En matemáticas , un subgrupo compacto maximalista K de un grupo topológico G es un subgrupo K que es un espacio compacto , en la topología del subespacio , y maximalista entre dichos subgrupos.
Los subgrupos compactos máximos desempeñan un papel importante en la clasificación de los grupos de Lie y, en especial, de los grupos de Lie semisimples. Los subgrupos compactos máximos de los grupos de Lie no son , en general, únicos, pero sí lo son hasta la conjugación : son esencialmente únicos .
Un ejemplo sería el subgrupo O(2), el grupo ortogonal , dentro del grupo lineal general GL(2, R ). Un ejemplo relacionado es el grupo circular SO(2) dentro de SL(2, R ) . Evidentemente SO(2) dentro de GL(2, R ) es compacto y no maximalista. La no unicidad de estos ejemplos puede verse como que cualquier producto interno tiene un grupo ortogonal asociado, y la unicidad esencial corresponde a la unicidad esencial del producto interno.
Un subgrupo compacto maximal es un subgrupo maximal entre subgrupos compactos – un subgrupo (compacto) maximal – en lugar de ser (lectura alternativa posible) un subgrupo maximal que resulta ser compacto; lo que probablemente se llamaría un (subgrupo maximal) compacto , pero en cualquier caso no es el significado pretendido (y de hecho los subgrupos propios maximalistas no son en general compactos).
El teorema de Cartan-Iwasawa-Malcev afirma que todo grupo de Lie conexo (y, de hecho, todo grupo localmente compacto conexo ) admite subgrupos compactos máximos y que todos ellos son conjugados entre sí. Para un grupo de Lie semisimple, la unicidad es una consecuencia del teorema del punto fijo de Cartan , que afirma que si un grupo compacto actúa por isometrías en una variedad de Riemann completamente conexa de curvatura negativa , entonces tiene un punto fijo.
Los subgrupos compactos maximales de grupos de Lie conexos no suelen ser únicos, pero sí lo son hasta la conjugación, lo que significa que dados dos subgrupos compactos maximales K y L , existe un elemento g ∈ G tal que [1] gKg −1 = L . Por lo tanto, un subgrupo compacto maximal es esencialmente único , y la gente suele hablar de "el" subgrupo compacto maximal.
Para el ejemplo del grupo lineal general GL( n , R ), esto corresponde al hecho de que cualquier producto interno sobre R n define un grupo ortogonal (compacto) (su grupo de isometría) – y que admite una base ortonormal: el cambio de base define el elemento conjugador que conjuga el grupo de isometría al grupo ortogonal clásico O( n , R ).
Para un grupo de Lie semisimple real, la prueba de Cartan de la existencia y unicidad de un subgrupo compacto maximalista se puede encontrar en Borel (1950) y Helgason (1978). Cartier (1955) y Hochschild (1965) discuten la extensión a grupos de Lie conexos y grupos localmente compactos conexos.
Para los grupos semisimples, la existencia es una consecuencia de la existencia de una forma real compacta del grupo de Lie semisimple no compacto y la descomposición de Cartan correspondiente . La prueba de unicidad se basa en el hecho de que el espacio simétrico de Riemann correspondiente G / K tiene curvatura negativa y el teorema del punto fijo de Cartan. Mostow (1955) mostró que la derivada de la función exponencial en cualquier punto de G / K satisface |d exp X | ≥ |X|. Esto implica que G / K es un espacio de Hadamard , es decir, un espacio métrico completo que satisface una forma debilitada de la regla del paralelogramo en un espacio euclidiano. La unicidad se puede deducir entonces del teorema del punto fijo de Bruhat-Tits . De hecho, cualquier conjunto cerrado acotado en un espacio de Hadamard está contenido en una única bola cerrada más pequeña, cuyo centro se llama su circuncentro . En particular, un grupo compacto que actúa por isometrías debe fijar el circuncentro de cada una de sus órbitas.
Mostow (1955) también relacionó el problema general de los grupos semisimples con el caso de GL( n , R ). El espacio simétrico correspondiente es el espacio de matrices simétricas positivas. En Hilgert & Neeb (2012) se ofrece una prueba directa de unicidad basada en propiedades elementales de este espacio.
Sea un álgebra de Lie semisimple real con involución de Cartan σ. Por lo tanto, el subgrupo de punto fijo de σ es el subgrupo compacto máximo K y existe una descomposición en el espacio propio.
donde , el álgebra de Lie de K , es el espacio propio +1. La descomposición de Cartan da
Si B es la forma asesina dada por B ( X , Y ) = Tr (ad X)(ad Y), entonces
es un producto interno real en . Bajo la representación adjunta, K es el subgrupo de G que preserva este producto interno.
Si H es otro subgrupo compacto de G , entonces al promediar el producto interno sobre H con respecto a la medida de Haar se obtiene un producto interno invariante bajo H . Los operadores Ad p con p en P son operadores simétricos positivos. Este nuevo producto interno puede escribirse como
donde S es un operador simétrico positivo en tal que Ad( h ) t S Ad h = S para h en H (con las transpuestas calculadas con respecto al producto interno). Además, para x en G ,
Entonces, para h en H ,
Para X en definir
Si e i es una base ortonormal de vectores propios para S con Se i = λ i e i , entonces
de modo que f es estrictamente positiva y tiende a ∞ cuando | X | tiende a ∞. De hecho, esta norma es equivalente a la norma del operador en los operadores simétricos ad X y cada valor propio distinto de cero ocurre con su negativo, ya que i ad X es un operador antiadjunto en la forma real compacta .
Entonces f tiene un mínimo global en Y , por ejemplo. Este mínimo es único, porque si Z fuera otro entonces
donde X se define por la descomposición de Cartan
Si f i es una base ortonormal de vectores propios de ad X con valores propios reales correspondientes μ i , entonces
Como el lado derecho es una combinación positiva de exponenciales, la función de valor real g es estrictamente convexa si X ≠ 0, por lo que tiene un mínimo único. Por otro lado, tiene mínimos locales en t = 0 y t = 1, por lo tanto X = 0 y p = exp Y es el único mínimo global. Por construcción f ( x ) = f (σ( h ) xh −1 ) para h en H , de modo que p = σ( h ) ph −1 para h en H . Por lo tanto σ( h )= php −1 . En consecuencia, si g = exp Y /2, gHg −1 está fijado por σ y, por lo tanto, se encuentra en K .
Los subgrupos compactos máximos desempeñan un papel básico en la teoría de la representación cuando G no es compacto. En ese caso, un subgrupo compacto máximo K es un grupo de Lie compacto (ya que un subgrupo cerrado de un grupo de Lie es un grupo de Lie), para lo cual la teoría es más sencilla.
Las operaciones que relacionan las teorías de representación de G y K son representaciones restrictivas de G a K e representaciones inductoras de K a G , y estas se entienden bastante bien; su teoría incluye la de las funciones esféricas .
La topología algebraica de los grupos de Lie también se sustenta en gran medida en un subgrupo compacto maximalista K . Para ser precisos, un grupo de Lie conexo es un producto topológico (aunque no un producto teórico de grupos) de un compacto maximalista K y un espacio euclidiano – G = K × R d – por lo tanto, en particular K es una retracción de deformación de G, y es homotópicamente equivalente , y por lo tanto tienen los mismos grupos de homotopía . De hecho, la inclusión y la retracción de deformación son equivalencias de homotopía .
Para el grupo lineal general, esta descomposición es la descomposición QR y la retracción de la deformación es el proceso de Gram-Schmidt . Para un grupo de Lie semisimple general, la descomposición es la descomposición de Iwasawa de G como G = KAN en la que K aparece en un producto con un subgrupo contráctil AN .
