partícula libre

Particle that is not bound by an external force

En física , una partícula libre es una partícula que, en algún sentido, no está unida por una fuerza externa, o equivalentemente, no está en una región donde su energía potencial varía. En física clásica, esto significa que la partícula está presente en un espacio "libre de campo". En mecánica cuántica, significa que la partícula está en una región de potencial uniforme, generalmente establecido en cero en la región de interés, ya que el potencial puede establecerse arbitrariamente en cero en cualquier punto del espacio.

Partícula libre clásica

La partícula libre clásica se caracteriza por una velocidad fija v . El impulso está dado por

$${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$

energía cinética

$${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$$

mv

Partícula libre cuántica

Propagación de ondas de Broglie en 1d: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto x dado se extiende como una forma de onda, no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvatura disminuye, por lo que vuelve a disminuir y viceversa; el resultado es una amplitud alterna: una onda. Arriba: Onda plana . Abajo: Paquete de olas .

Descripción matemática

Una partícula libre con masa en mecánica cuántica no relativista se describe mediante la ecuación de Schrödinger libre : ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$$

donde ψ es la función de onda de la partícula en la posición r y el tiempo t . La solución para una partícula con momento p o vector de onda k , a frecuencia angular ω o energía E , viene dada por una onda plana compleja :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$$

con amplitud A y tiene dos reglas diferentes según su masa:

1. si la partícula tiene masa : (o equivalente ). ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$
2. si la partícula es una partícula sin masa: . ${\displaystyle \omega =kc}$

El espectro de valores propios es infinitamente degenerado ya que para cada valor propio E > 0, corresponde un número infinito de funciones propias correspondientes a diferentes direcciones de . ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Las relaciones de De Broglie : se aplican. Dado que la energía potencial es (se dice que es) cero, la energía total E es igual a la energía cinética, que tiene la misma forma que en la física clásica: ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

$${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$$

Como para todas las partículas cuánticas libres o unidas, se aplican los principios de incertidumbre de Heisenberg . Está claro que, dado que la onda plana tiene un momento definido (energía definida), la probabilidad de encontrar la ubicación de la partícula es uniforme e insignificante en todo el espacio. En otras palabras, la función de onda no es normalizable en un espacio euclidiano, estos estados estacionarios no pueden corresponder a estados físicos realizables . ^[1] ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Medición y cálculos.

La integral de la función de densidad de probabilidad.

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}}$$

donde * denota conjugado complejo , en todo el espacio es la probabilidad de encontrar la partícula en todo el espacio, que debe ser la unidad si la partícula existe:

$${\displaystyle \int _{\mathrm {all\,space} }|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1}$$

Ésta es la condición de normalización de la función de onda. La función de onda no es normalizable para una onda plana, pero sí para un paquete de ondas .

Interpretación de la función de onda para una partícula de espín 0 en una dimensión. Las funciones de onda mostradas son continuas, finitas, de un solo valor y normalizadas. La opacidad del color (%) de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad (que se puede medir en %) de encontrar la partícula en los puntos del eje x.

descomposición de Fourier

La función de onda de partículas libres puede representarse mediante una superposición de funciones propias de momento , con coeficientes dados por la transformada de Fourier de la función de onda inicial: ^[2]

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k} }$$

donde la integral es sobre todo el espacio k y (para garantizar que el paquete de ondas sea una solución de la ecuación de Schrödinger de partículas libres). Aquí está el valor de la función de onda en el tiempo 0 y es la transformada de Fourier de . (La transformada de Fourier es esencialmente la función de onda de impulso de la función de onda de posición , pero escrita como una función de en lugar de ). ${\textstyle \omega =\omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

El valor esperado del momento p para la onda plana compleja es

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$$

y para el paquete de ondas general es

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .}$$

El valor esperado de la energía E es

$${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .}$$

Velocidad de grupo y velocidad de fase.

Propagación de un paquete de ondas, con el movimiento de un único pico sombreado en violeta. Los picos se mueven a la velocidad de fase mientras que el paquete general se mueve a la velocidad de grupo.

La velocidad de fase se define como la velocidad a la que se propaga una solución de onda plana, es decir

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.}$$

Tenga en cuenta que no es la velocidad de una partícula clásica con momento ; más bien, es la mitad de la velocidad clásica. ${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$ ${\displaystyle p}$

Mientras tanto, supongamos que la función de onda inicial es un paquete de ondas cuya transformada de Fourier se concentra cerca de un vector de onda particular . Entonces la velocidad de grupo de la onda plana se define como ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$

$${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$$

lo que concuerda con la fórmula de la velocidad clásica de la partícula. La velocidad de grupo es la velocidad (aproximada) a la que se propaga todo el paquete de ondas, mientras que la velocidad de fase es la velocidad a la que se mueven los picos individuales del paquete de ondas. ^[3] La figura ilustra este fenómeno, con los picos individuales dentro del paquete de ondas propagándose a la mitad de la velocidad del paquete general.

Propagación del paquete de ondas.

La noción de velocidad de grupo se basa en una aproximación lineal a la relación de dispersión cerca de un valor particular de . ^[4] En esta aproximación, la amplitud del paquete de ondas se mueve a una velocidad igual a la velocidad del grupo sin cambiar de forma . Este resultado es una aproximación que no logra captar ciertos aspectos interesantes de la evolución de una partícula cuántica libre. En particular, el ancho del paquete de ondas, medido por la incertidumbre en la posición, crece linealmente en el tiempo durante períodos prolongados. Este fenómeno se denomina propagación del paquete de ondas de una partícula libre. ${\displaystyle \omega (k)}$ ${\displaystyle k}$

Específicamente, no es difícil calcular una fórmula exacta para la incertidumbre en función del tiempo, donde está el operador de posición. Trabajando en una dimensión espacial por simplicidad, tenemos: ^[5] ${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},}$$

${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

Así, para tiempos positivos grandes, la incertidumbre en crece linealmente, con un coeficiente igual a . Si el impulso de la función de onda inicial está muy localizado, el paquete de ondas se propagará lentamente y la aproximación de la velocidad del grupo seguirá siendo buena durante mucho tiempo. Intuitivamente, este resultado dice que si la función de onda inicial tiene un momento muy definido, entonces la partícula tiene una velocidad claramente definida y (en una buena aproximación) se propagará a esta velocidad durante un largo tiempo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

Partícula libre cuántica relativista

Hay una serie de ecuaciones que describen partículas relativistas: ver ecuaciones de ondas relativistas .

Ver también

• Paquete de olas
• Velocidad de grupo
• Partícula en una caja
• Pozo cuadrado finito
• Potencial delta

Referencias

• Mecánica cuántica , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (segunda edición) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Estados estacionarios , A. Holden, College Physics Monographs (EE. UU.), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• Mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE.UU.), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Mecánica cuántica elemental , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (EE. UU.), 1998, ISBN 007-0540187 

Específico

1. "Conferencia 9" (PDF) .
2. Salón 2013 Sección 4.1
3. Salón 2013 Secciones 4.3 y 4.4
4. Salón 2013 Ecuación 4.24
5. Propuesta 4.10 del Salón 2013

Otras lecturas

• El nuevo universo cuántico , T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Teoría cuántica de campos , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Curso intensivo de esquemas fáciles de Schaum, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 978-007-145533-6