Filtro de paso bajo

Tipo de filtro de señal

Un filtro de paso bajo es un filtro que deja pasar señales con una frecuencia inferior a una frecuencia de corte seleccionada y atenúa las señales con frecuencias superiores a la frecuencia de corte. La respuesta de frecuencia exacta del filtro depende del diseño del filtro . El filtro a veces se denomina filtro de corte alto o filtro de corte de agudos en aplicaciones de audio. Un filtro de paso bajo es el complemento de un filtro de paso alto .

En óptica, los filtros de paso alto y paso bajo pueden tener significados diferentes, según se refieran a la frecuencia o a la longitud de onda de la luz, ya que estas variables están inversamente relacionadas. Los filtros de frecuencia de paso alto actuarían como filtros de longitud de onda de paso bajo, y viceversa. Por este motivo, es una buena práctica referirse a los filtros de longitud de onda como paso corto y paso largo para evitar confusiones, que corresponderían a frecuencias de paso alto y paso bajo . ^[1]

Los filtros de paso bajo existen en muchas formas diferentes, incluidos circuitos electrónicos como un filtro de silbido utilizado en audio , filtros anti-aliasing para acondicionar señales antes de la conversión de analógico a digital , filtros digitales para suavizar conjuntos de datos, barreras acústicas, desenfoque de imágenes, etc. La operación de promedio móvil utilizada en campos como las finanzas es un tipo particular de filtro de paso bajo y se puede analizar con las mismas técnicas de procesamiento de señales que se utilizan para otros filtros de paso bajo. Los filtros de paso bajo proporcionan una forma más suave de una señal, eliminando las fluctuaciones de corto plazo y dejando la tendencia de largo plazo.

Los diseñadores de filtros suelen utilizar la forma de paso bajo como filtro prototipo . Es decir, un filtro con un ancho de banda y una impedancia iguales. El filtro deseado se obtiene a partir del prototipo escalando para el ancho de banda y la impedancia deseados y transformándolo en la forma de banda deseada (es decir, paso bajo, paso alto, paso banda o filtro de banda ).

Ejemplos

Existen ejemplos de filtros de paso bajo en acústica , óptica y electrónica .

Una barrera física rígida tiende a reflejar frecuencias de sonido más altas y actúa como un filtro acústico de paso bajo para transmitir el sonido. Cuando se reproduce música en otra habitación, las notas bajas se escuchan fácilmente, mientras que las notas altas se atenúan.

Un filtro óptico con la misma función puede llamarse correctamente filtro paso bajo, pero convencionalmente se le llama filtro paso largo (la frecuencia baja es longitud de onda larga), para evitar confusiones. ^[1]

En un filtro RC de paso bajo electrónico para señales de voltaje, las frecuencias altas en la señal de entrada se atenúan, pero el filtro tiene poca atenuación por debajo de la frecuencia de corte determinada por su constante de tiempo RC . Para señales de corriente, un circuito similar, que utiliza una resistencia y un capacitor en paralelo , funciona de manera similar. (Vea el divisor de corriente que se analiza con más detalle a continuación).

Los filtros electrónicos de paso bajo se utilizan en las entradas de los subwoofers y otros tipos de altavoces para bloquear los tonos altos que no pueden reproducir de manera eficiente. Los transmisores de radio utilizan filtros de paso bajo para bloquear las emisiones armónicas que podrían interferir con otras comunicaciones. La perilla de tono de muchas guitarras eléctricas es un filtro de paso bajo que se utiliza para reducir la cantidad de agudos en el sonido. Un integrador es otro filtro de paso bajo de constante de tiempo . ^[2]

Las líneas telefónicas equipadas con divisores DSL utilizan filtros de paso bajo para separar las señales DSL de las POTS (y viceversa ), que comparten el mismo par de cables ( canal de transmisión ). ^{[3] [4]}

Los filtros de paso bajo también desempeñan un papel importante en la modelación del sonido creado por sintetizadores analógicos y analógicos virtuales . Véase síntesis sustractiva .

Se utiliza un filtro de paso bajo como filtro anti-aliasing antes del muestreo y para la reconstrucción en la conversión de digital a analógico .

Filtros ideales y reales

La función sinc , la respuesta al impulso en el dominio del tiempo de un filtro de paso bajo ideal. Las ondulaciones de una función sinc verdadera se extienden infinitamente hacia la izquierda y la derecha mientras se hacen cada vez más pequeñas, pero este gráfico en particular está truncado.

Respuesta de frecuencia de magnitud de ganancia de un filtro de paso bajo de primer orden (unipolar). La ganancia de potencia se muestra en decibeles (es decir, una disminución de 3 dB refleja una atenuación adicional). La frecuencia angular se muestra en una escala logarítmica en unidades de radianes por segundo. ${\textstyle 1/{\sqrt {2}}}$

Un filtro de paso bajo ideal elimina por completo todas las frecuencias por encima de la frecuencia de corte , mientras que deja pasar sin cambios las frecuencias inferiores; su respuesta de frecuencia es una función rectangular y es un filtro de pared de ladrillos . La región de transición presente en los filtros prácticos no existe en un filtro ideal. Un filtro de paso bajo ideal se puede realizar matemáticamente (teóricamente) multiplicando una señal por la función rectangular en el dominio de la frecuencia o, equivalentemente, mediante convolución con su respuesta al impulso , una función sinc , en el dominio del tiempo.

Sin embargo, el filtro ideal es imposible de implementar sin tener también señales de extensión infinita en el tiempo, y por lo tanto generalmente necesita ser aproximado para señales reales en curso, porque la región de soporte de la función sinc se extiende a todos los tiempos pasados ​​y futuros. Por lo tanto, el filtro necesitaría tener un retardo infinito, o conocimiento del futuro y pasado infinitos, para realizar la convolución. Es efectivamente realizable para señales digitales pregrabadas asumiendo extensiones de cero en el pasado y el futuro, o, más típicamente, haciendo que la señal sea repetitiva y utilizando el análisis de Fourier.

Los filtros reales para aplicaciones en tiempo real se aproximan al filtro ideal truncando y creando una ventana con la respuesta al impulso infinito para obtener una respuesta al impulso finito ; la aplicación de ese filtro requiere retrasar la señal durante un período de tiempo moderado, lo que permite que el cálculo "vea" un poco hacia el futuro. Este retraso se manifiesta como un cambio de fase . Una mayor precisión en la aproximación requiere un retraso mayor.

El truncamiento de un filtro de paso bajo ideal produce artefactos de zumbido a través del fenómeno de Gibbs , que se pueden reducir o empeorar mediante la elección de la función de ventana. El diseño y la elección de filtros reales implican la comprensión y la minimización de estos artefactos. Por ejemplo, el simple truncamiento de la función sinc creará artefactos de zumbido graves, que se pueden reducir utilizando funciones de ventana que caen más suavemente en los bordes. ^[5]

La fórmula de interpolación de Whittaker-Shannon describe cómo utilizar un filtro de paso bajo perfecto para reconstruir una señal continua a partir de una señal digital muestreada . Los conversores digitales a analógicos reales utilizan aproximaciones de filtros reales.

Respuesta temporal

La respuesta temporal de un filtro de paso bajo se encuentra resolviendo la respuesta del filtro RC de paso bajo simple.

Un filtro RC de paso bajo simple

Utilizando las Leyes de Kirchhoff llegamos a la ecuación diferencial ^[6]

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=v_{\text{in}}(t)-RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

Ejemplo de respuesta de entrada escalonada

Si dejamos que sea una función escalonada de magnitud entonces la ecuación diferencial tiene como solución ^[7] ${\displaystyle v_{\text{in}}(t)}$ ${\displaystyle V_{i}}$

${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t}),}$

donde es la frecuencia de corte del filtro. ${\displaystyle \omega _{0}={1 \over RC}}$

Respuesta de frecuencia

La forma más común de caracterizar la respuesta de frecuencia de un circuito es encontrar su función de transferencia de transformada de Laplace ^[6] , . Tomando la transformada de Laplace de nuestra ecuación diferencial y resolviendo para obtenemos ${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}}$ ${\displaystyle H(s)}$

${\displaystyle H(s)={V_{\rm {out}}(s) \over V_{\rm {in}}(s)}={\omega _{0} \over s+\omega _{0}}}$

Ecuación diferencial mediante muestreo en tiempo discreto

Se obtiene fácilmente una ecuación diferencial discreta muestreando la respuesta de entrada escalonada anterior a intervalos regulares de donde y es el tiempo entre muestras. Tomando la diferencia entre dos muestras consecutivas tenemos ${\displaystyle nT}$ ${\displaystyle n=0,1,...}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)-v_{\rm {out}}((n-1)T)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}nT})-V_{i}(1-e^{-\omega _{0}((n-1)T)})}$

Resolviendo obtenemos ${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)}$

${\displaystyle v_{\rm {out}}(nT)=\beta v_{\rm {out}}((n-1)T)+(1-\beta )V_{i}}$

Dónde ${\displaystyle \beta =e^{-\omega _{0}T}}$

Usando la notación y , y sustituyendo nuestro valor muestreado, , obtenemos la ecuación de diferencia ${\displaystyle V_{n}=v_{\rm {out}}(nT)}$ ${\displaystyle v_{n}=v_{\rm {in}}(nT)}$ ${\displaystyle v_{n}=V_{i}}$

${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}}$

Análisis de errores

Comparando la señal de salida reconstruida a partir de la ecuación diferencial, , con la respuesta de entrada escalón, , encontramos que hay una reconstrucción exacta (error del 0%). Esta es la salida reconstruida para una entrada invariante en el tiempo. Sin embargo, si la entrada es variable en el tiempo , como , este modelo aproxima la señal de entrada como una serie de funciones escalón con duración que produce un error en la señal de salida reconstruida. El error producido a partir de entradas variables en el tiempo es difícil de cuantificar ^{[ cita requerida ]} pero disminuye a medida que . ${\displaystyle V_{n}=\beta V_{n-1}+(1-\beta )v_{n}}$ ${\displaystyle v_{\text{out}}(t)=V_{i}(1-e^{-\omega _{0}t})}$ ${\displaystyle v_{\text{in}}(t)=V_{i}\sin(\omega t)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\rightarrow 0}$

Realización en tiempo discreto

Muchos filtros digitales están diseñados para proporcionar características de paso bajo. Se utilizan ampliamente tanto los filtros de paso bajo de respuesta de impulso infinito como los de respuesta de impulso finito , así como los filtros que utilizan transformadas de Fourier .

Filtro de respuesta de impulso infinito simple

El efecto de un filtro de paso bajo con respuesta de impulso infinito se puede simular en una computadora analizando el comportamiento de un filtro RC en el dominio del tiempo y luego discretizando el modelo.

Un filtro RC de paso bajo simple

Del diagrama del circuito de la derecha, según las Leyes de Kirchhoff y la definición de capacitancia :

donde es la carga almacenada en el capacitor en el tiempo t . Sustituyendo la ecuación Q en la ecuación I se obtiene , que puede sustituirse en la ecuación V de modo que ${\displaystyle Q_{c}(t)}$ ${\displaystyle i(t)\;=\;C{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}}$

${\displaystyle v_{\text{in}}(t)-v_{\text{out}}(t)=RC{\frac {\operatorname {d} v_{\text{out}}}{\operatorname {d} t}}.}$

Esta ecuación se puede discretizar. Para simplificar, supongamos que las muestras de la entrada y la salida se toman en puntos espaciados uniformemente en el tiempo separados por tiempo. Sea que las muestras de se representen por la secuencia , y sea que se representen por la secuencia , que corresponden a los mismos puntos en el tiempo. Haciendo estas sustituciones, ${\displaystyle \Delta _{T}}$ ${\displaystyle v_{\text{in}}}$ ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$ ${\displaystyle v_{\text{out}}}$ ${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$

${\displaystyle x_{i}-y_{i}=RC\,{\frac {y_{i}-y_{i-1}}{\Delta _{T}}}.}$

Al reorganizar los términos se obtiene la relación de recurrencia

${\displaystyle y_{i}=\overbrace {x_{i}\left({\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Input contribution}}+\overbrace {y_{i-1}\left({\frac {RC}{RC+\Delta _{T}}}\right)} ^{\text{Inertia from previous output}}.}$

Es decir, esta implementación de tiempo discreto de un filtro de paso bajo RC simple es el promedio móvil ponderado exponencialmente.

${\displaystyle y_{i}=\alpha x_{i}+(1-\alpha )y_{i-1}\qquad {\text{where}}\qquad \alpha :={\frac {\Delta _{T}}{RC+\Delta _{T}}}.}$

Por definición, el factor de suavizado está dentro del rango . La expresión para α produce la constante de tiempo equivalente RC en términos del período de muestreo y el factor de suavizado α , ${\displaystyle 0\;\leq \;\alpha \;\leq \;1}$ ${\displaystyle \Delta _{T}}$

${\displaystyle RC=\Delta _{T}\left({\frac {1-\alpha }{\alpha }}\right).}$

Recordando que

${\displaystyle f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}}$entonces ${\displaystyle RC={\frac {1}{2\pi f_{c}}},}$

nota α y están relacionados por, ${\displaystyle f_{c}}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi \Delta _{T}f_{c}}{2\pi \Delta _{T}f_{c}+1}}}$

y

${\displaystyle f_{c}={\frac {\alpha }{(1-\alpha )2\pi \Delta _{T}}}.}$

Si α = 0,5, entonces la constante de tiempo RC es igual al período de muestreo. Si , entonces RC es significativamente mayor que el intervalo de muestreo y . ${\displaystyle \alpha \;\ll \;0.5}$ ${\displaystyle \Delta _{T}\;\approx \;\alpha RC}$

La relación de recurrencia del filtro proporciona una manera de determinar las muestras de salida en términos de las muestras de entrada y la salida anterior. El siguiente algoritmo de pseudocódigo simula el efecto de un filtro de paso bajo en una serie de muestras digitales:

// Devuelve muestras de salida del filtro de paso bajo RC, dadas las muestras de entrada,// intervalo de tiempo dt y constante de tiempo función RC lowpass( real[1..n] x, real dt, real RC) var real[1..n] y var real α := dt / (RC + dt)   y[1] := α * x[1] para i de 2 a n y[i] := α * x[i] + (1-α) * y[i-1] volver y

El bucle que calcula cada una de las n salidas se puede refactorizar en el equivalente:

 para i de 2 a n y[i] := y[i-1] + α * (x[i] - y[i-1])

Es decir, el cambio de una salida de filtro a la siguiente es proporcional a la diferencia entre la salida anterior y la siguiente entrada. Esta propiedad de suavizado exponencial coincide con la caída exponencial observada en el sistema de tiempo continuo. Como se esperaba, a medida que aumenta la constante de tiempo RC , el parámetro de suavizado de tiempo discreto disminuye y las muestras de salida responden más lentamente a un cambio en las muestras de entrada ; el sistema tiene más inercia . Este filtro es un filtro de paso bajo unipolar de respuesta a impulsos infinitos (IIR). ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (y_{1},\,y_{2},\,\ldots ,\,y_{n})}$ ${\displaystyle (x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})}$

Respuesta de impulso finito

Se pueden construir filtros de respuesta de impulso finito que se aproximen a la respuesta en el dominio temporal de la función sinc de un filtro de paso bajo de corte brusco ideal. Para lograr una distorsión mínima, el filtro de respuesta de impulso finito tiene un número ilimitado de coeficientes que operan sobre una señal ilimitada. En la práctica, la respuesta en el dominio temporal debe truncarse en el tiempo y, a menudo, tiene una forma simplificada; en el caso más simple, se puede utilizar un promedio móvil , lo que da una respuesta temporal cuadrada. ^[8]

Transformada de Fourier

Para el filtrado en tiempo no real, para lograr un filtro de paso bajo, se toma generalmente toda la señal como una señal en bucle, se toma la transformada de Fourier, se filtra en el dominio de la frecuencia y luego se realiza una transformada de Fourier inversa. Solo se requieren O(n log(n)) operaciones en comparación con O(n ² ) para el algoritmo de filtrado en el dominio del tiempo.

A veces, esto también se puede hacer en tiempo real, donde la señal se retrasa lo suficiente para realizar la transformación de Fourier en bloques más cortos y superpuestos.

Realización en tiempo continuo

Gráfica de la ganancia de los filtros de paso bajo Butterworth de órdenes 1 a 5, con frecuencia de corte . Nótese que la pendiente es 20 n dB/década donde n es el orden del filtro. ${\displaystyle \omega _{0}=1}$

Existen muchos tipos diferentes de circuitos de filtro, con diferentes respuestas a los cambios de frecuencia. La respuesta de frecuencia de un filtro se representa generalmente mediante un diagrama de Bode , y el filtro se caracteriza por su frecuencia de corte y la tasa de reducción de frecuencia . En todos los casos, en la frecuencia de corte, el filtro atenúa la potencia de entrada a la mitad o 3 dB. Por lo tanto, el orden del filtro determina la cantidad de atenuación adicional para frecuencias superiores a la frecuencia de corte.

• Un filtro de primer orden , por ejemplo, reduce la amplitud de la señal a la mitad (por lo que la potencia se reduce en un factor de 4, o 6 dB) , cada vez que la frecuencia se duplica (sube una octava ); más precisamente, la reducción de potencia se acerca a 20 dB por década en el límite de alta frecuencia. El diagrama de Bode de magnitud para un filtro de primer orden se ve como una línea horizontal debajo de la frecuencia de corte y una línea diagonal por encima de la frecuencia de corte. También hay una "curva de inflexión" en el límite entre los dos, que pasa suavemente entre las dos regiones de línea recta. Si la función de transferencia de un filtro de paso bajo de primer orden tiene un cero además de un polo , el diagrama de Bode se aplana de nuevo, en una atenuación máxima de las frecuencias altas; tal efecto es causado, por ejemplo, por un poco de la entrada que se filtra alrededor del filtro de un polo; este filtro de un polo-uno-cero sigue siendo un filtro de paso bajo de primer orden. Consulte el diagrama de polo-cero y el circuito RC .
• Un filtro de segundo orden atenúa las frecuencias altas de forma más pronunciada. El diagrama de Bode para este tipo de filtro se parece al de un filtro de primer orden, excepto que cae más rápidamente. Por ejemplo, un filtro Butterworth de segundo orden reduce la amplitud de la señal a una cuarta parte de su nivel original cada vez que la frecuencia se duplica (por lo que la potencia disminuye en 12 dB por octava, o 40 dB por década). Otros filtros de segundo orden de todos los polos pueden caer a diferentes velocidades inicialmente dependiendo de su factor Q , pero se acercan a la misma velocidad final de 12 dB por octava; al igual que con los filtros de primer orden, los ceros en la función de transferencia pueden cambiar la asíntota de alta frecuencia. Véase circuito RLC .
• Los filtros de tercer orden y de orden superior se definen de manera similar. En general, la tasa final de reducción de potencia para un filtro de todos los polos de orden n es de 6 n dB por octava (20 n dB por década).

En cualquier filtro Butterworth, si se extiende la línea horizontal hacia la derecha y la línea diagonal hacia la esquina superior izquierda (las asíntotas de la función), se intersecan exactamente en la frecuencia de corte , 3 dB por debajo de la línea horizontal. Los distintos tipos de filtros ( filtro Butterworth , filtro Chebyshev , filtro Bessel , etc.) tienen curvas de inflexión de aspecto diferente . Muchos filtros de segundo orden tienen "picos" o resonancia que colocan su respuesta de frecuencia por encima de la línea horizontal en este pico.

Los significados de "bajo" y "alto" (es decir, la frecuencia de corte ) dependen de las características del filtro. El término "filtro de paso bajo" se refiere simplemente a la forma de la respuesta del filtro; se podría construir un filtro de paso alto que corte a una frecuencia más baja que cualquier filtro de paso bajo; son sus respuestas las que los diferencian. Se pueden diseñar circuitos electrónicos para cualquier rango de frecuencia deseado, hasta frecuencias de microondas (por encima de 1 GHz) y superiores.

Notación de Laplace

Los filtros de tiempo continuo también pueden describirse en términos de la transformada de Laplace de su respuesta al impulso , de manera que se puedan analizar fácilmente todas las características del filtro considerando el patrón de polos y ceros de la transformada de Laplace en el plano complejo. (En tiempo discreto, se puede considerar de manera similar la transformada Z de la respuesta al impulso).

Por ejemplo, un filtro de paso bajo de primer orden se puede describir en notación de Laplace como:

${\displaystyle {\frac {\text{Output}}{\text{Input}}}=K{\frac {1}{\tau s+1}}}$

donde s es la variable de la transformada de Laplace, τ es la constante de tiempo del filtro y K es la ganancia del filtro en la banda de paso .

Filtros electrónicos de paso bajo

Primer orden

Filtro RC

Filtro RC de paso bajo pasivo de primer orden

Un circuito de filtro de paso bajo simple consta de una resistencia en serie con una carga y un condensador en paralelo con la carga. El condensador exhibe reactancia y bloquea las señales de baja frecuencia, obligándolas a pasar a través de la carga. A frecuencias más altas, la reactancia cae y el condensador funciona efectivamente como un cortocircuito. La combinación de resistencia y capacitancia da la constante de tiempo del filtro (representada por la letra griega tau ). La frecuencia de ruptura, también llamada frecuencia de rotación, frecuencia de esquina o frecuencia de corte (en hercios), está determinada por la constante de tiempo: ${\displaystyle \tau \;=\;RC}$

${\displaystyle f_{\mathrm {c} }={1 \over 2\pi \tau }={1 \over 2\pi RC}}$

o equivalentemente (en radianes por segundo):

${\displaystyle \omega _{\mathrm {c} }={1 \over \tau }={1 \over RC}}$

Este circuito se puede entender considerando el tiempo que necesita el capacitor para cargarse o descargarse a través de la resistencia:

• A bajas frecuencias, hay tiempo suficiente para que el condensador se cargue hasta prácticamente el mismo voltaje que el voltaje de entrada.
• A frecuencias altas, el capacitor solo tiene tiempo de cargarse una pequeña cantidad antes de que la entrada cambie de dirección. La salida sube y baja solo una pequeña fracción de la cantidad que sube y baja la entrada. Al doble de frecuencia, solo tiene tiempo de cargarse la mitad.

Otra forma de entender este circuito es a través del concepto de reactancia a una frecuencia particular:

• Dado que la corriente continua (CC) no puede fluir a través del capacitor, la entrada de CC debe fluir por el camino marcado (de manera análoga a quitar el capacitor). ${\displaystyle V_{\mathrm {out} }}$
• Dado que la corriente alterna (CA) fluye muy bien a través del capacitor, casi tan bien como fluye a través de un cable sólido, la entrada de CA fluye a través del capacitor, provocando efectivamente un cortocircuito a tierra (análogo a reemplazar el capacitor con solo un cable).

El condensador no es un objeto de "encendido/apagado" (como la explicación fluídica de bloqueo o paso anterior). El condensador actúa de forma variable entre estos dos extremos. Es el diagrama de Bode y la respuesta de frecuencia lo que muestra esta variabilidad.

Filtro RL

Un circuito resistor-inductor o filtro RL es un circuito eléctrico compuesto por resistencias e inductores accionados por una fuente de voltaje o corriente . Un circuito RL de primer orden está compuesto por una resistencia y una inductancia y es el tipo más simple de circuito RL.

Un circuito RL de primer orden es uno de los filtros electrónicos analógicos de respuesta al impulso infinito más simples . Consiste en una resistencia y un inductor , ya sea en serie accionados por una fuente de voltaje o en paralelo accionados por una fuente de corriente.

Segundo orden

Filtro RLC

Circuito RLC como filtro paso bajo

Un circuito RLC (las letras R, L y C pueden estar en una secuencia diferente) es un circuito eléctrico que consta de una resistencia , un inductor y un condensador , conectados en serie o en paralelo. La parte RLC del nombre se debe a que esas letras son los símbolos eléctricos habituales para resistencia , inductancia y capacitancia , respectivamente. El circuito forma un oscilador armónico para la corriente y resonará de manera similar a como lo hará un circuito LC . La principal diferencia que genera la presencia de la resistencia es que cualquier oscilación inducida en el circuito se desvanecerá con el tiempo si no se mantiene mediante una fuente. Este efecto de la resistencia se llama amortiguamiento . La presencia de la resistencia también reduce un poco la frecuencia de resonancia pico. Cierta resistencia es inevitable en los circuitos reales, incluso si una resistencia no se incluye específicamente como componente. Un circuito LC puro ideal es una abstracción para el propósito de la teoría.

Este circuito tiene muchas aplicaciones. Se utiliza en muchos tipos diferentes de circuitos osciladores . Otra aplicación importante es la sintonización , como en receptores de radio o televisores , donde se utilizan para seleccionar un rango estrecho de frecuencias de las ondas de radio ambientales. En esta función, el circuito a menudo se denomina circuito sintonizado. Un circuito RLC se puede utilizar como filtro de paso de banda , filtro de eliminación de banda , filtro de paso bajo o filtro de paso alto . El filtro RLC se describe como un circuito de segundo orden , lo que significa que cualquier voltaje o corriente en el circuito se puede describir mediante una ecuación diferencial de segundo orden en el análisis de circuitos.

Forma estándar del filtro de paso bajo de segundo orden

La función de transferencia de un filtro de paso bajo de segundo orden se puede expresar como una función de la frecuencia como se muestra en la Ecuación 1, la Forma Estándar del Filtro de Paso Bajo de Segundo Orden. ${\displaystyle H_{LP}(f)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle H_{LP}(f)=-{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f_{c}^{2}+{\frac {1}{Q}}\cdot jf_{FSF}\cdot f_{c}+1}}\quad (1)}$

En esta ecuación, es la variable de frecuencia, es la frecuencia de corte, es el factor de escala de frecuencia y es el factor de calidad. La ecuación 1 describe tres regiones de operación: por debajo del límite de corte, en el área de límite de corte y por encima del límite de corte. Para cada área, la ecuación 1 se reduce a: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{FSF}}$ ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle f\ll f_{c}}$: - El circuito pasa señales multiplicadas por el factor de ganancia . ${\displaystyle H_{LP}(f)\approx K}$ ${\displaystyle K}$
• ${\displaystyle {\frac {f}{f_{c}}}=f_{FSF}}$: - Las señales están desplazadas en fase 90° y modificadas por el factor de calidad . ${\displaystyle H_{LP}(f)=jKQ}$ ${\displaystyle Q}$
• ${\displaystyle f\gg f_{c}}$: - Las señales se desplazan en fase 180° y se atenúan por el cuadrado de la relación de frecuencias. Este comportamiento se detalla en "Active Low-Pass Filter Design" (Texas Instruments, 2023) de Jim Karki. ^[9] ${\displaystyle H_{LP}(f)\approx -{\frac {K}{f_{FSF}\cdot f^{2}}}}$

Con la atenuación en frecuencias superiores aumentando en una potencia de dos, la última fórmula describe un filtro de paso bajo de segundo orden. El factor de escala de frecuencia se utiliza para escalar la frecuencia de corte del filtro de modo que cumpla con las definiciones dadas anteriormente. ${\displaystyle f_{c}}$ ${\displaystyle f_{FSF}}$

Filtros pasivos de orden superior

También se pueden construir filtros pasivos de orden superior (ver el diagrama para ver un ejemplo de tercer orden).

Filtro paso bajo de tercer orden ( topología de Cauer ). El filtro se convierte en un filtro Butterworth con frecuencia de corte ω _c = 1 cuando (por ejemplo) C ₂ = 4/3 faradios, R ₄ = 1 ohmio, L ₁ = 3/2 henrios y L ₃ = 1/2 henrios.

Realización electrónica activa

Un filtro de paso bajo activo

Un filtro de paso bajo activo agrega un dispositivo activo para crear un filtro activo que permite ganancia en la banda de paso.

En el circuito amplificador operacional que se muestra en la figura, la frecuencia de corte (en hercios ) se define como:

${\displaystyle f_{\text{c}}={\frac {1}{2\pi R_{2}C}}}$

o equivalentemente (en radianes por segundo):

${\displaystyle \omega _{\text{c}}={\frac {1}{R_{2}C}}}$

La ganancia en la banda de paso es -R 2 _/ R 1 _, y la banda de supresión cae a -6 dB por octava (es decir, -20 dB por década) ya que es un filtro de primer orden.

Véase también

• Portal de electrónica

• Banda base

Referencias

1. Información sobre filtros de paso largo y filtros de paso corto , consultado el 4 de octubre de 2017
2. Sedra, Adel ; Smith, Kenneth C. (1991). Circuitos microelectrónicos, 3.ª edición . Saunders College Publishing. pág. 60. ISBN 0-03-051648-X.
3. "Explicación de los filtros ADSL". Epanorama.net . Consultado el 24 de septiembre de 2013 .
4. "Redes domésticas: red de área local". Pcweenie.com. 12 de abril de 2009. Archivado desde el original el 27 de septiembre de 2013. Consultado el 24 de septiembre de 2013 .
5. Dominando Windows: Mejorando la reconstrucción
6. Hayt, William H. Jr. y Kemmerly, Jack E. (1978). Análisis de circuitos de ingeniería . Nueva York: McGRAW-HILL BOOK COMPANY. págs. 211–224, 684–729.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Boyce, William y DiPrima, Richard (1965). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera . Nueva York: JOHN WILEY & SONS. págs. 11–24.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
8. Whilmshurst, TH (1990) Recuperación de señales a partir del ruido en instrumentación electrónica. ISBN 9780750300582 
9. "Diseño de filtro de paso bajo activo" (Texas Instruments, 2023)

Enlaces externos

• Simulador Java de filtro de paso bajo
• ECE 209: Revisión de circuitos como sistemas LTI, una breve introducción al análisis matemático de sistemas LTI (eléctricos).
• ECE 209: Fuentes de desplazamiento de fase, una explicación intuitiva de la fuente del desplazamiento de fase en un filtro de paso bajo. También verifica la función de transferencia pasiva simple de LPF mediante identidad trigonométrica.
• Generador de código C para la implementación digital de los filtros Butterworth, Bessel y Chebyshev creados por el difunto Dr. Tony Fisher de la Universidad de York (York, Inglaterra).