Integral de la función gaussiana, igual a sqrt(π)
Una gráfica de la función y el área entre ella y el eje (es decir, toda la línea real) que es igual a . F ( X ) = mi − X 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}} X {\displaystyle x} π {\displaystyle {\sqrt {\pi }}} La integral gaussiana , también conocida como integral de Euler-Poisson , es la integral de la función gaussiana sobre toda la recta real. La integral, que lleva el nombre del matemático alemán Carl Friedrich Gauss , es F ( X ) = mi − X 2 {\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}}}
∫ − ∞ ∞ mi − X 2 d X = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.} Abraham de Moivre descubrió originalmente este tipo de integral en 1733, mientras que Gauss publicó la integral precisa en 1809. [1] La integral tiene una amplia gama de aplicaciones. Por ejemplo, con un ligero cambio de variables se utiliza para calcular la constante de normalización de la distribución normal . La misma integral con límites finitos está estrechamente relacionada tanto con la función de error como con la función de distribución acumulativa de la distribución normal . En física este tipo de integral aparece con frecuencia, por ejemplo, en mecánica cuántica , para encontrar la densidad de probabilidad del estado fundamental del oscilador armónico. Esta integral también se utiliza en la formulación de integral de trayectoria, para encontrar el propagador del oscilador armónico, y en mecánica estadística , para encontrar su función de partición .
Aunque no existe una función elemental para la función de error, como lo demuestra el algoritmo de Risch , [2] la integral gaussiana se puede resolver analíticamente mediante los métodos del cálculo multivariable . Es decir, no existe una integral indefinida
∫ mi − X 2 d X , {\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,} integral definida ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} función gaussiana ∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.} Cálculo Por coordenadas polares Una forma estándar de calcular la integral gaussiana, cuya idea se remonta a Poisson, [3] es hacer uso de la propiedad que:
( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y = ∫ − ∞ ∞ ∫ − ∞ ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y . {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy.} Considere la función en el plano y calcule su integral de dos maneras: e − ( x 2 + y 2 ) = e − r 2 {\displaystyle e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=e^{-r^{2}}} R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
por un lado, por doble integración en el sistema de coordenadas cartesiano , su integral es un cuadrado: ( ∫ e − x 2 d x ) 2 ; {\displaystyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};} por otro lado, mediante integración de capas (un caso de doble integración en coordenadas polares ), su integral se calcula como π {\displaystyle \pi } La comparación de estos dos cálculos produce la integral, aunque se debe tener cuidado con las integrales impropias involucradas.
∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = 2 π ∫ 0 ∞ r e − r 2 d r = 2 π ∫ − ∞ 0 1 2 e s d s s = − r 2 = π ∫ − ∞ 0 e s d s = lim x → − ∞ π ( e 0 − e x ) = π , {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\lim _{x\to -\infty }\pi \left(e^{0}-e^{x}\right)\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}} r determinante jacobiano transformación a coordenadas polares r dr dθ s = − r 2 ds = −2 r dr Combinando estos rendimientos
( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) 2 = π , {\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.} prueba completa Para justificar las integrales dobles impropias e igualar las dos expresiones, comenzamos con una función de aproximación:
I ( a ) = ∫ − a a e − x 2 d x . {\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.} si la integral
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} absolutamente convergentes valor principal de Cauchy lim a → ∞ I ( a ) {\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)} ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}
∫ − ∞ ∞ | e − x 2 | d x < ∫ − ∞ − 1 − x e − x 2 d x + ∫ − 1 1 e − x 2 d x + ∫ 1 ∞ x e − x 2 d x < ∞ . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left|e^{-x^{2}}\right|dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .} Entonces podemos calcular
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx} lim a → ∞ I ( a ) . {\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a).} Tomando el cuadrado de los rendimientos I ( a ) {\displaystyle I(a)}
I ( a ) 2 = ( ∫ − a a e − x 2 d x ) ( ∫ − a a e − y 2 d y ) = ∫ − a a ( ∫ − a a e − y 2 d y ) e − x 2 d x = ∫ − a a ∫ − a a e − ( x 2 + y 2 ) d y d x . {\displaystyle {\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\,dx.\end{aligned}}} Usando el teorema de Fubini , la integral doble anterior puede verse como una integral de área
∬ [ − a , a ] × [ − a , a ] e − ( x 2 + y 2 ) d ( x , y ) , {\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,d(x,y),} {(− a , a ), ( a , a ), ( a , − a ), (− a
, − a )} xy Dado que la función exponencial es mayor que 0 para todos los números reales, se deduce que la integral tomada sobre el círculo circunstante del cuadrado debe ser menor que , y de manera similar, la integral tomada sobre el círculo circunstante del cuadrado debe ser mayor que . Las integrales sobre los dos discos se pueden calcular fácilmente cambiando de coordenadas cartesianas a coordenadas polares : I ( a ) 2 {\displaystyle I(a)^{2}} I ( a ) 2 {\displaystyle I(a)^{2}}
x = r cos θ y = r sin θ {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}} J ( r , θ ) = [ ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ ] = [ cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ] {\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}} d ( x , y ) = | J ( r , θ ) | d ( r , θ ) = r d ( r , θ ) . {\displaystyle d(x,y)=|J(r,\theta )|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).} ∫ 0 2 π ∫ 0 a r e − r 2 d r d θ < I 2 ( a ) < ∫ 0 2 π ∫ 0 a 2 r e − r 2 d r d θ . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .} (Consulte las coordenadas polares desde las coordenadas cartesianas para obtener ayuda con la transformación polar).
integrando,
π ( 1 − e − a 2 ) < I 2 ( a ) < π ( 1 − e − 2 a 2 ) . {\displaystyle \pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)<I^{2}(a)<\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right).} Según el teorema de compresión , esto da la integral gaussiana
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.} Por coordenadas cartesianas Una técnica diferente, que se remonta a Laplace (1812), [3] es la siguiente. Dejar
y = x s d y = x d s . {\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}} Dado que los límites de s cuando y → ±∞x , se simplifica el cálculo al utilizar el hecho de que e − x 2 función par y, por lo tanto, la integral sobre todos los números reales es solo el doble de la integral de cero a infinito. Eso es,
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.} Por lo tanto, en el rango de integración, x ≥ 0y y s tienen los mismos límites. Esto produce:
I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y d x = 4 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d y ) d x = 4 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d s ) d x {\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}} el teorema de Fubini orden de integración I 2 = 4 ∫ 0 ∞ ( ∫ 0 ∞ e − x 2 ( 1 + s 2 ) x d x ) d s = 4 ∫ 0 ∞ [ e − x 2 ( 1 + s 2 ) − 2 ( 1 + s 2 ) ] x = 0 x = ∞ d s = 4 ( 1 2 ∫ 0 ∞ d s 1 + s 2 ) = 2 arctan ( s ) | 0 ∞ = π . {\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}} Por lo tanto, como se esperaba. I = π {\displaystyle I={\sqrt {\pi }}}
Por el método de Laplace En la aproximación de Laplace, tratamos sólo con términos de hasta segundo orden en la expansión de Taylor, por lo que consideramos . e − x 2 ≈ 1 − x 2 ≈ ( 1 + x 2 ) − 1 {\displaystyle e^{-x^{2}}\approx 1-x^{2}\approx (1+x^{2})^{-1}}
De hecho, dado que para todos , tenemos los límites exactos: ( 1 + t ) e − t ≤ 1 {\displaystyle (1+t)e^{-t}\leq 1} t {\displaystyle t}
1 − x 2 ≤ e − x 2 ≤ ( 1 + x 2 ) − 1 {\displaystyle 1-x^{2}\leq e^{-x^{2}}\leq (1+x^{2})^{-1}} ∫ [ − 1 , 1 ] ( 1 − x 2 ) n d x ≤ ∫ [ − 1 , 1 ] e − n x 2 d x ≤ ∫ [ − 1 , 1 ] ( 1 + x 2 ) − n d x {\displaystyle \int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-1,1]}e^{-nx^{2}}dx\leq \int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx} Eso es,
2 n ∫ [ 0 , 1 ] ( 1 − x 2 ) n d x ≤ ∫ [ − n , n ] e − x 2 d x ≤ 2 n ∫ [ 0 , 1 ] ( 1 + x 2 ) − n d x {\displaystyle 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-{\sqrt {n}},{\sqrt {n}}]}e^{-x^{2}}dx\leq 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1+x^{2})^{-n}dx} Por sustitución trigonométrica, calculamos exactamente esos dos límites: y 2 n ( 2 n ) ! ! / ( 2 n + 1 ) ! ! {\displaystyle 2{\sqrt {n}}(2n)!!/(2n+1)!!} 2 n ( π / 2 ) ( 2 n − 3 ) ! ! / ( 2 n − 2 ) ! ! {\displaystyle 2{\sqrt {n}}(\pi /2)(2n-3)!!/(2n-2)!!}
Tomando la raíz cuadrada de la fórmula de Wallis ,
π 2 = ∏ n = 1 ( 2 n ) 2 ( 2 n − 1 ) ( 2 n + 1 ) {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}} π = lim n → ∞ 2 n ( 2 n ) ! ! ( 2 n + 1 ) ! ! {\displaystyle {\sqrt {\pi }}=\lim _{n\to \infty }2{\sqrt {n}}{\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}} Relación con la función gamma El integrando es una función par ,
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx} Así, después del cambio de variable , esto se convierte en la integral de Euler x = t {\textstyle x={\sqrt {t}}}
2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 ∫ 0 ∞ 1 2 e − t t − 1 2 d t = Γ ( 1 2 ) = π {\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}} ¿Dónde está la función gamma ? Esto muestra por qué el factorial de un semientero es un múltiplo racional de . Más generalmente, Γ ( z ) = ∫ 0 ∞ t z − 1 e − t d t {\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt} π {\textstyle {\sqrt {\pi }}}
∫ 0 ∞ x n e − a x b d x = Γ ( ( n + 1 ) / b ) b a ( n + 1 ) / b , {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}},} t = a x b {\displaystyle t=ax^{b}} Γ ( z ) = a z b ∫ 0 ∞ x b z − 1 e − a x b d x {\textstyle \Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}e^{-ax^{b}}dx} Generalizaciones La integral de una función gaussiana. La integral de una función gaussiana arbitraria es
∫ − ∞ ∞ e − a ( x + b ) 2 d x = π a . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.} Una forma alternativa es
∫ − ∞ ∞ e − ( a x 2 + b x + c ) d x = π a e b 2 4 a − c . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}-c}.} Este formulario es útil para calcular las expectativas de algunas distribuciones de probabilidad continua relacionadas con la distribución normal, como la distribución log-normal , por ejemplo.
n -generalización dimensional y funcional Supongamos que A es una matriz de precisión n × n matriz de covarianza . Entonces,
∫ R n exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ∫ R n exp ( − 1 2 x T A x ) d n x = ( 2 π ) n det A = 1 det ( A / 2 π ) = det ( 2 π A − 1 ) {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}} ∫ R n exp ( − 1 2 x T A x + b T x + c ) d n x = det ( 2 π A − 1 ) e 1 2 b T A − 1 b + c {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}e^{{\frac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}A^{-1}b+c}} Este hecho se aplica en el estudio de la distribución normal multivariada .
También,
∫ x k 1 ⋯ x k 2 N exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N ( A − 1 ) k σ ( 1 ) k σ ( 2 ) ⋯ ( A − 1 ) k σ ( 2 N − 1 ) k σ ( 2 N ) {\displaystyle \int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}} σ permutación {1,…, 2 N } {1,…, 2 N } N A −1 Alternativamente, [4]
∫ f ( x → ) exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j ) d n x = ( 2 π ) n det A exp ( 1 2 ∑ i , j = 1 n ( A − 1 ) i j ∂ ∂ x i ∂ ∂ x j ) f ( x → ) | x → = 0 {\displaystyle \int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum _{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}} para alguna función analítica f , siempre que satisfaga algunos límites apropiados en su crecimiento y algunos otros criterios técnicos. (Funciona para algunas funciones y falla para otras. Los polinomios están bien). El operador exponencial sobre un diferencial se entiende como una serie de potencias .
Si bien las integrales funcionales no tienen una definición rigurosa (o incluso una computacional no rigurosa en la mayoría de los casos), podemos definir una integral funcional gaussiana en analogía con el caso de dimensión finita. [ cita necesaria Sin embargo, todavía existe el problema de que es infinito y, además, el determinante funcional también sería infinito en general. Esto se puede solucionar si solo consideramos las proporciones: ( 2 π ) ∞ {\displaystyle (2\pi )^{\infty }}
∫ f ( x 1 ) ⋯ f ( x 2 N ) exp [ − ∬ 1 2 A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d d x 2 N + 1 d d x 2 N + 2 ] D f ∫ exp [ − ∬ 1 2 A ( x 2 N + 1 , x 2 N + 2 ) f ( x 2 N + 1 ) f ( x 2 N + 2 ) d d x 2 N + 1 d d x 2 N + 2 ] D f = 1 2 N N ! ∑ σ ∈ S 2 N A − 1 ( x σ ( 1 ) , x σ ( 2 ) ) ⋯ A − 1 ( x σ ( 2 N − 1 ) , x σ ( 2 N ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\displaystyle \int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\displaystyle \int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}\\[6pt]={}&{\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).\end{aligned}}} En la notación de DeWitt , la ecuación parece idéntica al caso de dimensión finita.
n -dimensional con término lineal Si A es nuevamente una matriz simétrica definida positiva, entonces (asumiendo que todos son vectores columna)
∫ exp ( − 1 2 ∑ i , j = 1 n A i j x i x j + ∑ i = 1 n B i x i ) d n x = ∫ e − 1 2 x → T A x → + B → T x → d n x = ( 2 π ) n det A e 1 2 B → T A − 1 B → . {\displaystyle \int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}\right)d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{\mathsf {T}}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.} Integrales de forma similar
∫ 0 ∞ x 2 n e − x 2 a 2 d x = π a 2 n + 1 ( 2 n − 1 ) ! ! 2 n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}} ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − x 2 a 2 d x = n ! 2 a 2 n + 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}} ∫ 0 ∞ x 2 n e − b x 2 d x = ( 2 n − 1 ) ! ! b n 2 n + 1 π b {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{b^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}} ∫ 0 ∞ x 2 n + 1 e − b x 2 d x = n ! 2 b n + 1 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {n!}{2b^{n+1}}}} ∫ 0 ∞ x n e − b x 2 d x = Γ ( n + 1 2 ) 2 b n + 1 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2b^{\frac {n+1}{2}}}}} n {\displaystyle n} Una manera fácil de derivarlos es diferenciando bajo el signo integral .
∫ − ∞ ∞ x 2 n e − α x 2 d x = ( − 1 ) n ∫ − ∞ ∞ ∂ n ∂ α n e − α x 2 d x = ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n ∫ − ∞ ∞ e − α x 2 d x = π ( − 1 ) n ∂ n ∂ α n α − 1 2 = π α ( 2 n − 1 ) ! ! ( 2 α ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\&=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}} También se podría integrar por partes y encontrar una relación de recurrencia para resolver esto.
Polinomios de orden superior La aplicación de un cambio lineal de base muestra que la integral de la exponencial de un polinomio homogéneo en n variables puede depender sólo de SL( n ) -invariantes del polinomio. Uno de esos invariantes es el discriminante , cuyos ceros marcan las singularidades de la integral. Sin embargo, la integral también puede depender de otras invariantes. [5]
Los exponenciales de otros polinomios pares se pueden resolver numéricamente usando series. Estos pueden interpretarse como cálculos formales cuando no hay convergencia. Por ejemplo, la solución a la integral del exponencial de un polinomio cuártico es [ cita necesaria
∫ − ∞ ∞ e a x 4 + b x 3 + c x 2 + d x + f d x = 1 2 e f ∑ n , m , p = 0 n + p = 0 mod 2 ∞ b n n ! c m m ! d p p ! Γ ( 3 n + 2 m + p + 1 4 ) ( − a ) 3 n + 2 m + p + 1 4 . {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0\mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}{(-a)^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.} El requisito de n + p = 0(−1) n + p a cada término, mientras que la integral de 0 a +∞ aporta un factor de 1/2 a cada término. Estas integrales aparecen en temas como la teoría cuántica de campos .
Ver también Referencias Citas ^ Stahl, Saul (abril de 2006). «La Evolución de la Distribución Normal» (PDF) . MAA.org . Consultado el 25 de mayo de 2018 . ^ Cereza, GW (1985). "Integración en términos finitos con funciones especiales: la función de error". Revista de Computación Simbólica . 1 (3): 283–302. doi : 10.1016/S0747-7171(85)80037-7 . ^ ab "La integral de probabilidad" (PDF) . ^ "Referencia para la integral gaussiana multidimensional". Intercambio de pila . 30 de marzo de 2012. ^ Morózov, A.; Shakirov, Sh. (2009). "Introducción a los discriminantes integrales". Revista de Física de Altas Energías . 2009 (12): 002. arXiv : 0903.2595 . Código Bib : 2009JHEP...12..002M. doi :10.1088/1126-6708/2009/12/002. Fuentes Weisstein, Eric W. "Integral gaussiana". MundoMatemático Griffiths, David. Introducción a la mecánica cuántica (2ª ed.). Abramowitz, M.; Stegun, IA Manual de funciones matemáticas . Nueva York: Publicaciones de Dover.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&= \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2 \pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\ tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\ ,ds\\[6pt]&=\lim _{x\to -\infty }\pi \left(e^{0}-e^{x}\right)\\[6pt]&=\pi ,\ fin {alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c46b60ca7d942e341db4d0235f2f7c0bf4ca545)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\ left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left( \int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\ int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\,dx. \end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d510505167c225b6333ffdc0c96d23bd08638fde)
![{\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,d(x, y),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31fe5ccb6533322f51c663bc350715046f7c41f2)
![{\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta } }\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e097ec3e6c6a5a79d16a9cf77f2427726eb94c49)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2 }+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^ {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left (\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt] \end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b3713b96f98c4183d4a63ab83a24b683e14da59)
![{\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2 }\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x= 0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds} {1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi . \end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc48a8d89ff700bac4097b437ad96e9c8f6a2e22)
![{\displaystyle \int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-1,1]}e^{-nx^{2} }dx\leq \int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b94cd70c83852e01c91612ceac8ee2a9c253f6c1)
![{\displaystyle 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-{\sqrt {n}} ,{\sqrt {n}}]}e^{-x^{2}}dx\leq 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1+x^{2}) ^{-n}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81d95821a01bcfcebdb4b4e76f7bad4f389e76f7)
![{\displaystyle {\begin{alineado}&{\frac {\displaystyle \int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{ 2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1} \,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\displaystyle \int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}} A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d ^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}\\[6pt]={}&{\frac {1}{2^{N}N!}}\ suma _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a327e4b6503e102da28aea9cf7eb2ab867676362)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right )^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2 }}\,dx\\&=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\ frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\pi } {\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccdefe924b7ffa9893571092a0ea5221b93861fc)
