Grupo ortogonal indefinido

Grupo ortogonal de una forma cuadrática indefinida

En matemáticas , el grupo ortogonal indefinido , O( p , q ) es el grupo de Lie de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial real de n dimensiones que dejan invariante una forma bilineal simétrica , no degenerada , de signatura ( p , q ) , donde n = p + q . También se denomina grupo pseudoortogonal ^[1] o grupo ortogonal generalizado ^[2] . La dimensión del grupo es n ( n − 1)/2 .

El grupo ortogonal especial indefinido , SO( p , q ) es el subgrupo de O( p , q ) que consiste en todos los elementos con determinante 1. A diferencia del caso definido, SO( p , q ) no es conexo (tiene 2 componentes) y hay dos subgrupos de índice finito adicionales, a saber, SO ⁺ ( p , q ) y O ⁺ ( p , q ) conexos , que tienen 2 componentes; consulte § Topología para la definición y discusión.

La signatura de la forma determina el grupo hasta el isomorfismo ; intercambiar p por q equivale a reemplazar la métrica por su negativo, y por lo tanto da el mismo grupo. Si p o q es igual a cero, entonces el grupo es isomorfo al grupo ortogonal ordinario O( n ). Suponemos en lo que sigue que tanto p como q son positivos.

El grupo O( p , q ) se define para espacios vectoriales sobre los números reales . Para espacios complejos , todos los grupos O( p , q ; C ) son isomorfos al grupo ortogonal habitual O( p + q ; C ) , ya que la transformada cambia la signatura de una forma. Esto no debe confundirse con el grupo unitario indefinido U( p , q ) que conserva una forma sesquilineal de signatura ( p , q ) . ${\displaystyle z_{j}\mapsto iz_{j}}$

En dimensión par n = 2 p , O( p , p ) se conoce como el grupo ortogonal dividido.

Ejemplos

Las funciones de compresión , aquí r = 3/2 , son las simetrías hiperbólicas básicas.

El ejemplo básico son las aplicaciones de compresión , que son el grupo SO ⁺ (1, 1) de (el componente identidad de) transformadas lineales que preservan la hipérbola unitaria . Concretamente, estas son las matrices y pueden interpretarse como rotaciones hiperbólicas, de la misma manera que el grupo SO(2) puede interpretarse como rotaciones circulares. ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\cosh(\alpha )&\sinh(\alpha )\\\sinh(\alpha )&\cosh(\alpha )\end{smallmatrix}}\right],}$

En física, el grupo de Lorentz O(1,3) es de importancia central, ya que es el marco de referencia para el electromagnetismo y la relatividad especial . (Algunos textos utilizan O(3,1) para el grupo de Lorentz; sin embargo, O(1,3) prevalece en la teoría cuántica de campos porque las propiedades geométricas de la ecuación de Dirac son más naturales en O(1,3) .)

Definición de matriz

Se puede definir O( p , q ) como un grupo de matrices , al igual que para el grupo ortogonal clásico O( n ). Consideremos la matriz diagonal dada por ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g=\mathrm {diag} (\underbrace {1,\ldots ,1} _{p},\underbrace {-1,\ldots ,-1} _{q}).}$

Luego podemos definir una forma bilineal simétrica mediante la fórmula ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{p,q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

${\displaystyle [x,y]_{p,q}=\langle x,gy\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{p}y_{p}-x_{p+1}y_{p+1}-\cdots -x_{p+q}y_{p+q}}$,

¿Dónde está el producto interno estándar en ? ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p+q}}$

Definimos entonces como el grupo de matrices que conservan esta forma bilineal: ^[3] ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ ${\displaystyle (p+q)\times (p+q)}$

${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)=\{A\in M_{p+q}(\mathbb {R} )|[Ax,Ay]_{p,q}=[x,y]_{p,q}\,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{p+q}\}}$.

Más explícitamente, consta de matrices tales que ^[4] ${\displaystyle \mathrm {O} (p,q)}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle gA^{\mathrm {tr} }g=A^{-1}}$,

¿Dónde está la transpuesta de ? ${\displaystyle A^{\mathrm {tr} }}$ ${\displaystyle A}$

Se obtiene un grupo isomorfo (de hecho, un subgrupo conjugado de GL( p + q ) ) reemplazando g con cualquier matriz simétrica con p valores propios positivos y q negativos. Al diagonalizar esta matriz se obtiene una conjugación de este grupo con el grupo estándar O( p , q ) .

Subgrupos

El grupo SO ⁺ ( p , q ) y los subgrupos relacionados de O( p , q ) se pueden describir algebraicamente. Particionar una matriz L en O( p , q ) como una matriz de bloques :

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

donde A , B , C y D son bloques p × p , p × q , q × p y q × q , respectivamente. Se puede demostrar que el conjunto de matrices en O( p , q ) cuyo bloque p × p superior izquierdo A tiene determinante positivo es un subgrupo. O, para decirlo de otra manera, si

${\displaystyle L={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}\;\mathrm {and} \;M={\begin{pmatrix}W&X\\Y&Z\end{pmatrix}}}$

están en O( p , q ) , entonces

${\displaystyle (\operatorname {sgn} \det A)(\operatorname {sgn} \det W)=\operatorname {sgn} \det(AW+BY).}$

El resultado análogo para el bloque q × q de la parte inferior derecha también es válido. El subgrupo SO ⁺ ( p , q ) consta de matrices L tales que det A y det D son ambas positivas. ^{[5] [6]}

Para todas las matrices L en O( p , q ) , los determinantes de A y D tienen la propiedad de que y de que ^[7] En particular, el subgrupo SO( p , q ) consiste en matrices L tales que det A y det D tienen el mismo signo. ^[5] ${\textstyle {\frac {\det A}{\det D}}=\det L}$ ${\displaystyle |{\det A}|=|{\det D}|\geq 1.}$

Topología

Suponiendo que tanto p como q son positivos, ninguno de los grupos O( p , q ) ni SO( p , q ) están conectados , y tienen cuatro y dos componentes respectivamente. π ₀ (O( p , q )) ≅ C ₂ × C ₂ es el grupo de cuatro de Klein , donde cada factor es si un elemento conserva o invierte las orientaciones respectivas en los subespacios de dimensión p y q en los que la forma es definida; tenga en cuenta que invertir la orientación en solo uno de estos subespacios invierte la orientación en todo el espacio. El grupo ortogonal especial tiene componentes π ₀ (SO( p , q )) = {(1, 1), (−1, −1) }, cada uno de los cuales conserva ambas orientaciones o invierte ambas orientaciones, en cualquier caso conservando la orientación general. ^{[ aclaración necesaria ]}

El componente de identidad de O( p , q ) se suele denotar SO ⁺ ( p , q ) y se puede identificar con el conjunto de elementos en SO( p , q ) que conservan ambas orientaciones. Esta notación está relacionada con la notación O ⁺ (1, 3) para el grupo de Lorentz ortócrono , donde el + se refiere a la conservación de la orientación en la primera dimensión (temporal).

El grupo O( p , q ) tampoco es compacto , sino que contiene los subgrupos compactos O( p ) y O( q ) que actúan sobre los subespacios en los que la forma es definida. De hecho, O( p ) × O( q ) es un subgrupo compacto maximal de O( p , q ) , mientras que S(O( p ) × O( q )) es un subgrupo compacto maximal de SO( p , q ) . Asimismo, SO( p ) × SO( q ) es un subgrupo compacto maximal de SO ⁺ ( p , q ) . Por tanto, los espacios son homotópicamente equivalentes a productos de grupos ortogonales (especiales), a partir de los cuales se pueden calcular invariantes algebrotopológicos. (Véase Subgrupo compacto maximal .)

En particular, el grupo fundamental de SO ⁺ ( p , q ) es el producto de los grupos fundamentales de los componentes, π ₁ (SO ⁺ ( p , q )) = π ₁ (SO( p )) × π ₁ (SO( q )) , y viene dado por:

Grupo ortogonal dividido

En dimensiones pares, el grupo medio O( n , n ) se conoce como el grupo ortogonal dividido , y es de particular interés, ya que aparece como el grupo de transformaciones de T-dualidad en la teoría de cuerdas, por ejemplo. Es el grupo de Lie dividido correspondiente al álgebra de Lie compleja, por lo que _{2 n} (el grupo de Lie de la forma real dividida del álgebra de Lie); más precisamente, el componente identidad es el grupo de Lie dividido, ya que los componentes no identidad no se pueden reconstruir a partir del álgebra de Lie. En este sentido, es opuesto al grupo ortogonal definido O( n ) := O( n , 0) = O(0, n ) , que es la forma real compacta del álgebra de Lie compleja.

El grupo SO(1, 1) puede identificarse con el grupo de números complejos divididos por unidades .

En términos de ser un grupo de tipo Lie – es decir, construcción de un grupo algebraico a partir de un álgebra de Lie – los grupos ortogonales divididos son grupos de Chevalley , mientras que los grupos ortogonales no divididos requieren una construcción ligeramente más complicada, y son grupos de Steinberg .

Los grupos ortogonales divididos se utilizan para construir la variedad de bandera generalizada sobre campos no algebraicamente cerrados.

Véase también

• Grupo ortogonal
• Grupo de Lorentz
• Grupo de Poincaré
• Forma bilineal simétrica

Referencias

1. Popov 2001
2. Hall 2015, pág. 8, Sección 1.2
3. Sala 2015 Sección 1.2.3
4. Hall 2015 Capítulo 1, Ejercicio 1
5. Lester, JA (1993). "Subgrupos ortócronos de O(p,q)". Álgebra lineal y multilineal . 36 (2): 111–113. doi :10.1080/03081089308818280. Zbl  0799.20041.
6. Shirokov 2012, págs. 88–96, sección 7.1
7. Shirokov 2012, págs. 89–91, Lemas 7.1 y 7.2

Fuentes

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Anthony Knapp , Lie Groups Beyond an Introduction , segunda edición, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5 – consulte la página 372 para obtener una descripción del grupo ortogonal indefinido 
• Popov, VL (2001) [1994], "Grupo ortogonal", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Shirokov, DS (2012). Conferencias sobre álgebras y espinores de Clifford Лекции по алгебрам клиффорда и спинорам (PDF) (en ruso). doi :10.4213/libro1373. Zbl  1291.15063.
• Joseph A. Wolf , Espacios de curvatura constante , (1967) pág. 335.