Rapidez

Medida de la velocidad relativista

La rapidez es el valor de artanh( v / c ) para la velocidad v y la velocidad de la luz c

En la relatividad especial , el concepto clásico de velocidad se convierte en rapidez para adaptarse al límite determinado por la velocidad de la luz . Las velocidades se deben combinar mediante la fórmula de suma de velocidades de Einstein . Para velocidades bajas, la rapidez y la velocidad son casi exactamente proporcionales, pero, para velocidades más altas, la rapidez adquiere un valor mayor, siendo infinita la rapidez de la luz.

Matemáticamente, la rapidez puede definirse como el ángulo hiperbólico que diferencia dos marcos de referencia en movimiento relativo, estando cada marco asociado a coordenadas de distancia y tiempo .

Utilizando la función hiperbólica inversa artanh , la rapidez w correspondiente a la velocidad v es w = artanh( v / c ) donde c es la velocidad de la luz. Para velocidades bajas, w es aproximadamente v / c . Como en relatividad cualquier velocidad v está restringida al intervalo − c < v < c la razón v / c satisface −1 < v / c < 1 . La tangente hiperbólica inversa tiene el intervalo unitario (−1, 1) como dominio y toda la recta real como imagen ; es decir, el intervalo − c < v < c se proyecta sobre −∞ < w < ∞ .

Historia

En 1908, Hermann Minkowski explicó cómo la transformación de Lorentz podía verse simplemente como una rotación hiperbólica de las coordenadas del espacio-tiempo , es decir, una rotación a través de un ángulo imaginario. ^[1] Por lo tanto, este ángulo representa (en una dimensión espacial) una medida aditiva simple de la velocidad entre marcos. ^[2] El parámetro de rapidez que reemplaza a la velocidad fue introducido en 1910 por Vladimir Varićak ^[3] y por ET Whittaker . ^[4] El parámetro fue nombrado rapidez por Alfred Robb (1911) ^[5] y este término fue adoptado por muchos autores posteriores, como Ludwik Silberstein (1914), Frank Morley (1936) y Wolfgang Rindler (2001).

Área de un sector hiperbólico

La cuadratura de la hipérbola xy = 1 de Grégoire de Saint-Vincent estableció el logaritmo natural como el área de un sector hiperbólico o un área equivalente contra una asíntota. En la teoría del espacio-tiempo, la conexión de eventos por la luz divide el universo en Pasado, Futuro o En Otro Lugar basado en un Aquí y Ahora ^{[ aclaración necesaria ]} . En cualquier línea en el espacio, un haz de luz puede dirigirse hacia la izquierda o la derecha. Tome el eje x como los eventos pasados ​​por el haz derecho y el eje y como los eventos del haz izquierdo. Entonces un marco en reposo tiene tiempo a lo largo de la diagonal x = y . La hipérbola rectangular xy = 1 se puede utilizar para medir velocidades (en el primer cuadrante). La velocidad cero corresponde a (1, 1) . Cualquier punto en la hipérbola tiene coordenadas de cono de luz donde w es la rapidez y es igual al área del sector hiperbólico desde (1, 1) hasta estas coordenadas. Muchos autores se refieren en cambio a la unidad hipérbola , utilizando la rapidez como parámetro, como en el diagrama estándar del espacio-tiempo . Allí los ejes se miden con un reloj y un metro, puntos de referencia más familiares y la base de la teoría del espacio-tiempo. De modo que la delineación de la rapidez como un parámetro hiperbólico del espacio-haz es una referencia ^{[ aclaración necesaria ]} al origen en el siglo XVII de nuestras preciosas funciones trascendentales , y un complemento a los diagramas del espacio-tiempo. ${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

Impulso de Lorentz

La rapidez w surge en la representación lineal de un impulso de Lorentz como un producto vector-matriz $${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}.}$$

La matriz Λ ( w ) es del tipo con p y q que satisfacen p ² – q ² = 1 , de modo que ( p , q ) se encuentra en la hipérbola unitaria . Tales matrices forman el grupo ortogonal indefinido O(1,1) con álgebra de Lie unidimensional generada por la matriz unitaria antidiagonal, lo que muestra que la rapidez es la coordenada en esta álgebra de Lie. Esta acción puede representarse en un diagrama de espacio-tiempo . En notación exponencial matricial , Λ ( w ) puede expresarse como , donde Z es el negativo de la matriz unitaria antidiagonal ${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$ $${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$$

Una propiedad clave de la matriz exponencial es de la cual se sigue inmediatamente que Esto establece la útil propiedad aditiva de la rapidez: si A , B y C son marcos de referencia , entonces donde w _PQ denota la rapidez de un marco de referencia Q con respecto a un marco de referencia P . La simplicidad de esta fórmula contrasta con la complejidad de la fórmula de adición de velocidad correspondiente . ${\displaystyle e^{\mathbf {X} (s+t)}=e^{\mathbf {X} s}e^{\mathbf {X} t}}$ $${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2}).}$$ $${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}},}$$

Como podemos ver en la transformación de Lorentz anterior, el factor de Lorentz se identifica con cosh w, por lo que la rapidez w se usa implícitamente como un ángulo hiperbólico en las expresiones de la transformación de Lorentz que usan γ y β . Relacionamos las rapidezes con la fórmula de adición de velocidad al reconocer y así $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w,}$$ $${\displaystyle u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}}$$ $${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$$ $${\displaystyle \tanh w={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}=\tanh(w_{1}+w_{2})}$$

La aceleración propia (la aceleración que "siente" el objeto que se acelera) es la tasa de cambio de la rapidez con respecto al tiempo propio (tiempo medido por el propio objeto que experimenta la aceleración). Por lo tanto, la rapidez de un objeto en un marco dado puede considerarse simplemente como la velocidad de ese objeto tal como se calcularía de manera no relativista mediante un sistema de guía inercial a bordo del propio objeto si acelerara desde el reposo en ese marco hasta su velocidad dada.

El producto de β y γ aparece con frecuencia y se deriva de los argumentos anteriores. $${\displaystyle \beta \gamma =\tanh w\cosh w=\sinh w}$$

Relaciones exponenciales y logarítmicas

De las expresiones anteriores tenemos y por lo tanto o explícitamente $${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},}$$ $${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.}$$ $${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.}$$

El factor de desplazamiento Doppler asociado con la rapidez w es . ${\displaystyle k=e^{w}}$

En física de partículas experimental

La energía E y el momento escalar | p | de una partícula de masa m distinta de cero (en reposo) están dados por: Con la definición de w y por tanto con la energía y el momento escalar se puede escribir como: $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma mc^{2}\\\left|\mathbf {p} \right|&=\gamma mv.\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},}$$ $${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$$ $${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E&=mc^{2}\cosh w\\\left|\mathbf {p} \right|&=mc\,\sinh w.\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, la rapidez se puede calcular a partir de la energía y el momento medidos mediante $${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}$$

Sin embargo, los físicos de partículas experimentales a menudo utilizan una definición modificada de rapidez relativa a un eje del haz donde p _z es el componente del momento a lo largo del eje del haz. ^[6] Esta es la rapidez del impulso a lo largo del eje del haz que lleva a un observador desde el marco del laboratorio a un marco en el que la partícula se mueve solo perpendicularmente al haz. Relacionado con esto está el concepto de pseudorapidez . $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},}$$

La rapidez relativa a un eje de haz también se puede expresar como $${\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}$$

Véase también

• Cálculo k de Bondi
• Transformación de Lorentz
• Pseudorapidez
• Velocidad adecuada
• Teoría de la relatividad

Notas y referencias

1. Hermann Minkowski (1908) Ecuaciones fundamentales para procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento vía Wikisource
2. Sommerfeld, Física Z 1909
3. Vladimir Varicak (1910) Aplicación de la geometría lobachevskiana en la teoría de la relatividad Physikalische Zeitschrift vía Wikisource
4. ET Whittaker (1910) Una historia de las teorías del éter y la electricidad , página 441.
5. Alfred Robb (1911) Geometría óptica del movimiento p.9
6. Amsler, C. et al. , "La revisión de la física de partículas", Physics Letters B 667 (2008) 1, Sección 38.5.2

• Vladimir Varićak (1910, 1912, 1924), ver Vladimir Varićak#Publicaciones
• Whittaker, Edmund Taylor (1910). Una historia de las teorías del éter y la electricidad . pág. 441.
• Robb, Alfred (1911). Geometría óptica del movimiento, una nueva visión de la teoría de la relatividad. Cambridge: Heffner & Sons.
• Émile Borel (1913), La théorie de la relativité et la cinématique (en francés), Comptes rendus de l'Académie des Sciences , París: volumen 156, páginas 215-218; volumen 157, páginas 703-705
• Silberstein, Ludwik (1914). La teoría de la relatividad. Londres: Macmillan & Co.
• Vladimir Karapetoff (1936), "Relatividad restringida en términos de funciones hiperbólicas de rapideces", American Mathematical Monthly , volumen 43, página 70.
• Frank Morley (1936), "Cuándo y dónde", The Criterion , editado por Thomas Stearns Eliot , volumen 15, páginas 200-209.
• Wolfgang Rindler (2001) Relatividad: especial, general y cosmológica , página 53, Oxford University Press .
• Shaw, Ronald (1982) Álgebra lineal y representaciones de grupo , volumen 1, página 229, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 . 
• Walter, Scott (1999). "El estilo no euclidiano de la relatividad de Minkowski" (PDF) . En Jeremy John Gray (ed.). El universo simbólico: geometría y física . Oxford University Press. pp. 91–127. Archivado desde el original (PDF) el 2013-10-16 . Consultado el 2009-01-08 .(ver página 17 del enlace electrónico)
• Rhodes, John A.; Semon, Mark D. (2004). "Espacio de velocidad relativista, rotación de Wigner y precesión de Thomas". American Journal of Physics . 72 (7): 90–93. arXiv : gr-qc/0501070 . Código Bibliográfico :2004AmJPh..72..943R. doi :10.1119/1.1652040. S2CID  14764378.
• Jackson, John David (1999) [1962]. "Capítulo 11". Electrodinámica clásica (3.ª ed.). John Wiley & Sons . ISBN 0-471-30932-X.