Teorema de Frobenius (álgebras de división real)

Teorema en álgebra abstracta

En matemáticas , más específicamente en álgebra abstracta , el teorema de Frobenius , demostrado por Ferdinand Georg Frobenius en 1877, caracteriza las álgebras de división asociativa de dimensión finita sobre los números reales . Según el teorema , cada una de estas álgebras es isomorfa a una de las siguientes:

• R (los números reales)
• C (los números complejos )
• H (los cuaterniones )

Estas álgebras tienen dimensión real 1, 2 y 4 , respectivamente. De estas tres álgebras, R y C son conmutativas , pero H no lo es.

Prueba

Los ingredientes principales para la siguiente prueba son el teorema de Cayley-Hamilton y el teorema fundamental del álgebra .

Introduciendo algo de notación

• Sea D el álgebra de división en cuestión.
• Sea n la dimensión de D.
• Identificamos los múltiplos reales de 1 con R .
• Cuando escribimos a ≤ 0 para un elemento a de D , implicamos que a está contenido en R .
• Podemos considerar a D como un espacio vectorial R de dimensión finita . Cualquier elemento d de D define un endomorfismo de D por multiplicación por la izquierda, identificamos a d con ese endomorfismo. Por lo tanto, podemos hablar de la traza de d y de sus polinomios característicos y mínimos .
• Para cualquier z en C defina el siguiente polinomio cuadrático real :

${\displaystyle Q(z;x)=x^{2}-2\operatorname {Re} (z)x+|z|^{2}=(x-z)(x-{\overline {z}})\in \mathbf {R} [x].}$

Nótese que si z ∈ C  ∖  R entonces Q ( z ; x ) es irreducible sobre R .

La reclamación

La clave del argumento es la siguiente

Afirmación. El conjunto V de todos los elementos a de D tales que a ² ≤ 0 es un subespacio vectorial de D de dimensión n − 1 . Además, D = R ⊕ V como R -espacios vectoriales, lo que implica que V genera a D como un álgebra.

Prueba de afirmación: Elija un polinomio característico p ( x ) en D. Por el teorema fundamental del álgebra, podemos escribir

${\displaystyle p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})(x-z_{1})(x-{\overline {z_{1}}})\cdots (x-z_{s})(x-{\overline {z_{s}}}),\qquad t_{i}\in \mathbf {R} ,\quad z_{j}\in \mathbf {C} \setminus \mathbf {R} .}$

Podemos reescribir p ( x ) en términos de los polinomios Q ( z ; x ) :

${\displaystyle p(x)=(x-t_{1})\cdots (x-t_{r})Q(z_{1};x)\cdots Q(z_{s};x).}$

Como z _j ∈ C  ∖  R , los polinomios Q ( z _j ; x ) son todos irreducibles sobre R . Por el teorema de Cayley-Hamilton, p ( a ) = 0 y como D es un álgebra de división, se deduce que o bien a − t _i = 0 para algún i o bien que Q ( z _j ; a ) = 0 para algún j . El primer caso implica que a es real. En el segundo caso, se deduce que Q ( z _j ; x ) es el polinomio mínimo de a . Como p ( x ) tiene las mismas raíces complejas que el polinomio mínimo y como es real, se deduce que

${\displaystyle p(x)=Q(z_{j};x)^{k}=\left(x^{2}-2\operatorname {Re} (z_{j})x+|z_{j}|^{2}\right)^{k}}$

para algún k . Como p ( x ) es el polinomio característico de a el coeficiente de x ^{2 k − 1} en p ( x ) es tr( a ) hasta un signo. Por lo tanto, leemos de la ecuación anterior que tenemos: tr( a ) = 0 si y solo si Re( z _j ) = 0 , en otras palabras tr( a ) = 0 si y solo si a ² = −| z _j | ² < 0 .

Por lo tanto, V es el subconjunto de todos los a con tr( a ) = 0 . En particular, es un subespacio vectorial. El teorema de rango-nulidad implica entonces que V tiene dimensión n − 1 ya que es el núcleo de . Como R y V son disjuntos (es decir, satisfacen ), y sus dimensiones suman n , tenemos que D = R ⊕ V . ${\displaystyle \operatorname {tr} :D\to \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} \cap V=\{0\}}$

El acabado

Para a , b en V se define B ( a , b ) = (− ab − ba )/2 . Debido a la identidad ( a + b ) ² − a ² − b ² = ab + ba , se sigue que B ( a , b ) es real. Además, dado que a ² ≤ 0 , tenemos: B ( a , a ) > 0 para a ≠ 0 . Por lo tanto, B es una forma bilineal simétrica definida positiva , en otras palabras, un producto interno en V .

Sea W un subespacio de V que genera D como álgebra y que es mínimo respecto de esta propiedad. Sea e ₁ , ..., e _n una base ortonormal de W respecto de B . Entonces la ortonormalidad implica que:

${\displaystyle e_{i}^{2}=-1,\quad e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}.}$

La forma de D depende entonces de k :

Si k = 0 , entonces D es isomorfo a R.

Si k = 1 , entonces D es generado por 1 y e ₁ sujeto a la relación e²
₁= −1 . Por lo tanto es isomorfo a C .

Si k = 2 , se ha demostrado anteriormente que D es generado por 1, e ₁ , e ₂ sujeto a las relaciones

${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1,\quad e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},\quad (e_{1}e_{2})(e_{1}e_{2})=-1.}$

Éstas son precisamente las relaciones para H .

Si k > 2 , entonces D no puede ser un álgebra de división. Supóngase que k > 2 . Defina u = e ₁ e ₂ e _k y considere u ² =( e ₁ e ₂ e _k )*( e ₁ e ₂ e _k ) . Al reordenar los elementos de esta expresión y aplicar las relaciones de ortonormalidad entre los elementos base encontramos que u ² = 1 . Si D fuera un álgebra de división, 0 = u ² − 1 = ( u − 1)( u + 1) implica u = ±1 , lo que a su vez significa: e _k = ∓ e ₁ e ₂ y entonces e ₁ , ..., e _{k −1} generan D . Esto contradice la minimalidad de W .

Observaciones y resultados relacionados

• El hecho de que D sea generada por e ₁ , ..., e _k sujeta a las relaciones anteriores significa que D es el álgebra de Clifford de R ⁿ . El último paso muestra que las únicas álgebras de Clifford reales que son álgebras de división son Cℓ ⁰ , Cℓ ¹ y Cℓ ² .
• En consecuencia, las únicas álgebras de división conmutativa son R y C. Nótese también que H no es una C -álgebra. Si lo fuera, entonces el centro de H tendría que contener a C , pero el centro de H es R.
• Este teorema está estrechamente relacionado con el teorema de Hurwitz , que establece que las únicas álgebras de división normadas reales son R , C , H y el álgebra (no asociativa) O.
• Variante de Pontryagin. Si D es un anillo de división conexo y localmente compacto , entonces D = R , C o H.

Véase también

• Teorema de Hurwitz , clasificación de álgebras de división real normadas
• Teorema de Gelfand-Mazur , clasificación de álgebras de división completas complejas
• Teorema de Ostrowski

Referencias

• Ray E. Artz (2009) Álgebras escalares y cuaterniones, Teorema 7.1 "Clasificación de Frobenius", página 26.
• Ferdinand Georg Frobenius (1878) "Über lineare Substitutionen und bilineare Formen", Journal für die reine und angewandte Mathematik 84:1–63 ( Diario de Crelle ). Reimpreso en Gesammelte Abhandlungen Band I, págs. 343–405.
• Yuri Bahturin (1993) Estructuras básicas del álgebra moderna , Kluwer Acad. Pub. págs. 30–2 ISBN  0-7923-2459-5 .
• Leonard Dickson (1914) Linear Algebras (Álgebras lineales) , Cambridge University Press . Véase §11 "Algebra de cuaterniones reales; su lugar único entre las álgebras", páginas 10 a 12.
• RS Palais (1968) "La clasificación de las álgebras de división real" American Mathematical Monthly 75:366–8.
• Lev Semenovich Pontryagin , Grupos topológicos , página 159, 1966.