existe un espacio polaco y un subconjunto tal que es la proyección de sobre ; es decir, ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle C\subseteq X\times Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A=\{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in C\}.}$

La elección del espacio polaco en la tercera cláusula anterior no es muy importante; podría reemplazarse en la definición por un espacio polaco incontable fijo , digamos el espacio de Baire o el espacio de Cantor o la línea real . ${\displaystyle Y}$

Relación con la jerarquía analítica

Existe una estrecha relación entre la jerarquía analítica relativizada sobre subconjuntos del espacio de Baire (indicada por letras claras y ) y la jerarquía proyectiva sobre subconjuntos del espacio de Baire (indicada por letras en negrita y ). No todo subconjunto del espacio de Baire es . Sin embargo, es cierto que si un subconjunto X del espacio de Baire es entonces existe un conjunto de números naturales A tal que X es . Una afirmación similar se aplica a los conjuntos. Por lo tanto, los conjuntos clasificados por la jerarquía proyectiva son exactamente los conjuntos clasificados por la versión relativizada de la jerarquía analítica. Esta relación es importante en la teoría descriptiva de conjuntos efectiva . Expresado en términos de definibilidad, un conjunto de números reales es proyectivo si y solo si es definible en el lenguaje de la aritmética de segundo orden a partir de algún parámetro real. ^[1] ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{n}^{1}}$ ${\displaystyle \Sigma _{n}^{1,A}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{n}^{1}}$

Una relación similar entre la jerarquía proyectiva y la jerarquía analítica relativizada se aplica a los subconjuntos del espacio de Cantor y, más generalmente, a los subconjuntos de cualquier espacio polaco efectivo .

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Véase también

• Jerarquía de Borel

Referencias

1. J. Steel, "¿Qué es... un cardenal de Woodin?". Notices of the American Mathematical Society vol. 54, no. 9 (2007), p.1147.

• Kechris, AS (1995), Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94374-9
• Rogers, Hartley (1987) [1967], La teoría de las funciones recursivas y la computabilidad efectiva , primera edición de bolsillo de MIT Press, ISBN 978-0-262-68052-3