En teoría del operador , el teorema de Gelfand-Mazur es un teorema que lleva el nombre de Israel Gelfand y Stanisław Mazur y que establece que un álgebra de Banach con unidad sobre los números complejos en la que todo elemento distinto de cero es invertible es isométricamente isomorfa a los números complejos , es decir. e., la única álgebra compleja de Banach que es un álgebra de división son los números complejos C.
El teorema se deriva del hecho de que el espectro de cualquier elemento de un álgebra de Banach compleja no está vacío: para cada elemento a de un álgebra de Banach compleja A existe algún número complejo λ tal que λ 1 − a no es invertible. Esto es una consecuencia de la analiticidad compleja de la función resolutiva . Por supuesto, λ 1 − a = 0. Entonces a = λ · 1. Esto da un isomorfismo de A a C.
El teorema puede reforzarse con la afirmación de que hay (hasta el isomorfismo) exactamente tres álgebras de división de Banach reales: el cuerpo de reales R , el cuerpo de números complejos C y el álgebra de división de cuaterniones H. Este resultado fue demostrado por primera vez solo por Stanisław Mazur, pero fue publicado en Francia sin pruebas, cuando el autor rechazó la petición del editor de acortar su prueba. Gelfand (de forma independiente) publicó una prueba del complejo caso unos años más tarde.