Movilidad electrónica

Cantidad en la física del estado sólido

En física del estado sólido , la movilidad electrónica caracteriza la rapidez con la que un electrón puede moverse a través de un metal o semiconductor cuando es empujado o atraído por un campo eléctrico . Existe una cantidad análoga para los huecos , llamada movilidad de huecos . El término movilidad del portador se refiere en general tanto a la movilidad de los electrones como a la de los huecos.

La movilidad de electrones y huecos son casos especiales de movilidad eléctrica de partículas cargadas en un fluido bajo un campo eléctrico aplicado.

Cuando se aplica un campo eléctrico E a través de una pieza de material, los electrones responden moviéndose con una velocidad promedio llamada velocidad de deriva , . Entonces, la movilidad de los electrones μ se define como ${\displaystyle v_{d}}$ $${\displaystyle v_{d}=\mu E.}$$

La movilidad de los electrones casi siempre se expresa en unidades de cm 2 /( V ⋅ s ). Esta unidad es diferente de la unidad de movilidad del SI , m 2 /( V ⋅ s . Están relacionadas por 1 m ² /(V⋅s) = 10 ⁴ cm ² /(V⋅s).

La conductividad es proporcional al producto de la movilidad y la concentración de portadores. Por ejemplo, la misma conductividad podría provenir de una pequeña cantidad de electrones con alta movilidad para cada uno, o de una gran cantidad de electrones con una pequeña movilidad para cada uno. En el caso de los semiconductores, el comportamiento de los transistores y otros dispositivos puede ser muy diferente dependiendo de si hay muchos electrones con baja movilidad o pocos electrones con alta movilidad. Por lo tanto, la movilidad es un parámetro muy importante para los materiales semiconductores. Casi siempre, una mayor movilidad conduce a un mejor rendimiento del dispositivo, con todo lo demás constante.

La movilidad de los semiconductores depende de las concentraciones de impurezas (incluidas las concentraciones de donantes y aceptores), la concentración de defectos, la temperatura y las concentraciones de electrones y huecos. También depende del campo eléctrico, en particular en campos altos cuando se produce la saturación de velocidad . Puede determinarse mediante el efecto Hall o inferirse a partir del comportamiento del transistor.

Introducción

Velocidad de deriva en un campo eléctrico

Sin ningún campo eléctrico aplicado, en un sólido, los electrones y los huecos se mueven aleatoriamente . Por lo tanto, en promedio, no habrá movimiento general de los portadores de carga en ninguna dirección particular a lo largo del tiempo.

Sin embargo, cuando se aplica un campo eléctrico, cada electrón o hueco es acelerado por el campo eléctrico. Si el electrón estuviera en el vacío, se aceleraría a una velocidad cada vez mayor (lo que se denomina transporte balístico ). Sin embargo, en un sólido, el electrón se dispersa repetidamente por defectos del cristal , fonones , impurezas, etc., de modo que pierde algo de energía y cambia de dirección. El resultado final es que el electrón se mueve con una velocidad media finita, denominada velocidad de deriva . Este movimiento neto del electrón suele ser mucho más lento que el movimiento aleatorio que se produce normalmente.

Los dos portadores de carga, electrones y huecos, normalmente tendrán diferentes velocidades de deriva para el mismo campo eléctrico.

El transporte cuasibalístico es posible en sólidos si los electrones se aceleran a lo largo de una distancia muy pequeña (tan pequeña como el recorrido libre medio ) o durante un tiempo muy corto (tan corto como el tiempo libre medio ). En estos casos, la velocidad de deriva y la movilidad no son significativas.

Definición y unidades

La movilidad de los electrones se define mediante la ecuación: donde: $${\displaystyle v_{d}=\mu _{e}E.}$$

• E es la magnitud del campo eléctrico aplicado a un material,
• v _d es la magnitud de la velocidad de deriva del electrón (en otras palabras, la velocidad de deriva del electrón ) causada por el campo eléctrico, y
• μ _e es la movilidad del electrón.

La movilidad de los huecos se define mediante una ecuación similar: tanto la movilidad de los electrones como la de los huecos son positivas por definición. $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E.}$$

Por lo general, la velocidad de desplazamiento de los electrones en un material es directamente proporcional al campo eléctrico, lo que significa que la movilidad de los electrones es constante (independiente del campo eléctrico). Cuando esto no es así (por ejemplo, en campos eléctricos muy grandes), la movilidad depende del campo eléctrico.

La unidad SI de velocidad es m/s y la unidad SI de campo eléctrico es V / m . Por lo tanto, la unidad SI de movilidad es (m/s)/(V/m) = m 2 /( V ⋅ s ). Sin embargo, la movilidad se expresa mucho más comúnmente en cm ² /(V⋅s) = 10 ⁻⁴ m ² /(V⋅s).

La movilidad suele ser una función importante de las impurezas del material y de la temperatura, y se determina empíricamente. Los valores de movilidad suelen presentarse en forma de tabla o gráfico. La movilidad también es diferente para los electrones y los huecos en un material determinado.

Derivación

Comenzando con la Segunda Ley de Newton : donde: $${\displaystyle a=F/m_{e}^{*}}$$

• a es la aceleración entre colisiones.
• F es la fuerza eléctrica ejercida por el campo eléctrico, y
• ${\displaystyle m_{e}^{*}}$es la masa efectiva de un electrón.

Dado que la fuerza sobre el electrón es − eE : $${\displaystyle a=-{\frac {eE}{m_{e}^{*}}}}$$

Esta es la aceleración del electrón entre colisiones. La velocidad de deriva es, por lo tanto: donde es el tiempo libre medio $${\displaystyle v_{d}=a\tau _{c}=-{\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}E,}$$ ${\displaystyle \tau _{c}}$

Dado que solo nos importa cómo cambia la velocidad de deriva con el campo eléctrico, agrupamos los términos sueltos para llegar a donde $${\displaystyle v_{d}=-\mu _{e}E,}$$ ${\displaystyle \mu _{e}={\frac {e\tau _{c}}{m_{e}^{*}}}}$

De manera similar, para los huecos tenemos donde Nótese que tanto la movilidad de los electrones como la de los huecos son positivas. Se agrega un signo menos para la velocidad de deriva de los electrones para tener en cuenta la carga negativa. $${\displaystyle v_{d}=\mu _{h}E,}$$ ${\displaystyle \mu _{h}={\frac {e\tau _{c}}{m_{h}^{*}}}}$

Relación con la densidad de corriente

La densidad de corriente de deriva resultante de un campo eléctrico se puede calcular a partir de la velocidad de deriva. Considere una muestra con área de sección transversal A, longitud l y una concentración de electrones de n. La corriente transportada por cada electrón debe ser , de modo que la densidad de corriente total debido a los electrones está dada por: Usando la expresión para se obtiene Un conjunto similar de ecuaciones se aplica a los huecos, (observando que la carga en un hueco es positiva). Por lo tanto, la densidad de corriente debido a los huecos está dada por donde p es la concentración de huecos y la movilidad de los huecos. ${\displaystyle -ev_{d}}$ $${\displaystyle J_{e}={\frac {I_{n}}{A}}=-env_{d}}$$ ${\displaystyle v_{d}}$ $${\displaystyle J_{e}=en\mu _{e}E}$$ $${\displaystyle J_{h}=ep\mu _{h}E}$$ ${\displaystyle \mu _{h}}$

La densidad de corriente total es la suma de los componentes de electrones y huecos: $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$

Relación con la conductividad

Hemos derivado previamente la relación entre la movilidad de los electrones y la densidad de corriente . Ahora la ley de Ohm se puede escribir en la forma donde se define como la conductividad. Por lo tanto, podemos escribir: que se puede factorizar como $${\displaystyle J=J_{e}+J_{h}=(en\mu _{e}+ep\mu _{h})E}$$ $${\displaystyle J=\sigma E}$$ ${\displaystyle \sigma }$ $${\displaystyle \sigma =en\mu _{e}+ep\mu _{h}}$$ $${\displaystyle \sigma =e(n\mu _{e}+p\mu _{h})}$$

Relación con la difusión de electrones

En una región donde n y p varían con la distancia, se superpone una corriente de difusión a la debida a la conductividad. Esta corriente de difusión está regida por la Ley de Fick : donde: $${\displaystyle F=-D_{\text{e}}\nabla n}$$

• F es flujo.
• D _e es el coeficiente de difusión o difusividad
• ${\displaystyle \nabla n}$es el gradiente de concentración de electrones

El coeficiente de difusión de un portador de carga está relacionado con su movilidad mediante la relación de Einstein . Para un sistema clásico (por ejemplo, el gas de Boltzmann), se lee: donde: $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}k_{\mathrm {B} }T}{e}}}$$

• k _B es la constante de Boltzmann
• T es la temperatura absoluta
• e es la carga eléctrica de un electrón

Para un metal, descrito por un gas de Fermi (líquido de Fermi), se debe utilizar la versión cuántica de la relación de Einstein. Normalmente, la temperatura es mucho menor que la energía de Fermi; en este caso, se debe utilizar la siguiente fórmula: donde: $${\displaystyle D_{\text{e}}={\frac {\mu _{\text{e}}E_{F}}{e}}}$$

• E _F es la energía de Fermi

Ejemplos

La movilidad típica de los electrones a temperatura ambiente (300 K) en metales como el oro , el cobre y la plata es de 30 a 50 cm ² /(V⋅s). La movilidad de los portadores en semiconductores depende del dopaje. En el silicio (Si), la movilidad de los electrones es del orden de 1000, en el germanio de alrededor de 4000 y en el arseniuro de galio de hasta 10 000 cm ² /(V⋅s). Las movilidades de los huecos son generalmente más bajas y varían desde alrededor de 100 cm ² /(V⋅s) en el arseniuro de galio, hasta 450 en el silicio y 2000 en el germanio. ^[1]

Se ha encontrado una movilidad muy alta en varios sistemas ultrapuros de baja dimensión, como los gases de electrones bidimensionales ( 2DEG ) (35 000 000 cm ² /(V⋅s) a baja temperatura), ^[2] los nanotubos de carbono (100 000 cm ² /(V⋅s) a temperatura ambiente) ^{[3] y} el grafeno independiente (200 000 cm ² /(V⋅s) a baja temperatura). ^[4] Los semiconductores orgánicos ( polímeros , oligómeros ) desarrollados hasta ahora tienen movilidades de portadores inferiores a 50 cm ² /(V⋅s), y normalmente inferiores a 1, con materiales de buen rendimiento medidos por debajo de 10. ^[5]

Dependencia del campo eléctrico y saturación de la velocidad

En campos bajos, la velocidad de deriva v _d es proporcional al campo eléctrico E , por lo que la movilidad μ es constante. Este valor de μ se denomina movilidad de campo bajo .

Sin embargo, a medida que aumenta el campo eléctrico, la velocidad del portador aumenta de forma sublineal y asintótica hacia un valor máximo posible, llamado velocidad de saturación v _sat . Por ejemplo, el valor de v _sat es del orden de 1×10 ⁷ cm/s tanto para electrones como para huecos en Si. Es del orden de 6×10 ⁶ cm/s para Ge. Esta velocidad es una característica del material y una función importante de los niveles de dopaje o impurezas y de la temperatura. Es una de las propiedades clave de los materiales y dispositivos semiconductores que determinan el límite máximo de velocidad de respuesta y frecuencia de un dispositivo como un transistor.

Este fenómeno de saturación de velocidad resulta de un proceso llamado dispersión óptica de fonones . En campos altos, los portadores se aceleran lo suficiente para ganar suficiente energía cinética entre colisiones para emitir un fonón óptico, y lo hacen muy rápidamente, antes de ser acelerados una vez más. La velocidad que alcanza el electrón antes de emitir un fonón es: donde ω _fonón(opt.) es la frecuencia angular del fonón óptico y m* la masa efectiva del portador en la dirección del campo eléctrico. El valor de E _{fonón (opt.)} es 0,063 eV para Si y 0,034 eV para GaAs y Ge. La velocidad de saturación es solo la mitad de v _emit , porque el electrón comienza a velocidad cero y acelera hasta v _emit en cada ciclo. ^[13] (Esta es una descripción algo simplificada. ^[13] ) $${\displaystyle {\frac {m^{*}v_{\text{emit}}^{2}}{2}}\approx \hbar \omega _{\text{phonon (opt.)}}}$$

La saturación de velocidad no es el único comportamiento posible de campo alto. Otro es el efecto Gunn , en el que un campo eléctrico suficientemente alto puede provocar una transferencia de electrones a intervalos, lo que reduce la velocidad de deriva. Esto es inusual; aumentar el campo eléctrico casi siempre aumenta la velocidad de deriva, o bien la deja sin cambios. El resultado es una resistencia diferencial negativa .

En el régimen de saturación de velocidad (u otros efectos de campo alto), la movilidad es una función importante del campo eléctrico. Esto significa que la movilidad es un concepto algo menos útil, en comparación con el simple análisis directo de la velocidad de deriva.

Relación entre dispersión y movilidad

Recordemos que, por definición, la movilidad depende de la velocidad de deriva. El factor principal que determina la velocidad de deriva (aparte de la masa efectiva ) es el tiempo de dispersión , es decir, cuánto tiempo el portador es acelerado balísticamente por el campo eléctrico hasta que se dispersa (choca) con algo que cambia su dirección y/o energía. Las fuentes más importantes de dispersión en materiales semiconductores típicos, que se analizan a continuación, son la dispersión de impurezas ionizadas y la dispersión de fonones acústicos (también llamada dispersión reticular). En algunos casos, otras fuentes de dispersión pueden ser importantes, como la dispersión de impurezas neutras, la dispersión de fonones ópticos, la dispersión de superficie y la dispersión de defectos . ^[14]

La dispersión elástica significa que la energía se conserva (casi) durante el evento de dispersión. Algunos procesos de dispersión elástica son la dispersión de fonones acústicos, la dispersión de impurezas, la dispersión piezoeléctrica, etc. En la dispersión de fonones acústicos, los electrones se dispersan del estado k al k' , mientras emiten o absorben un fonón de vector de onda q . Este fenómeno se suele modelar asumiendo que las vibraciones de la red provocan pequeños cambios en las bandas de energía. El potencial adicional que causa el proceso de dispersión se genera por las desviaciones de las bandas debido a estas pequeñas transiciones desde posiciones de red congeladas. ^[15]

Dispersión de impurezas ionizadas

Los semiconductores están dopados con donantes y/o aceptores, que normalmente están ionizados y, por lo tanto, están cargados. Las fuerzas de Coulomb desviarán un electrón o un hueco que se acerque a la impureza ionizada. Esto se conoce como dispersión de impurezas ionizadas . La cantidad de desviación depende de la velocidad del portador y su proximidad al ion. Cuanto más dopado esté un material, mayor será la probabilidad de que un portador colisione con un ion en un tiempo determinado, y menor será el tiempo libre medio entre colisiones y menor la movilidad. Al determinar la fuerza de estas interacciones debido a la naturaleza de largo alcance del potencial de Coulomb, otras impurezas y portadores libres hacen que el rango de interacción con los portadores se reduzca significativamente en comparación con la interacción de Coulomb simple.

Si estos dispersores están cerca de la interfaz, la complejidad del problema aumenta debido a la existencia de defectos y trastornos en los cristales. Los centros de atrapamiento de carga que dispersan a los portadores libres se forman en muchos casos debido a defectos asociados con enlaces colgantes. La dispersión se produce porque después de atrapar una carga, el defecto se carga y, por lo tanto, comienza a interactuar con los portadores libres. Si los portadores dispersos están en la capa de inversión en la interfaz, la dimensionalidad reducida de los portadores hace que el caso sea diferente del caso de dispersión de impurezas en masa, ya que los portadores se mueven solo en dos dimensiones. La rugosidad de la interfaz también causa dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi bidimensionales en la interfaz. ^[15]

Dispersión reticular (fonónica)

A cualquier temperatura por encima del cero absoluto , los átomos vibrantes crean ondas de presión (acústicas) en el cristal, que se denominan fonones . Al igual que los electrones, los fonones pueden considerarse partículas. Un fonón puede interactuar (colisionar) con un electrón (o un hueco) y dispersarlo. A mayor temperatura, hay más fonones y, por lo tanto, aumenta la dispersión de electrones, lo que tiende a reducir la movilidad.

Dispersión piezoeléctrica

El efecto piezoeléctrico sólo puede producirse en semiconductores compuestos debido a su naturaleza polar. Es pequeño en la mayoría de los semiconductores, pero puede dar lugar a campos eléctricos locales que causan la dispersión de los portadores al desviarlos; este efecto es importante principalmente a bajas temperaturas, donde otros mecanismos de dispersión son débiles. Estos campos eléctricos surgen de la distorsión de la celda unitaria básica a medida que se aplica tensión en determinadas direcciones en la red. ^[15]

Dispersión de la rugosidad superficial

La dispersión de la rugosidad superficial causada por el desorden de la interfaz es una dispersión de corto alcance que limita la movilidad de los electrones cuasi bidimensionales en la interfaz. A partir de micrografías electrónicas de transmisión de alta resolución, se ha determinado que la interfaz no es abrupta a nivel atómico, sino que la posición real del plano de la interfaz varía una o dos capas atómicas a lo largo de la superficie. Estas variaciones son aleatorias y causan fluctuaciones de los niveles de energía en la interfaz, lo que luego causa dispersión. ^[15]

Dispersión de aleación

En los semiconductores compuestos (aleaciones), que son muchos materiales termoeléctricos, la dispersión causada por la perturbación del potencial cristalino debido a la posición aleatoria de especies de átomos sustitutivos en una subred relevante se conoce como dispersión de aleación. Esto solo puede ocurrir en aleaciones ternarias o superiores, ya que su estructura cristalina se forma reemplazando aleatoriamente algunos átomos en una de las subredes (subred) de la estructura cristalina. Generalmente, este fenómeno es bastante débil pero en ciertos materiales o circunstancias, puede convertirse en un efecto dominante que limite la conductividad. En materiales a granel, la dispersión de interfaz generalmente se ignora. ^{[15] [16] [17] [18] [19]}

Dispersión inelástica

Durante los procesos de dispersión inelástica, se produce un intercambio de energía significativo. Al igual que con la dispersión elástica de fonones, también en el caso inelástico, el potencial surge de las deformaciones de la banda de energía causadas por las vibraciones atómicas. Los fonones ópticos que causan dispersión inelástica suelen tener una energía en el rango de 30-50 meV, a modo de comparación, las energías de los fonones acústicos suelen ser inferiores a 1 meV, pero algunos pueden tener una energía del orden de 10 meV. Hay un cambio significativo en la energía del portador durante el proceso de dispersión. Los fonones ópticos o acústicos de alta energía también pueden causar dispersión intervalar o interbanda, lo que significa que la dispersión no está limitada a un único valle. ^[15]

Dispersión electrón-electrón

Debido al principio de exclusión de Pauli, los electrones pueden considerarse no interactuantes si su densidad no supera el valor 10 ¹⁶ ~10 ¹⁷ cm ⁻³ o el valor del campo eléctrico 10 ³ V/cm. Sin embargo, significativamente por encima de estos límites, la dispersión electrón-electrón comienza a predominar. El largo alcance y la no linealidad del potencial de Coulomb que rige las interacciones entre electrones hacen que estas interacciones sean difíciles de manejar. ^{[15] [16] [17]}

Relación entre movilidad y tiempo de dispersión

Un modelo simple da la relación aproximada entre el tiempo de dispersión (tiempo promedio entre eventos de dispersión) y la movilidad. Se supone que después de cada evento de dispersión, el movimiento del portador es aleatorio, por lo que tiene una velocidad promedio cero. Después de eso, acelera uniformemente en el campo eléctrico, hasta que se dispersa nuevamente. La movilidad de deriva promedio resultante es: ^[20] donde q es la carga elemental , m * es la masa efectiva del portador y τ es el tiempo de dispersión promedio. $${\displaystyle \mu ={\frac {q}{m^{*}}}{\overline {\tau }}}$$

Si la masa efectiva es anisotrópica (dependiente de la dirección), m * es la masa efectiva en la dirección del campo eléctrico.

La regla de Matthiessen

Normalmente, hay más de una fuente de dispersión, por ejemplo, impurezas y fonones reticulares. Normalmente, una buena aproximación consiste en combinar sus influencias utilizando la "regla de Matthiessen" (desarrollada a partir del trabajo de Augustus Matthiessen en 1864):

$${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}.}$$donde μ es la movilidad real, es la movilidad que tendría el material si hubiera dispersión de impurezas pero ninguna otra fuente de dispersión, y es la movilidad que tendría el material si hubiera dispersión de fonones reticulares pero ninguna otra fuente de dispersión. Se pueden agregar otros términos para otras fuentes de dispersión, por ejemplo, la regla de Matthiessen también se puede enunciar en términos del tiempo de dispersión: donde τ es el tiempo de dispersión promedio real y τ _impurezas es el tiempo de dispersión si hubiera dispersión de impurezas pero ninguna otra fuente de dispersión, etc. ${\displaystyle \mu _{\rm {impurities}}}$ ${\displaystyle \mu _{\rm {lattice}}}$ $${\displaystyle {\frac {1}{\mu }}={\frac {1}{\mu _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\mu _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}={\frac {1}{\tau _{\rm {impurities}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {lattice}}}}+{\frac {1}{\tau _{\rm {defects}}}}+\cdots .}$$

La regla de Matthiessen es una aproximación y no es válida universalmente. Esta regla no es válida si los factores que afectan la movilidad dependen entre sí, porque las probabilidades de dispersión individuales no se pueden sumar a menos que sean independientes entre sí. ^[19] El tiempo libre promedio de vuelo de un portador y, por lo tanto, el tiempo de relajación es inversamente proporcional a la probabilidad de dispersión. ^{[15] [16] [18]} Por ejemplo, la dispersión reticular altera la velocidad promedio de los electrones (en la dirección del campo eléctrico), lo que a su vez altera la tendencia a dispersar impurezas. Hay fórmulas más complicadas que intentan tener en cuenta estos efectos. ^[21]

Dependencia de la temperatura de la movilidad

Con el aumento de la temperatura, la concentración de fonones aumenta y provoca una mayor dispersión. Por lo tanto, la dispersión reticular reduce cada vez más la movilidad del portador a mayor temperatura. Los cálculos teóricos revelan que la movilidad en semiconductores no polares , como el silicio y el germanio, está dominada por la interacción acústica de fonones . Se espera que la movilidad resultante sea proporcional a T  ^−3/2 , mientras que la movilidad debida únicamente a la dispersión óptica de fonones se espera que sea proporcional a T  ^−1/2 . Experimentalmente, los valores de la dependencia de la temperatura de la movilidad en Si, Ge y GaAs se enumeran en la tabla. ^[22]

Como , donde es la sección eficaz de dispersión para electrones y huecos en un centro de dispersión y es un promedio térmico (estadística de Boltzmann) sobre todas las velocidades de electrones o huecos en la banda de conducción inferior o la banda de valencia superior, se puede determinar la dependencia de la temperatura de la movilidad. Aquí, se utiliza la siguiente definición para la sección eficaz de dispersión: número de partículas dispersadas en un ángulo sólido dΩ por unidad de tiempo dividido por el número de partículas por área por tiempo (intensidad incidente), que proviene de la mecánica clásica. Como las estadísticas de Boltzmann son válidas para semiconductores . ${\textstyle {\frac {1}{\tau }}\propto \left\langle v\right\rangle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle \sim {\sqrt {T}}}$

Para la dispersión de fonones acústicos, para temperaturas muy superiores a la temperatura de Debye, la sección transversal estimada Σ _ph se determina a partir del cuadrado de la amplitud vibracional promedio de un fonón para que sea proporcional a T . La dispersión de defectos cargados (donantes o aceptores ionizados) conduce a la sección transversal . Esta fórmula es la sección transversal de dispersión para la "dispersión de Rutherford", donde una carga puntual (portadora) se mueve más allá de otra carga puntual (defecto) que experimenta interacción de Coulomb. ${\displaystyle {\Sigma }_{\text{def}}\propto {\left\langle v\right\rangle }^{-4}}$

Las dependencias de temperatura de estos dos mecanismos de dispersión en semiconductores se pueden determinar combinando fórmulas para τ, Σ y , para la dispersión de los fonones acústicos y de los defectos cargados . ^{[16] [18]} ${\displaystyle \left\langle v\right\rangle }$ ${\displaystyle {\mu }_{ph}\sim T^{-3/2}}$ ${\displaystyle {\mu }_{\text{def}}\sim T^{3/2}}$

Sin embargo, el efecto de dispersión de impurezas ionizadas disminuye con el aumento de la temperatura porque las velocidades térmicas promedio de los portadores aumentan. ^[14] Por lo tanto, los portadores pasan menos tiempo cerca de una impureza ionizada a medida que pasan y el efecto de dispersión de los iones se reduce.

Estos dos efectos actúan simultáneamente sobre los portadores a través de la regla de Matthiessen. A temperaturas más bajas, predomina la dispersión de impurezas ionizadas, mientras que a temperaturas más altas predomina la dispersión de fonones y la movilidad real alcanza un máximo a una temperatura intermedia.

Semiconductores desordenados

Densidad de estados de un sólido que posee un borde de movilidad, . ${\displaystyle E_{C}}$

Mientras que en los materiales cristalinos los electrones pueden describirse mediante funciones de onda extendidas sobre todo el sólido, ^[23] este no es el caso en sistemas con un desorden estructural apreciable, como los semiconductores policristalinos o amorfos . Anderson sugirió que más allá de un valor crítico de desorden estructural, ^[24] los estados de los electrones estarían localizados . Los estados localizados se describen como confinados a una región finita del espacio real, normalizables y que no contribuyen al transporte. Los estados extendidos se extienden por la extensión del material, no son normalizables y contribuyen al transporte. A diferencia de los semiconductores cristalinos, la movilidad generalmente aumenta con la temperatura en los semiconductores desordenados.

Captura y liberación múltiple

Más tarde, Mott desarrolló ^[25] el concepto de borde de movilidad. Se trata de una energía por encima de la cual los electrones experimentan una transición de estados localizados a deslocalizados. En esta descripción, denominada atrapamiento y liberación múltiples , los electrones solo pueden viajar cuando están en estados extendidos y están constantemente atrapados y liberados de los estados localizados de menor energía. Debido a que la probabilidad de que un electrón se libere de una trampa depende de su energía térmica, la movilidad puede describirse mediante una relación de Arrhenius en un sistema de este tipo: ${\displaystyle E_{C}}$

Diagrama de bandas de energía que representa el transporte de electrones bajo atrapamiento y liberación múltiples.

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-{\frac {E_{\text{A}}}{k_{\text{B}}T}}\right)}$$

donde es un prefactor de movilidad, es la energía de activación, es la constante de Boltzmann y es la temperatura. La energía de activación se evalúa típicamente midiendo la movilidad como una función de la temperatura. La energía de Urbach se puede utilizar como un indicador de la energía de activación en algunos sistemas. ^[26] ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle E_{\text{A}}}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$

Salto de rango variable

A baja temperatura, o en sistemas con un alto grado de desorden estructural (como sistemas completamente amorfos), los electrones no pueden acceder a estados deslocalizados. En un sistema de este tipo, los electrones solo pueden viajar mediante el efecto túnel de un sitio a otro, en un proceso llamado salto de rango variable . En la teoría original de salto de rango variable, desarrollada por Mott y Davis, ^[27] la probabilidad de que un electrón salte de un sitio a otro depende de su separación en el espacio y su separación en energía . ${\displaystyle P_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{ij}}$ ${\displaystyle \Delta E_{ij}}$

$${\displaystyle P_{ij}=P_{0}\exp \left(-2\alpha r_{ij}-{\frac {\Delta E_{ij}}{k_{B}T}}\right)}$$

Aquí hay un prefactor asociado con la frecuencia del fonón en el material, ^[28] y es el parámetro de superposición de la función de onda. La movilidad en un sistema gobernado por saltos de rango variable se puede demostrar ^[27] como: ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle \mu =\mu _{0}\exp \left(-\left[{\frac {T_{0}}{T}}\right]^{-1/(d+1)}\right)}$$

donde es un prefactor de movilidad, es un parámetro (con dimensiones de temperatura) que cuantifica el ancho de los estados localizados y es la dimensionalidad del sistema. ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle d}$

Medición de la movilidad de semiconductores

Movilidad en sala

Configuración de medición de efecto Hall para agujeros

Configuración de medición del efecto Hall para electrones

La movilidad del portador se mide más comúnmente utilizando el efecto Hall . El resultado de la medición se denomina "movilidad Hall" (que significa "movilidad inferida a partir de una medición del efecto Hall").

Considere una muestra de semiconductor con una sección transversal rectangular como se muestra en las figuras, una corriente fluye en la dirección x y se aplica un campo magnético en la dirección z . La fuerza de Lorentz resultante acelerará los electrones ( materiales de tipo n ) o los huecos (materiales de tipo p ) en la dirección (− y ), de acuerdo con la regla de la mano derecha y establecerá un campo eléctrico ξ _y . Como resultado, hay un voltaje a través de la muestra, que se puede medir con un voltímetro de alta impedancia . Este voltaje, V _H , se llama voltaje Hall . V _H es negativo para material de tipo n y positivo para material de tipo p .

Matemáticamente, la fuerza de Lorentz que actúa sobre una carga q está dada por

Para los electrones: $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hn}=-q(\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z})}$$

Para agujeros: $${\displaystyle \mathbf {F} _{Hp}=+q(\mathbf {v} _{p}\times \mathbf {B} _{z})}$$

En estado estable, esta fuerza se equilibra con la fuerza creada por el voltaje Hall, de modo que no hay una fuerza neta sobre los portadores en la dirección y . Para los electrones,

$${\displaystyle \mathbf {F} _{y}=(-q)\xi _{y}+(-q)[\mathbf {v} _{n}\times \mathbf {B} _{z}]=0}$$

$${\displaystyle \Rightarrow -q\xi _{y}+qv_{x}B_{z}=0}$$

$${\displaystyle \xi _{y}=v_{x}B_{z}}$$

Para los electrones, el campo apunta en la dirección − y , y para los huecos, apunta en la dirección + y .

La corriente de electrones I está dada por . Sub v _x en la expresión para ξ _y , ${\displaystyle I=-qnv_{x}tW}$

$${\displaystyle \xi _{y}=-{\frac {IB}{nqtW}}=+{\frac {R_{Hn}IB}{tW}}}$$

donde R _Hn es el coeficiente de Hall para el electrón, y se define como $${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}}$$

Desde ${\displaystyle \xi _{y}={\frac {V_{H}}{W}}}$ $${\displaystyle R_{Hn}=-{\frac {1}{nq}}={\frac {V_{Hn}t}{IB}}}$$

De manera similar, para los agujeros $${\displaystyle R_{Hp}={\frac {1}{pq}}={\frac {V_{Hp}t}{IB}}}$$

A partir del coeficiente de Hall, podemos obtener la movilidad del portador de la siguiente manera: $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{n}&=\left(-nq\right)\mu _{n}\left(-{\frac {1}{nq}}\right)\\&=-\sigma _{n}R_{Hn}\\&=-{\frac {\sigma _{n}V_{Hn}t}{IB}}\end{aligned}}}$$

Similarmente, $${\displaystyle \mu _{p}={\frac {\sigma _{p}V_{Hp}t}{IB}}}$$

Aquí se puede medir directamente el valor de V _Hp (voltaje Hall), t (espesor de la muestra), I (corriente) y B (campo magnético), y las conductividades σ _n o σ _p son conocidas o se pueden obtener midiendo la resistividad.

Movilidad por efecto de campo

La movilidad también se puede medir utilizando un transistor de efecto de campo (FET). El resultado de la medición se denomina "movilidad de efecto de campo" (es decir, "movilidad inferida a partir de una medición de efecto de campo").

La medición puede funcionar de dos maneras: desde mediciones en modo de saturación o mediciones en la región lineal. ^[29] (Consulte MOSFET para obtener una descripción de los diferentes modos o regiones de operación).

Usando el modo de saturación

En esta técnica, ^[29] para cada voltaje de compuerta fijo V _GS , el voltaje drenador-fuente V _DS se incrementa hasta que la corriente I _D se satura. A continuación, se grafica la raíz cuadrada de esta corriente saturada contra el voltaje de compuerta y se mide la pendiente m _sat . Luego, la movilidad es: donde L y W son la longitud y el ancho del canal y C _i es la capacitancia del aislante de la compuerta por unidad de área. Esta ecuación proviene de la ecuación aproximada para un MOSFET en modo de saturación: donde V _th es el voltaje umbral. Esta aproximación ignora el efecto Early (modulación de la longitud del canal), entre otras cosas. En la práctica, esta técnica puede subestimar la movilidad real. ^[30] $${\displaystyle \mu =m_{\text{sat}}^{2}{\frac {2L}{W}}{\frac {1}{C_{i}}}}$$ $${\displaystyle I_{D}={\frac {\mu C_{i}}{2}}{\frac {W}{L}}(V_{GS}-V_{th})^{2}.}$$

Utilizando la región lineal

En esta técnica, ^[29] el transistor se opera en la región lineal (o "modo óhmico"), donde V _DS es pequeño y con pendiente m _lin . Entonces la movilidad es: Esta ecuación proviene de la ecuación aproximada para un MOSFET en la región lineal: En la práctica, esta técnica puede sobreestimar la movilidad real, porque si V _DS no es lo suficientemente pequeño y V _G no es lo suficientemente grande, el MOSFET puede no permanecer en la región lineal. ^[30] ${\displaystyle I_{D}\propto V_{GS}}$ $${\displaystyle \mu =m_{\text{lin}}{\frac {L}{W}}{\frac {1}{V_{DS}}}{\frac {1}{C_{i}}}.}$$ $${\displaystyle I_{D}=\mu C_{i}{\frac {W}{L}}\left((V_{GS}-V_{th})V_{DS}-{\frac {V_{DS}^{2}}{2}}\right)}$$

Movilidad óptica

La movilidad de los electrones se puede determinar a partir de mediciones de la técnica de fotorreflectancia láser sin contacto. Se realizan una serie de mediciones de fotorreflectancia a medida que la muestra pasa por el foco. La longitud de difusión de los electrones y el tiempo de recombinación se determinan mediante un ajuste regresivo a los datos. Luego se utiliza la relación de Einstein para calcular la movilidad. ^{[31] [32]}

Movilidad de terahercios

La movilidad de los electrones se puede calcular a partir de la medición de la sonda de terahercios resuelta en el tiempo . ^{[33] [34] Los pulsos} láser de femtosegundos excitan el semiconductor y la fotoconductividad resultante se mide utilizando una sonda de terahercios, que detecta cambios en el campo eléctrico de terahercios. ^[35]

Conductividad de microondas resuelta en el tiempo (TRMC)

Se puede evaluar un indicador de la movilidad de los portadores de carga utilizando la conductividad de microondas resuelta en el tiempo (TRMC). ^[36] Se utiliza un láser óptico pulsado para crear electrones y huecos en un semiconductor, que luego se detectan como un aumento de la fotoconductancia. Conociendo la absorbancia de la muestra, las dimensiones y la fluencia del láser incidente, se puede evaluar el parámetro, donde es el rendimiento de generación de portadores (entre 0 y 1), es la movilidad del electrón y es la movilidad del hueco. tiene las mismas dimensiones que la movilidad, pero el tipo de portador (electrón o hueco) está oculto. ${\displaystyle \phi \Sigma \mu =\phi (\mu _{e}+\mu _{h})}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mu _{e}}$ ${\displaystyle \mu _{h}}$ ${\displaystyle \phi \Sigma \mu }$

Dependencia de la concentración de dopaje en silicio altamente dopado

Los portadores de carga en los semiconductores son electrones y huecos. Su número está controlado por las concentraciones de elementos de impureza, es decir, la concentración de dopaje. Por lo tanto, la concentración de dopaje tiene una gran influencia en la movilidad de los portadores.

Si bien existe una dispersión considerable en los datos experimentales , para material no compensado (sin dopaje de contrapeso) para sustratos fuertemente dopados (es decir, y superiores), la movilidad en silicio a menudo se caracteriza por la relación empírica : ^[37] donde N es la concentración de dopaje (ya sea N _D o N _A ), y N _ref y α son parámetros de ajuste. A temperatura ambiente , la ecuación anterior se convierte en: ${\displaystyle 10^{18}\mathrm {cm} ^{-3}}$ $${\displaystyle \mu =\mu _{o}+{\frac {\mu _{1}}{1+\left({\frac {N}{N_{\text{ref}}}}\right)^{\alpha }}}}$$

Portadores mayoritarios: ^[38] $${\displaystyle \mu _{n}(N_{D})=65+{\frac {1265}{1+\left({\frac {N_{D}}{8.5\times 10^{16}}}\right)^{0.72}}}}$$ $${\displaystyle \mu _{p}(N_{A})=48+{\frac {447}{1+\left({\frac {N_{A}}{6.3\times 10^{16}}}\right)^{0.76}}}}$$

Portadores minoritarios: ^[39] $${\displaystyle \mu _{n}(N_{A})=232+{\frac {1180}{1+\left({\frac {N_{A}}{8\times 10^{16}}}\right)^{0.9}}}}$$ $${\displaystyle \mu _{p}(N_{D})=130+{\frac {370}{1+\left({\frac {N_{D}}{8\times 10^{17}}}\right)^{1.25}}}}$$

Estas ecuaciones se aplican únicamente al silicio y únicamente en condiciones de campo bajo.

Véase también

• Velocidad de la electricidad

Referencias

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Enlaces externos

• Entrada del glosario de semiconductores para movilidad de electrones Archivado el 4 de enero de 2009 en Wayback Machine.
• Calculadora de resistividad y movilidad de la sala limpia de BYU
• Conferencia online - La movilidad desde un punto de vista atomístico