En el campo de las matemáticas llamado álgebra abstracta , un álgebra de división es, en términos generales, un álgebra sobre un cuerpo en el que la división , excepto por cero, siempre es posible.
Formalmente, comenzamos con un álgebra D no nula sobre un cuerpo . Llamamos a D un álgebra de división si para cualquier elemento a en D y cualquier elemento b no nulo en D existe precisamente un elemento x en D con a = bx y precisamente un elemento y en D tal que a = yb .
Para las álgebras asociativas , la definición se puede simplificar de la siguiente manera: un álgebra asociativa distinta de cero sobre un cuerpo es un álgebra de división si y solo si tiene un elemento identidad multiplicativo 1 y cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo (es decir, un elemento x con ax = xa = 1 ).
Los ejemplos más conocidos de álgebras de división asociativa son las álgebras reales de dimensión finita (es decir, álgebras sobre el cuerpo R de números reales , que son de dimensión finita como un espacio vectorial sobre los reales). El teorema de Frobenius establece que hasta el isomorfismo existen tres de tales álgebras: los propios reales (dimensión 1), el cuerpo de números complejos (dimensión 2) y los cuaterniones (dimensión 4).
El pequeño teorema de Wedderburn establece que si D es un álgebra de división finita, entonces D es un campo finito . [1]
Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado K (por ejemplo los números complejos C ), no hay álgebras de división asociativas de dimensión finita, excepto K mismo. [2]
Las álgebras de división asociativas no tienen divisores de cero distintos de cero . Un álgebra asociativa unitaria de dimensión finita (sobre cualquier cuerpo) es un álgebra de división si y solo si no tiene divisores de cero distintos de cero.
Siempre que A es un álgebra unitaria asociativa sobre el cuerpo F y S es un módulo simple sobre A , entonces el anillo de endomorfismo de S es un álgebra de división sobre F ; toda álgebra de división asociativa sobre F surge de esta manera.
El centro de un álgebra de división asociativa D sobre el cuerpo K es un cuerpo que contiene a K . La dimensión de tal álgebra sobre su centro, si es finita, es un cuadrado perfecto : es igual al cuadrado de la dimensión de un subcuerpo máximo de D sobre el centro. Dado un cuerpo F , las clases de equivalencia de Brauer de álgebras de división asociativa simples (que contienen solo ideales bilaterales triviales) cuyo centro es F y que son de dimensión finita sobre F se pueden convertir en un grupo, el grupo de Brauer del cuerpo F .
Una forma de construir álgebras de división asociativas de dimensión finita sobre campos arbitrarios está dada por las álgebras de cuaterniones (ver también cuaterniones ).
En el caso de las álgebras de división asociativas de dimensión infinita, los casos más importantes son aquellos en los que el espacio tiene una topología razonable . Véanse, por ejemplo, las álgebras de división normadas y las álgebras de Banach .
Si no se supone que el álgebra de división sea asociativa, normalmente se impone en su lugar alguna condición más débil (como la alternatividad o la asociatividad de potencias ). Véase álgebra sobre un cuerpo para obtener una lista de dichas condiciones.
Sobre los números reales existen (salvo isomorfismo) sólo dos álgebras de división conmutativas unitarias de dimensión finita: los propios números reales y los números complejos. Por supuesto, ambos son asociativos. Para un ejemplo no asociativo, consideremos los números complejos con multiplicación definida tomando el conjugado complejo de la multiplicación habitual:
Se trata de un álgebra de división conmutativa, no asociativa, de dimensión 2 sobre los números reales y no tiene elemento unidad. Hay infinitas otras álgebras de división real conmutativas, no asociativas y de dimensión finita, no isomórficas, pero todas tienen dimensión 2.
De hecho, toda álgebra de división conmutativa real de dimensión finita es unidimensional o bidimensional. Esto se conoce como el teorema de Hopf y se demostró en 1940. La prueba utiliza métodos de la topología . Aunque se encontró una prueba posterior utilizando la geometría algebraica , no se conoce ninguna prueba algebraica directa. El teorema fundamental del álgebra es un corolario del teorema de Hopf.
Abandonando el requisito de conmutatividad, Hopf generalizó su resultado: cualquier álgebra de división real de dimensión finita debe tener una dimensión de potencia de 2.
Trabajos posteriores demostraron que, de hecho, cualquier álgebra de división real de dimensión finita debe tener dimensión 1, 2, 4 u 8. Esto fue demostrado independientemente por Michel Kervaire y John Milnor en 1958, nuevamente utilizando técnicas de topología algebraica , en particular la teoría K. Adolf Hurwitz había demostrado en 1898 que la identidad se cumplía solo para las dimensiones 1, 2, 4 y 8. [3] (Véase el teorema de Hurwitz ). El desafío de construir un álgebra de división de tres dimensiones fue abordado por varios matemáticos pioneros. Kenneth O. May examinó estos intentos en 1966. [4]
Cualquier álgebra de división de dimensión finita real sobre los números reales debe ser
Se sabe lo siguiente sobre la dimensión de un álgebra de división de dimensión finita A sobre un campo K :
Podemos decir que un álgebra A tiene inversos multiplicativos si para cualquier número distinto de cero hay un elemento con . Un álgebra asociativa tiene inversos multiplicativos si y solo si es un álgebra de división. Sin embargo, esto falla para álgebras no asociativas. Los sedeniones son un álgebra no asociativa sobre los números reales que tiene inversos multiplicativos, pero no es un álgebra de división. Por otro lado, podemos construir un álgebra de división sin inversos multiplicativos tomando los cuaterniones y modificando el producto, estableciendo un número real pequeño distinto de cero mientras dejamos el resto de la tabla de multiplicar sin cambios. El elemento entonces tiene inversos tanto derecho como izquierdo, pero no son iguales.
