Uniformización (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos , una rama de las matemáticas , el axioma de uniformización es una forma débil del axioma de elección . Afirma que si es un subconjunto de , donde y son espacios polacos , entonces hay un subconjunto de que es una función parcial de a , y cuyo dominio (el conjunto de todos los que existen) es igual ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle \{x\in X\mid \exists y\in Y:(x,y)\in R\}\,}$

Esta función se llama función uniformizadora para o uniformización de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Uniformización de la relación R (azul claro) por la función f (rojo).

Para ver la relación con el axioma de elección, observe que se puede pensar en asociar, a cada elemento de , un subconjunto de . Una uniformización de luego selecciona exactamente un elemento de cada subconjunto, siempre que el subconjunto no esté vacío . Por lo tanto, permitir conjuntos arbitrarios X e Y (en lugar de solo espacios polacos) haría que el axioma de uniformización fuera equivalente al axioma de elección. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle R}$

Se dice que una clase de puntos tiene la propiedad de uniformización si cada relación en puede uniformarse mediante una función parcial en . La propiedad de uniformización está implícita en la propiedad de escala , al menos para clases de puntos adecuadas de una determinada forma. ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$

Sólo del ZFC se deduce que y tienen la propiedad de uniformización. De la existencia de suficientes cardenales grandes se deduce que ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$

• ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}}$y tener la propiedad de uniformización para cada número natural . ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}}$ ${\displaystyle n}$
• Por tanto, la colección de conjuntos proyectivos tiene la propiedad de uniformización.
• Toda relación en L(R) puede uniformarse, pero no necesariamente mediante una función en L(R). De hecho, L(R) no tiene la propiedad de uniformización (de manera equivalente, L(R) no satisface el axioma de uniformización).
  • (Nota: es trivial que cada relación en L(R) pueda uniformarse en V , suponiendo que V satisfaga el axioma de elección. El punto es que cada relación de este tipo puede uniformarse en algún modelo interno transitivo de V en el que el axioma de determinabilidad sostiene.)

Referencias

• Moschovakis, Yiannis N. (1980). Teoría descriptiva de conjuntos . Holanda del Norte. ISBN 0-444-70199-0.