Inductancia

Propiedad de los conductores eléctricos.

La inductancia es la tendencia de un conductor eléctrico a oponerse a un cambio en la corriente eléctrica que fluye a través de él. La corriente eléctrica produce un campo magnético alrededor del conductor. La intensidad del campo magnético depende de la magnitud de la corriente eléctrica y sigue cualquier cambio en la magnitud de la corriente. Según la ley de inducción de Faraday , cualquier cambio en el campo magnético a través de un circuito induce una fuerza electromotriz (EMF) ( voltaje ) en los conductores, proceso conocido como inducción electromagnética . Este voltaje inducido creado por la corriente cambiante tiene el efecto de oponerse al cambio de corriente. Esto lo establece la ley de Lenz y la tensión se denomina FEM .

La inductancia se define como la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente que lo causa. ^[1] Es una constante de proporcionalidad que depende de la geometría de los conductores del circuito (por ejemplo, área de sección transversal y longitud) y de la permeabilidad magnética del conductor y los materiales cercanos. ^[1] Un componente electrónico diseñado para agregar inductancia a un circuito se llama inductor . Por lo general, consta de una bobina o hélice de alambre.

El término inductancia fue acuñado por Oliver Heaviside en mayo de 1884, como una forma conveniente de referirse al "coeficiente de autoinducción". ^{[2] [3]} Es habitual utilizar el símbolo de inductancia, en honor al físico Heinrich Lenz . ^{[4] [5]} En el sistema SI , la unidad de inductancia es el henrio (H), que es la cantidad de inductancia que provoca un voltaje de un voltio , cuando la corriente cambia a una velocidad de un amperio por segundo. ^[6] La unidad lleva el nombre de Joseph Henry , quien descubrió la inductancia independientemente de Faraday. ^[7] ${\displaystyle L}$

Historia

La historia de la inducción electromagnética, una faceta del electromagnetismo , comenzó con observaciones de los antiguos: carga eléctrica o electricidad estática (frotando seda sobre ámbar ), corriente eléctrica ( rayo ) y atracción magnética ( imán ). La comprensión de la unidad de estas fuerzas de la naturaleza y la teoría científica del electromagnetismo se iniciaron y lograron durante el siglo XIX.

La inducción electromagnética fue descrita por primera vez por Michael Faraday en 1831. ^{[8] [9]} En el experimento de Faraday, envolvió dos cables alrededor de lados opuestos de un anillo de hierro. Esperaba que, cuando la corriente comenzara a fluir por un cable, una especie de onda viajaría a través del anillo y causaría algún efecto eléctrico en el lado opuesto. Usando un galvanómetro , observó un flujo de corriente transitorio en la segunda bobina de cable cada vez que se conectaba o desconectaba una batería de la primera bobina. ^[10] Esta corriente fue inducida por el cambio en el flujo magnético que se produjo cuando se conectó y desconectó la batería. ^[11] Faraday encontró varias otras manifestaciones de inducción electromagnética. Por ejemplo, vio corrientes transitorias cuando deslizó rápidamente una barra magnética dentro y fuera de una bobina de cables, y generó una corriente constante ( CC ) al girar un disco de cobre cerca de la barra magnética con un cable eléctrico deslizante (" disco de Faraday). "). ^[12]

Fuente de inductancia

Una corriente que fluye a través de un conductor genera un campo magnético alrededor del conductor, que se describe mediante la ley del circuito de Ampere . El flujo magnético total a través de un circuito es igual al producto de la componente perpendicular de la densidad del flujo magnético y el área de la superficie que atraviesa la trayectoria de la corriente. Si la corriente varía, el flujo magnético a través del circuito cambia. Según la ley de inducción de Faraday , cualquier cambio en el flujo a través de un circuito induce una fuerza electromotriz (EMF, ) en el circuito, proporcional a la tasa de cambio del flujo. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

$${\displaystyle {\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)}$$

El signo negativo en la ecuación indica que el voltaje inducido está en una dirección que se opone al cambio de corriente que lo creó; esto se llama ley de Lenz . Por lo tanto, el potencial se denomina campo electromagnético inverso . Si la corriente va aumentando, el voltaje es positivo en el extremo del conductor por donde entra la corriente y negativo en el extremo por donde sale, tendiendo a reducir la corriente. Si la corriente va disminuyendo, el voltaje es positivo en el extremo por donde sale la corriente del conductor, tendiendo a mantener la corriente. La autoinductancia, generalmente llamada simplemente inductancia, es la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente. ${\displaystyle L}$

$${\displaystyle v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;}$$

Así, la inductancia es una propiedad de un conductor o circuito, debido a su campo magnético, que tiende a oponerse a los cambios de corriente a través del circuito. La unidad de inductancia en el sistema SI es el henrio (H), llamado así en honor a Joseph Henry , que es la cantidad de inductancia que genera un voltaje de un voltio cuando la corriente cambia a una velocidad de un amperio por segundo.

Todos los conductores tienen alguna inductancia, que puede tener efectos deseables o perjudiciales en dispositivos eléctricos prácticos. La inductancia de un circuito depende de la geometría del camino de la corriente y de la permeabilidad magnética de los materiales cercanos; Los materiales ferromagnéticos con mayor permeabilidad, como el hierro, cerca de un conductor, tienden a aumentar el campo magnético y la inductancia. Cualquier alteración en un circuito que aumente el flujo (campo magnético total) a través del circuito producido por una corriente determinada aumenta la inductancia, porque la inductancia también es igual a la relación entre el flujo magnético y la corriente ^{[13] [14] [15] [16 ]}

$${\displaystyle L={\Phi (i) \over i}}$$

Un inductor es un componente eléctrico que consta de un conductor conformado para aumentar el flujo magnético y agregar inductancia a un circuito. Normalmente consiste en un alambre enrollado en forma de bobina o hélice . Un cable enrollado tiene una inductancia mayor que un cable recto de la misma longitud, debido a que las líneas del campo magnético pasan a través del circuito varias veces, tiene múltiples enlaces de flujo . La inductancia es proporcional al cuadrado del número de vueltas de la bobina, suponiendo un enlace de flujo total.

La inductancia de una bobina se puede aumentar colocando un núcleo magnético de material ferromagnético en el orificio del centro. El campo magnético de la bobina magnetiza el material del núcleo, alineando sus dominios magnéticos , y el campo magnético del núcleo se suma al de la bobina, aumentando el flujo a través de la bobina. Esto se llama inductor de núcleo ferromagnético . Un núcleo magnético puede aumentar la inductancia de una bobina miles de veces.

Si se encuentran varios circuitos eléctricos uno cerca del otro, el campo magnético de uno puede atravesar el otro; en este caso se dice que los circuitos están acoplados inductivamente . Debido a la ley de inducción de Faraday , un cambio de corriente en un circuito puede provocar un cambio de flujo magnético en otro circuito y así inducir un voltaje en otro circuito. El concepto de inductancia se puede generalizar en este caso definiendo la inductancia mutua de circuito y circuito como la relación entre el voltaje inducido en el circuito y la tasa de cambio de la corriente en el circuito . Este es el principio detrás de un transformador . ${\displaystyle M_{k,\ell }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle k}$La propiedad que describe el efecto de un conductor sobre sí mismo se llama más precisamente autoinductancia , y las propiedades que describen el efecto de un conductor con una corriente cambiante sobre los conductores cercanos se llaman inductancia mutua . ^[17]

Autoinductancia y energía magnética.

Si la corriente a través de un conductor con inductancia aumenta, se induce un voltaje a través del conductor con una polaridad opuesta a la corriente, además de cualquier caída de voltaje causada por la resistencia del conductor. Las cargas que fluyen por el circuito pierden energía potencial. La energía del circuito externo necesaria para superar esta "colina de potencial" se almacena en el campo magnético aumentado alrededor del conductor. Por tanto, un inductor almacena energía en su campo magnético. En cualquier momento dado, la potencia que fluye hacia el campo magnético, que es igual a la tasa de cambio de la energía almacenada , es el producto de la corriente y el voltaje a través del conductor ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v(t)}$

$${\displaystyle p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)}$$

De (1) arriba

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\[3pt]{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}}$$

Cuando no hay corriente, no hay campo magnético y la energía almacenada es cero. Despreciando las pérdidas resistivas, la energía (medida en julios , en SI ) almacenada por una inductancia con una corriente a través de ella es igual a la cantidad de trabajo requerido para establecer la corriente a través de la inductancia desde cero y, por lo tanto, el campo magnético. Esto viene dado por: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle I}$

$${\displaystyle U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$$

Si la inductancia es constante en el rango actual, la energía almacenada es ^{[18] [19] [20]} ${\displaystyle L(i)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\[3pt]&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}}$$

Por tanto, la inductancia también es proporcional a la energía almacenada en el campo magnético para una corriente determinada. Esta energía se almacena mientras la corriente permanezca constante. Si la corriente disminuye, el campo magnético disminuye, induciendo un voltaje en el conductor en sentido contrario, negativo en el extremo por donde entra la corriente y positivo en el extremo por donde sale. Esto devuelve la energía magnética almacenada al circuito externo.

Si los materiales ferromagnéticos están ubicados cerca del conductor, como en un inductor con un núcleo magnético , la ecuación de inductancia constante anterior solo es válida para regiones lineales del flujo magnético, en corrientes por debajo del nivel en el que el material ferromagnético se satura , donde la inductancia es aproximadamente constante. Si el campo magnético en el inductor se acerca al nivel en el que el núcleo se satura, la inductancia comienza a cambiar con la corriente y se debe utilizar la ecuación integral.

Reactancia inductiva

Las formas de onda de voltaje ( , azul) ${\displaystyle v}$ y corriente ( , rojo) ${\displaystyle i}$ en un inductor ideal al que se le ha aplicado una corriente alterna. La corriente está retrasada con respecto al voltaje 90°.

Cuando una corriente alterna (CA) sinusoidal pasa a través de una inductancia lineal, la contraEMF inducida también es sinusoidal. Si la corriente a través de la inductancia es , desde (1) por encima del voltaje a través de ella es ${\displaystyle i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}}$$

donde es la amplitud (valor pico) de la corriente sinusoidal en amperios, es la frecuencia angular de la corriente alterna, siendo su frecuencia en hercios , y es la inductancia. ${\displaystyle I_{\text{peak}}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$

Por lo tanto, la amplitud (valor pico) del voltaje a través de la inductancia es

$${\displaystyle V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}}$$

La reactancia inductiva es la oposición de un inductor a una corriente alterna. ^[21] Se define de manera análoga a la resistencia eléctrica en una resistencia, como la relación entre la amplitud (valor pico) del voltaje alterno y la corriente en el componente.

$${\displaystyle X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L}$$

La reactancia tiene unidades de ohmios . Se puede ver que la reactancia inductiva de un inductor aumenta proporcionalmente con la frecuencia , por lo que un inductor conduce menos corriente para un voltaje de CA aplicado dado a medida que aumenta la frecuencia. Debido a que el voltaje inducido es mayor cuando la corriente aumenta, las formas de onda de voltaje y corriente están desfasadas ; los picos de voltaje ocurren antes en cada ciclo que los picos de corriente. La diferencia de fase entre la corriente y el voltaje inducido es radianes o 90 grados, lo que muestra que en un inductor ideal la corriente está retrasada con respecto al voltaje en 90° . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Calcular la inductancia

En el caso más general, la inductancia se puede calcular a partir de las ecuaciones de Maxwell. Muchos casos importantes se pueden resolver mediante simplificaciones. Cuando se consideran corrientes de alta frecuencia, con efecto piel , las densidades de corriente superficial y el campo magnético se pueden obtener resolviendo la ecuación de Laplace . Cuando los conductores son alambres delgados, la autoinductancia aún depende del radio del alambre y de la distribución de la corriente en el alambre. Esta distribución de corriente es aproximadamente constante (en la superficie o en el volumen del cable) para un radio de cable mucho menor que otras escalas de longitud.

Inductancia de un solo cable recto

Como cuestión práctica, los cables más largos tienen más inductancia y los cables más gruesos tienen menos, de manera análoga a su resistencia eléctrica (aunque las relaciones no son lineales y son diferentes en tipo de las relaciones que la longitud y el diámetro tienen con la resistencia).

Separar el cable de las otras partes del circuito introduce algún error inevitable en los resultados de cualquier fórmula. Estas inductancias a menudo se denominan "inductancias parciales", en parte para fomentar la consideración de otras contribuciones a la inductancia de todo el circuito que se omiten.

Fórmulas prácticas

Para obtener las fórmulas siguientes, consulte Rosa (1908). ^[22] La inductancia total de baja frecuencia (interior más exterior) de un cable recto es:

$${\displaystyle L_{\text{DC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]}$$

dónde

• ${\displaystyle L_{\text{DC}}}$es la inductancia de CC o de "baja frecuencia" en nanohenrios (nH o 10 ⁻⁹ H),
• ${\displaystyle \ell }$es la longitud del cable en metros,
• ${\displaystyle r}$es el radio del cable en metros (de ahí un número decimal muy pequeño),
• la constante es la permeabilidad del espacio libre , comúnmente llamada dividida por ; en ausencia de aislamiento magnéticamente reactivo, el valor 200 es exacto cuando se utiliza la definición clásica de μ ₀ = ${\displaystyle 200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}}$ ${\displaystyle \mu _{\text{o}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$4π × 10 ⁻⁷  H/m , y corregir con 7 decimales cuando se utiliza el valor SI redefinido en 2019 de μ ₀ =1,256 637 062 12 (19) × 10 ⁻⁶  H /m .

La constante 0,75 es sólo un valor de parámetro entre varios; diferentes rangos de frecuencia, diferentes formas o longitudes de cable extremadamente largas requieren una constante ligeramente diferente (ver más abajo). Este resultado se basa en la suposición de que el radio es mucho menor que la longitud , que es el caso común de alambres y varillas. Los discos o cilindros gruesos tienen fórmulas ligeramente diferentes. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \ell }$

Para frecuencias suficientemente altas, los efectos de la piel hacen que las corrientes interiores desaparezcan, dejando solo las corrientes en la superficie del conductor; la inductancia de corriente alterna viene dada por una fórmula muy similar: ${\displaystyle L_{\text{AC}}}$

$${\displaystyle L_{\text{AC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]}$$

${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle r}$

En un ejemplo de la experiencia cotidiana, sólo uno de los conductores del cable de una lámpara10 m de largo, hechos de alambre de 18  AWG , sólo tendrían una inductancia de aproximadamente19 μH si se extiende recto.

Inductancia mutua de dos cables rectos paralelos.

Hay dos casos a considerar:

1. La corriente viaja en la misma dirección en cada cable y
2. la corriente viaja en direcciones opuestas en los cables.

Las corrientes en los cables no tienen por qué ser iguales, aunque a menudo lo son, como en el caso de un circuito completo, donde un cable es la fuente y el otro el retorno.

Inductancia mutua de dos bucles de alambre.

Éste es el caso generalizado de la paradigmática bobina cilíndrica de dos bucles que transporta una corriente uniforme de baja frecuencia; Los bucles son circuitos cerrados independientes que pueden tener diferentes longitudes, cualquier orientación en el espacio y transportar diferentes corrientes. Sin embargo, los términos de error, que no están incluidos en la integral, sólo son pequeños si las geometrías de los bucles son en su mayoría suaves y convexas: no deben tener demasiadas torceduras, esquinas afiladas, espiras, cruces, segmentos paralelos, cavidades cóncavas o otras deformaciones topológicamente "cercas". Un predicado necesario para la reducción de la fórmula de integración de múltiples tridimensionales a una integral de doble curva es que las trayectorias de corriente sean circuitos filamentosos, es decir, alambres delgados donde el radio del alambre es insignificante en comparación con su longitud.

La inductancia mutua de un circuito filamentoso en un circuito filamentoso viene dada por la fórmula integral doble de Neumann ^[23] ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,}$$

dónde

${\displaystyle C_{m}}$y son las curvas seguidas por los alambres. ${\displaystyle C_{n}}$

${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre ( 4 π ×10 ⁻⁷ H/m )

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _m

${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$es la posición de en el espacio ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _n

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$es la posición de en el espacio. ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$

Derivación

$${\displaystyle M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$$

dónde

• ${\displaystyle I_{j}}$es la corriente a través del enésimo cable, esta corriente crea el flujo magnético a través de la enésima superficie ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$ ${\displaystyle i}$
• ${\displaystyle \Phi _{ij}}$es el flujo magnético a través de la i -ésima superficie debido al circuito eléctrico descrito por : ^[24] ${\displaystyle C_{j}}$

$${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$$

dónde

• ${\displaystyle C_{i}}$es la curva que encierra la superficie ; y es cualquier área arbitraria orientable con borde ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$
• ${\displaystyle \mathbf {B} _{j}}$es el vector del campo magnético debido a la -ésima corriente (del circuito ). ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle C_{j}}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$es el potencial vectorial debido a la -ésima corriente. ${\displaystyle j}$

El teorema de Stokes se ha utilizado para el tercer paso de igualdad. Para el último paso de igualdad, utilizamos la expresión del potencial retardado e ignoramos el efecto del tiempo retardado (asumiendo que la geometría de los circuitos es lo suficientemente pequeña en comparación con la longitud de onda de la corriente que transportan). En realidad, es un paso de aproximación y sólo es válido para circuitos locales hechos de cables delgados. ${\displaystyle A_{j}}$

Autoinductancia de un bucle de alambre.

Formalmente, la autoinductancia de un bucle de alambre estaría dada por la ecuación anterior. Sin embargo, aquí se vuelve infinita, lo que lleva a una integral logarítmicamente divergente. ^[a] Esto requiere tener en cuenta el radio finito del cable y la distribución de la corriente en el cable. Queda la contribución de la integral sobre todos los puntos y un término de corrección, ^[25] ${\displaystyle \ m=n\ .}$ ${\displaystyle \ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }$ ${\displaystyle \ a\ }$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\ }$$

dónde

${\displaystyle \ \mathbf {s} \ }$y son distancias a lo largo de las curvas y respectivamente ${\displaystyle \ \mathbf {s} '\ }$ ${\displaystyle \ C\ }$ ${\displaystyle \ C'\ }$

${\displaystyle \ a\ }$es el radio del alambre

${\displaystyle \ \ell \ }$es la longitud del alambre

${\displaystyle \ Y\ }$es una constante que depende de la distribución de la corriente en el cable:

${\displaystyle \ Y=0\ }$cuando la corriente fluye sobre la superficie del cable ( efecto piel total ),

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$cuando la corriente pasa uniformemente sobre la sección transversal del cable.

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\ }$es un término de error cuyo tamaño depende de la curva del bucle:

${\displaystyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\ }$cuando el bucle tiene esquinas afiladas, y

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$cuando es una curva suave.

Ambos son pequeños cuando el cable es largo en comparación con su radio.

Inductancia de un solenoide

Un solenoide es una bobina larga y delgada; es decir, una bobina cuya longitud es mucho mayor que su diámetro. En estas condiciones, y sin utilizar ningún material magnético, la densidad de flujo magnético dentro de la bobina es prácticamente constante y viene dada por ${\displaystyle B}$

$${\displaystyle B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}}$$

¿Dónde está la constante magnética , el número de vueltas, la corriente y la longitud de la bobina? Ignorando los efectos finales, el flujo magnético total a través de la bobina se obtiene multiplicando la densidad de flujo por el área de la sección transversal : ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},}$$

Cuando esto se combina con la definición de inductancia , se deduce que la inductancia de un solenoide viene dada por: ${\displaystyle L={\frac {N\,\Phi }{i}}}$

$${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.}$$

Por lo tanto, para las bobinas con núcleo de aire, la inductancia es función de la geometría de la bobina y del número de vueltas, y es independiente de la corriente.

Inductancia de un cable coaxial.

Dejemos que el conductor interno tenga radio y permeabilidad , dejemos que el dieléctrico entre el conductor interno y externo tenga permeabilidad , y dejemos que el conductor externo tenga radio interno , radio externo y permeabilidad . Sin embargo, para una aplicación típica de línea coaxial, estamos interesados ​​en pasar señales (no CC) a frecuencias para las cuales no se puede despreciar el efecto superficial resistivo. En la mayoría de los casos, los términos del conductor interno y externo son insignificantes, en cuyo caso se puede aproximar ${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$ ${\displaystyle \mu _{d}}$ ${\displaystyle r_{o1}}$ ${\displaystyle r_{o2}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$

$${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$$

Inductancia de bobinas multicapa.

Los inductores de núcleo de aire más prácticos son bobinas cilíndricas multicapa con secciones transversales cuadradas para minimizar la distancia promedio entre espiras (las secciones transversales circulares serían mejores pero más difíciles de formar).

Núcleos magnéticos

Muchos inductores incluyen un núcleo magnético en el centro del devanado o que lo rodea parcialmente. En un rango suficientemente grande, estos exhiben una permeabilidad no lineal con efectos como la saturación magnética . La saturación hace que la inductancia resultante sea función de la corriente aplicada.

La inductancia secante o de señal grande se utiliza en los cálculos de flujo. Se define como:

$${\displaystyle L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$$

La inductancia diferencial o de pequeña señal, por otro lado, se utiliza para calcular el voltaje. Se define como:

$${\displaystyle L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$$

El voltaje del circuito para un inductor no lineal se obtiene mediante la inductancia diferencial como lo muestra la Ley de Faraday y la regla de la cadena del cálculo.

$${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$$

Se pueden derivar definiciones similares para la inductancia mutua no lineal.

Inductancia mutua

La inductancia mutua se define como la relación entre la FEM inducida en un bucle o bobina por la tasa de cambio de corriente en otro bucle o bobina. A la inductancia mutua se le da el símbolo M .

Derivación de inductancia mutua

Las ecuaciones de inductancia anteriores son consecuencia de las ecuaciones de Maxwell . Para el caso importante de circuitos eléctricos que consisten en alambres delgados, la derivación es sencilla.

En un sistema de bucles de alambre, cada uno con una o varias vueltas de alambre, el enlace de flujo del bucle , está dado por ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \lambda _{m}}$

$${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$$

Aquí se indica el número de vueltas del bucle ; es el flujo magnético a través del bucle ; y son algunas constantes que se describen a continuación. Esta ecuación se deriva de la ley de Ampère : los campos y flujos magnéticos son funciones lineales de las corrientes . Por la ley de inducción de Faraday , tenemos ${\displaystyle N_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$

$${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$$

donde denota el voltaje inducido en el circuito . Esto concuerda con la definición de inductancia anterior si los coeficientes se identifican con los coeficientes de inductancia. Debido a que las corrientes totales contribuyen a ello también se deduce que es proporcional al producto de espiras . ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$ ${\displaystyle \Phi _{m}}$ ${\displaystyle L_{m,n}}$ ${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$

Inductancia mutua y energía del campo magnético.

Multiplicar la ecuación anterior para v _m por im _dt y sumar m da la energía transferida al sistema en el intervalo de tiempo dt ,

$${\displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$$

Esto debe coincidir con el cambio de energía del campo magnético, W , causado por las corrientes. ^[26] La condición de integrabilidad

$${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$$

requiere L _m,n  = L _n,m . La matriz de inductancia, Lm _,n , es por tanto simétrica. La integral de la transferencia de energía es la energía del campo magnético en función de las corrientes,

$${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$$

Esta ecuación también es una consecuencia directa de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Es útil asociar las corrientes eléctricas cambiantes con una acumulación o disminución de la energía del campo magnético. La correspondiente transferencia de energía requiere o genera una tensión. Una analogía mecánica en el caso K  = 1 con energía de campo magnético (1/2) Li ² es un cuerpo con masa M , velocidad u y energía cinética (1/2) Mu ² . La tasa de cambio de velocidad (corriente) multiplicada por la masa (inductancia) requiere o genera una fuerza (un voltaje eléctrico).

Diagrama de circuito de dos inductores mutuamente acoplados. Las dos líneas verticales entre los devanados indican que el transformador tiene un núcleo ferromagnético . "n:m" muestra la relación entre el número de devanados del inductor izquierdo y los del inductor derecho. Esta imagen también muestra la convención de puntos .

La inductancia mutua ocurre cuando el cambio de corriente en un inductor induce un voltaje en otro inductor cercano. Es importante como mecanismo por el cual funcionan los transformadores , pero también puede causar un acoplamiento no deseado entre los conductores de un circuito.

La inductancia mutua, también es una medida del acoplamiento entre dos inductores. La inductancia mutua por circuito sobre circuito viene dada por la fórmula integral doble de Neumann , ver técnicas de cálculo ${\displaystyle M_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

La inductancia mutua también tiene la relación:

$${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$$

• ${\displaystyle M_{21}}$es la inductancia mutua y el subíndice especifica la relación del voltaje inducido en la bobina 2 debido a la corriente en la bobina 1.
• ${\displaystyle N_{1}}$es el número de vueltas en la bobina 1,
• ${\displaystyle N_{2}}$es el número de vueltas en la bobina 2,
• ${\displaystyle P_{21}}$es la permeancia del espacio ocupado por el flujo.

Una vez determinada la inductancia mutua , se puede utilizar para predecir el comportamiento de un circuito: ${\displaystyle M}$

$${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$$

• ${\displaystyle v_{1}}$es el voltaje a través del inductor de interés;
• ${\displaystyle L_{1}}$es la inductancia del inductor de interés;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t}$es la derivada, con respecto al tiempo, de la corriente que pasa por el inductor de interés, denominado 1;
• ${\displaystyle {\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t}$es la derivada, con respecto al tiempo, de la corriente que pasa por el inductor, denominado 2, que está acoplado al primer inductor; y
• ${\displaystyle M}$es la inductancia mutua.

El signo menos surge debido al sentido en que se ha definido la corriente en el diagrama. Con ambas corrientes definidas entrando en los puntos, el signo de será positivo (en su lugar, la ecuación se leerá con un signo más). ^[27] ${\displaystyle i_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Coeficiente de acoplamiento

El coeficiente de acoplamiento es la relación entre la relación de voltaje real del circuito abierto y la relación que se obtendría si todo el flujo se acoplara de un circuito magnético al otro. El coeficiente de acoplamiento está relacionado con la inductancia mutua y las autoinductancias de la siguiente manera. A partir de las dos ecuaciones simultáneas expresadas en la matriz de dos puertos, se encuentra que la relación de voltaje de circuito abierto es:

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}}$$

• ${\displaystyle M^{2}=M_{1}M_{2}}$

mientras que la relación si todo el flujo está acoplado es la relación de las vueltas, de ahí la relación de la raíz cuadrada de las inductancias.

$${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$$

de este modo,

$${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$$

• ${\displaystyle k}$es el coeficiente de acoplamiento ,
• ${\displaystyle L_{1}}$es la inductancia de la primera bobina, y
• ${\displaystyle L_{2}}$es la inductancia de la segunda bobina.

El coeficiente de acoplamiento es una forma conveniente de especificar la relación entre una determinada orientación de inductores con inductancia arbitraria. La mayoría de los autores definen el rango como , pero algunos ^[28] lo definen como . Permitiendo valores negativos de capta las inversiones de fase de las conexiones de la bobina y la dirección de los devanados. ^[29] ${\displaystyle 0\leq k<1}$ ${\displaystyle -1<k<1\,}$ ${\displaystyle k}$

Representación matricial

Los inductores mutuamente acoplados pueden describirse mediante cualquiera de las representaciones de matrices de parámetros de red de dos puertos . Los más directos son los parámetros z , que vienen dados por

$${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}}$$

donde es la variable de frecuencia compleja , y son las inductancias de la bobina primaria y secundaria, respectivamente, y es la inductancia mutua entre las bobinas. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle M}$

Circuitos equivalentes

circuito en T

T circuito equivalente de inductores mutuamente acoplados

Los inductores mutuamente acoplados pueden representarse de manera equivalente mediante un circuito en T de inductores como se muestra. Si el acoplamiento es fuerte y los inductores tienen valores desiguales, entonces el inductor en serie en el lado reductor puede adquirir un valor negativo.

Esto se puede analizar como una red de dos puertos. Con la salida terminada con alguna impedancia arbitraria , la ganancia de voltaje está dada por, ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{v}}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}$$

donde es la constante de acoplamiento y es la variable de frecuencia compleja , como se indicó anteriormente. Para inductores estrechamente acoplados donde esto se reduce a ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}$$

que es independiente de la impedancia de carga. Si los inductores están enrollados en el mismo núcleo y con la misma geometría, entonces esta expresión es igual a la relación de vueltas de los dos inductores porque la inductancia es proporcional al cuadrado de la relación de vueltas.

La impedancia de entrada de la red está dada por,

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)}$$

Para esto se reduce a ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)}$$

Por lo tanto, la ganancia de corriente no es independiente de la carga a menos que se cumpla la condición adicional. ${\displaystyle A_{i}}$

$${\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}$$

se cumple, en cuyo caso,

$${\displaystyle Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}$$

y

$${\displaystyle A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}}$$

circuito π

π circuito equivalente de inductores acoplados

Alternativamente, se pueden modelar dos inductores acoplados utilizando un circuito equivalente π con transformadores ideales opcionales en cada puerto. Si bien el circuito es más complicado que un circuito en T, se puede generalizar ^[30] a circuitos que constan de más de dos inductores acoplados. Los elementos de circuito equivalentes tienen un significado físico y modelan respectivamente las reluctancias magnéticas de las rutas de acoplamiento y las reluctancias magnéticas de las rutas de fuga . Por ejemplo, las corrientes eléctricas que fluyen a través de estos elementos corresponden a flujos magnéticos de acoplamiento y fuga . Los transformadores ideales normalizan todas las autoinductancias a 1 Henry para simplificar fórmulas matemáticas. ${\displaystyle L_{\text{s}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p}}}$

Los valores de los elementos de circuito equivalentes se pueden calcular a partir de coeficientes de acoplamiento con

$${\displaystyle {\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\[3pt]L_{P_{i}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}}$$

donde la matriz de coeficientes de acoplamiento y sus cofactores se definen como

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad }$y ${\displaystyle \quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.}$

Para dos inductores acoplados, estas fórmulas se simplifican a

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad }$y ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,}$

y para tres inductores acoplados (por brevedad, se muestra solo para y ) ${\displaystyle L_{\text{s12}}}$ ${\displaystyle L_{\text{p1}}}$

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad }$y ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}$

transformador resonante

Cuando se conecta un condensador a través de un devanado de un transformador, haciendo que el devanado sea un circuito sintonizado (circuito resonante), se le llama transformador sintonizado simple. Cuando se conecta un condensador a través de cada devanado, se le llama transformador de doble sintonización . Estos transformadores resonantes pueden almacenar energía eléctrica oscilante similar a un circuito resonante y así funcionar como un filtro de paso de banda , permitiendo que frecuencias cercanas a su frecuencia resonante pasen del devanado primario al secundario, pero bloqueando otras frecuencias. La cantidad de inductancia mutua entre los dos devanados, junto con el factor Q del circuito, determinan la forma de la curva de respuesta de frecuencia. La ventaja del transformador doble sintonizado es que puede tener un ancho de banda más amplio que un circuito sintonizado simple. El acoplamiento de circuitos de doble sintonización se describe como flojo, crítico o sobreacoplado según el valor del coeficiente de acoplamiento . Cuando dos circuitos sintonizados están débilmente acoplados mediante inductancia mutua, el ancho de banda es estrecho. A medida que aumenta la cantidad de inductancia mutua, el ancho de banda continúa creciendo. Cuando la inductancia mutua aumenta más allá del acoplamiento crítico, el pico en la curva de respuesta de frecuencia se divide en dos picos y, a medida que aumenta el acoplamiento, los dos picos se separan más. Esto se conoce como sobreacoplamiento. ${\displaystyle k}$

Las bobinas autorresonantes fuertemente acopladas se pueden utilizar para la transferencia de energía inalámbrica entre dispositivos en distancias medias (hasta dos metros). ^[31] Se requiere un fuerte acoplamiento para un alto porcentaje de potencia transferida, lo que resulta en la división de picos de la respuesta de frecuencia. ^{[32] [33]}

Transformadores ideales

Cuando , se dice que el inductor está estrechamente acoplado. Si además, las autoinductancias llegan al infinito, el inductor se convierte en un transformador ideal . En este caso los voltajes, corrientes y número de vueltas se pueden relacionar de la siguiente manera: ${\displaystyle k=1}$

$${\displaystyle V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}}$$

• ${\displaystyle V_{\text{s}}}$es el voltaje a través del inductor secundario,
• ${\displaystyle V_{\text{p}}}$es el voltaje a través del inductor primario (el que está conectado a una fuente de energía),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$es el número de vueltas en el inductor secundario, y
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$es el número de vueltas del inductor primario.

Por el contrario, la corriente:

$${\displaystyle I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}}$$

• ${\displaystyle I_{\text{s}}}$es la corriente a través del inductor secundario,
• ${\displaystyle I_{\text{p}}}$es la corriente a través del inductor primario (el que está conectado a una fuente de energía),
• ${\displaystyle N_{\text{s}}}$es el número de vueltas en el inductor secundario, y
• ${\displaystyle N_{\text{p}}}$es el número de vueltas del inductor primario.

La potencia a través de un inductor es la misma que la potencia a través del otro. Estas ecuaciones desprecian cualquier forzamiento por fuentes de corriente o fuentes de voltaje.

Autoinductancia de formas de alambre fino.

La siguiente tabla enumera fórmulas para la autoinductancia de varias formas simples hechas de conductores (cables) cilíndricos delgados. En general, estos sólo son precisos si el radio del cable es mucho menor que las dimensiones de la forma y si no hay materiales ferromagnéticos cerca (sin núcleo magnético ). ${\displaystyle a}$

${\displaystyle Y}$es un valor aproximadamente constante entre 0 y 1 que depende de la distribución de la corriente en el cable: cuando la corriente fluye solo en la superficie del cable ( efecto de piel completa ), cuando la corriente se distribuye uniformemente sobre la sección transversal del cable el cable ( corriente continua ). Para alambres redondos, Rosa (1908) da una fórmula equivalente a: ^[22] ${\displaystyle Y=0}$ ${\displaystyle Y=1}$

$${\displaystyle Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}}$$

dónde

• ${\displaystyle \omega =2\pi f}$es la frecuencia angular, en radianes por segundo;
• ${\displaystyle \mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}}$es la permeabilidad magnética neta del alambre;
• ${\displaystyle \sigma }$es la conductividad específica del cable; y
• ${\displaystyle a}$es el radio del alambre.

${\displaystyle {\mathcal {O}}(x)}$Esto representa términos pequeños que se han eliminado de la fórmula para simplificarla. Lea el término como "más pequeñas correcciones que varían del orden de " (consulte la notación O grande ). ${\displaystyle {}+{\mathcal {O}}(x)}$ ${\displaystyle x}$

Ver también

• Inducción electromagnética
• giratorio
• Analogía hidráulica
• Inductancia de fuga
• Circuito LC , circuito RLC , circuito RL
• Inductancia cinética

Notas a pie de página

1. La integral se llama "logarítmicamente divergente" porque , por tanto, se acerca al infinito como un logaritmo cuyo argumento se acerca al infinito. ${\displaystyle \ \int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln(x)\ }$ ${\displaystyle \ x>0\ }$

Referencias

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Referencias generales

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enlaces externos

• Laboratorio de Electrónica Vehicular Clemson: Calculadora de Inductancia