Valores trigonométricos exactos

Valores trigonométricos en términos de raíces cuadradas y fracciones

En matemáticas, los valores de las funciones trigonométricas se pueden expresar de forma aproximada, como en , o de forma exacta, como en . Si bien las tablas trigonométricas contienen muchos valores aproximados, los valores exactos de ciertos ángulos se pueden expresar mediante una combinación de operaciones aritméticas y raíces cuadradas . Los ángulos con valores trigonométricos que se pueden expresar de esta manera son exactamente los que se pueden construir con un compás y una regla , y los valores se denominan números construibles . ${\displaystyle \cos(\pi /4)\approx 0.707}$ ${\displaystyle \cos(\pi /4)={\sqrt {2}}/2}$

Angulos comunes

Las funciones trigonométricas de ángulos que son múltiplos de 15°, 18° o 22,5° tienen valores algebraicos simples. Estos valores se enumeran en la siguiente tabla para ángulos de 0° a 45°. ^[1] En la tabla siguiente, la etiqueta "Indefinido" representa una relación Si se toma como codominio de las funciones trigonométricas los números reales , estas entradas son indefinidas , mientras que si se toma como codominio los números reales proyectivamente extendidos , estas entradas toman el valor (ver división por cero ). ${\displaystyle 1:0.}$ ${\displaystyle \infty }$

Para ángulos fuera de este rango, los valores trigonométricos se pueden encontrar aplicando identidades de reflexión y desplazamiento como

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&&\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&{}=\cos(\theta ),\\[5mu]&&\sin(2\pi +\theta )&{}=\sin(\pi -\theta )&&{}=\sin(\theta ),\quad &&\sin(\pi +\theta )&&{}=\sin(-\theta )&&{}=-\sin(\theta ),\\[5mu]&&\cos(2\pi +\theta )&{}=\cos(-\theta )&&{}=\cos(\theta ),\quad &&\cos(\pi +\theta )&&{}=\cos(\pi -\theta )&&{}=-\cos(\theta ).\end{alignedat}}}$

Números trigonométricos

Un número trigonométrico es un número que puede expresarse como el seno o el coseno de un múltiplo racional de π radianes . ^[2] Dado que el caso de un seno puede omitirse de esta definición. Por lo tanto, cualquier número trigonométrico puede escribirse como , donde k y n son números enteros. Este número puede considerarse como la parte real del número complejo . La fórmula de De Moivre muestra que los números de esta forma son raíces de la unidad : ${\displaystyle \sin(x)=\cos(x-\pi /2),}$ ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)}$ ${\displaystyle \cos(2\pi k/n)+i\sin(2\pi k/n)}$

${\displaystyle \left(\cos \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)+i\sin \left({\frac {2\pi k}{n}}\right)\right)^{n}=\cos(2\pi k)+i\sin(2\pi k)=1}$

Como la raíz de la unidad es una raíz del polinomio x ⁿ  − 1, es algebraico . Como el número trigonométrico es el promedio de la raíz de la unidad y su conjugado complejo , y los números algebraicos están cerrados bajo operaciones aritméticas, todo número trigonométrico es algebraico. ^[2] Los polinomios mínimos de los números trigonométricos se pueden enumerar explícitamente . ^[3] Por el contrario, por el teorema de Lindemann-Weierstrass , el seno o coseno de cualquier número algebraico distinto de cero es siempre trascendental. ^[4]

La parte real de cualquier raíz de la unidad es un número trigonométrico. Según el teorema de Niven , los únicos números trigonométricos racionales son 0, 1, −1, 1/2 y −1/2. ^[5]

Constructibilidad

Un ángulo se puede construir con un compás y una regla si y solo si su seno (o equivalentemente coseno) se puede expresar mediante una combinación de operaciones aritméticas y raíces cuadradas aplicadas a números enteros. ^[6] Además, un ángulo que es un múltiplo racional de radianes se puede construir si y solo si, cuando se expresa en radianes, donde a y b son números enteros primos entre sí , la factorización prima del denominador, b , es el producto de alguna potencia de dos y cualquier número de primos de Fermat distintos (un primo de Fermat es un número primo uno mayor que una potencia de dos). ^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle a\pi /b}$

Así, por ejemplo, es un ángulo construible porque 15 es el producto de los primos de Fermat 3 y 5. De manera similar es un ángulo construible porque 12 es una potencia de dos (4) por un primo de Fermat (3). Pero no es un ángulo construible, ya que no es el producto de primos de Fermat distintos ya que contiene 3 como factor dos veces, y tampoco lo es , ya que 7 no es un primo de Fermat. ^[8] ${\displaystyle 2\pi /15=24^{\circ }}$ ${\displaystyle \pi /12=15^{\circ }}$ ${\displaystyle \pi /9=20^{\circ }}$ ${\displaystyle 9=3\cdot 3}$ ${\displaystyle \pi /7\approx 25.714^{\circ }}$

De la caracterización anterior resulta que un ángulo de un número entero de grados es construible si y sólo si este número de grados es múltiplo de 3 .

Valores construibles

45°

A partir de una identidad de reflexión , . Sustituyendo en la identidad trigonométrica pitagórica , se obtiene el polinomio mínimo . Tomando la raíz positiva, se encuentra . ${\displaystyle \cos(45^{\circ })=\sin(90^{\circ }-45^{\circ })=\sin(45^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(45^{\circ })^{2}+\cos(45^{\circ })^{2}=1}$ ${\displaystyle 2\sin(45^{\circ })^{2}-1=0}$ ${\displaystyle \sin(45^{\circ })=\cos(45^{\circ })=1/{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}/2}$

Una forma geométrica de derivar el seno o coseno de 45° es considerando un triángulo rectángulo isósceles con una longitud de cateto de 1. Dado que dos de los ángulos en un triángulo isósceles son iguales, si el ángulo restante es de 90° para un triángulo rectángulo, entonces los dos ángulos iguales son cada uno de 45°. Entonces, por el teorema de Pitágoras, la longitud de la hipotenusa de dicho triángulo es . Escalar el triángulo para que su hipotenusa tenga una longitud de 1 divide las longitudes por , dando el mismo valor para el seno o coseno de 45° dado anteriormente. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

30° y 60°

Los valores de seno y coseno de 30 y 60 grados se derivan mediante el análisis del triángulo equilátero . En un triángulo equilátero, los 3 ángulos son iguales y suman 180°, por lo tanto, cada ángulo de cada vértice es 60°. Al bisecar un vértice, se obtiene el triángulo rectángulo especial con ángulos 30-60-90. Por simetría, el lado bisecado es la mitad del lado del triángulo equilátero, por lo que se concluye que . Las identidades pitagóricas y de reflexión dan entonces . ${\displaystyle \sin(30^{\circ })=1/2}$ ${\displaystyle \sin(60^{\circ })=\cos(30^{\circ })={\sqrt {1-(1/2)^{2}}}={\sqrt {3}}/2}$

18°, 36°, 54° y 72°

El valor de se puede derivar utilizando las fórmulas de ángulos múltiples para seno y coseno. ^[9] Mediante la fórmula de ángulo doble para seno: ${\displaystyle \sin(18^{\circ })}$

${\displaystyle \sin(36^{\circ })=2\sin(18^{\circ })\cos(18^{\circ })}$

Por la fórmula del triple ángulo para el coseno:

${\displaystyle \cos(54^{\circ })=\cos ^{3}(18^{\circ })-3\sin ^{2}(18^{\circ })\cos(18^{\circ })=\cos(18^{\circ })(1-4\sin ^{2}(18^{\circ }))}$

Como sin(36°) = cos(54°), igualamos estas dos expresiones y cancelamos un factor de cos(18°):

${\displaystyle 2\sin(18^{\circ })=1-4\sin ^{2}(18^{\circ })}$

Esta ecuación cuadrática tiene solo una raíz positiva:

${\displaystyle \sin(18^{\circ })={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$

La identidad pitagórica entonces da , y las fórmulas del ángulo doble y triple dan seno y coseno de 36°, 54° y 72°. ${\displaystyle \cos(18^{\circ })}$

Múltiplos restantes de 3°

 Wikimedia Commons tiene un archivo disponible para una tabla de estos valores exactos.

Los senos y cosenos de todos los demás ángulos entre 0 y 90° que sean múltiplos de 3° se pueden derivar de los ángulos descritos anteriormente y de las fórmulas de suma y diferencia . En concreto, ^[10]

${\displaystyle {\begin{aligned}3^{\circ }&=18^{\circ }-15^{\circ },&24^{\circ }&=54^{\circ }-30^{\circ },&51^{\circ }&=60^{\circ }-9^{\circ },&78^{\circ }&=60^{\circ }+18^{\circ },&\\6^{\circ }&=36^{\circ }-30^{\circ },&27^{\circ }&=45^{\circ }-18^{\circ },&57^{\circ }&=30^{\circ }+27^{\circ },&81^{\circ }&=45^{\circ }+36^{\circ },&\\9^{\circ }&=45^{\circ }-36^{\circ },&33^{\circ }&=60^{\circ }-27^{\circ },&63^{\circ }&=45^{\circ }+18^{\circ },&84^{\circ }&=54^{\circ }+30^{\circ },&\\12^{\circ }&=30^{\circ }-18^{\circ },&39^{\circ }&=30^{\circ }+9^{\circ },&66^{\circ }&=36^{\circ }+30^{\circ },&87^{\circ }&=60^{\circ }+27^{\circ }.&\\15^{\circ }&=45^{\circ }-30^{\circ },&42^{\circ }&=60^{\circ }-18^{\circ },&69^{\circ }&=60^{\circ }+9^{\circ },&\\21^{\circ }&=30^{\circ }-9^{\circ },&48^{\circ }&=30^{\circ }+18^{\circ },&75^{\circ }&=45^{\circ }+30^{\circ },&\end{aligned}}}$

Por ejemplo, dado que , su coseno se puede derivar mediante la fórmula de diferencia de cosenos: ${\displaystyle 24^{\circ }=60^{\circ }-36^{\circ }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(24^{\circ })&=\cos(60^{\circ })\cos(36^{\circ })+\sin(60^{\circ })\sin(36^{\circ })\\&={\frac {1}{2}}{\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}{\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}\\&={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}}{8}}\end{aligned}}}$

Ángulos medios

Si el denominador, b , se multiplica por factores adicionales de 2, el seno y el coseno se pueden derivar con las fórmulas de la mitad del ángulo . Por ejemplo, 22,5° ( π /8 rad) es la mitad de 45°, por lo que su seno y coseno son: ^[11]

${\displaystyle \sin(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1-\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1-{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}$

${\displaystyle \cos(22.5^{\circ })={\sqrt {\frac {1+\cos(45^{\circ })}{2}}}={\sqrt {\frac {1+{\frac {\sqrt {2}}{2}}}{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}$

La aplicación repetida de las fórmulas de medio ángulo conduce a radicales anidados , específicamente raíces cuadradas anidadas de 2 de la forma . En general, el seno y el coseno de la mayoría de los ángulos de la forma se pueden expresar utilizando raíces cuadradas anidadas de 2 en términos de . Específicamente, si uno puede escribir un ángulo como donde y es -1, 0 o 1 para , entonces ^[12] y si entonces ^[12] Por ejemplo, , por lo que uno tiene y obtiene: ${\displaystyle {\sqrt {2\pm \cdots }}}$ ${\displaystyle \beta /2^{n}}$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle \alpha =\pi \left({\frac {1}{2}}-\sum _{i=1}^{k}{\frac {\prod _{j=1}^{i}b_{j}}{2^{i+1}}}\right)=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{1}}{4}}-{\frac {b_{1}b_{2}}{8}}-{\frac {b_{1}b_{2}b_{3}}{16}}-\ldots -{\frac {b_{1}b_{2}\ldots b_{k}}{2^{k+1}}}\right)}$$ ${\displaystyle b_{k}\in [-2,2]}$ ${\displaystyle b_{i}}$ ${\displaystyle i<k}$ $${\displaystyle \cos(\alpha )={\frac {b_{1}}{2}}{\sqrt {2+b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}$$ ${\displaystyle b_{1}\neq 0}$ $${\displaystyle \sin(\alpha )={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-b_{2}{\sqrt {2+b_{3}{\sqrt {2+b_{4}{\sqrt {2+\ldots +b_{k-1}{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {\pi b_{k}}{4}}\right)}}}}}}}}}}}$$ ${\displaystyle {\frac {13\pi }{32}}=\pi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}\right)}$ ${\displaystyle (b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})=(1,-1,1,-1)}$ $${\displaystyle \cos \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+2\sin \left({\frac {-\pi }{4}}\right)}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$ $${\displaystyle \sin \left({\frac {13\pi }{32}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}}$$

Denominador de 17

Como 17 es un primo de Fermat, se puede construir un 17-gono regular , lo que significa que los senos y cosenos de ángulos como los radianes se pueden expresar en términos de raíces cuadradas. En particular, en 1796, Carl Friedrich Gauss demostró que: ^{[13] [14]} ${\displaystyle 2\pi /17}$

${\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{17}}\right)={\frac {-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {170+38{\sqrt {17}}}}}}}{16}}}$

Los senos y cosenos de otros ángulos construibles de la forma (para números enteros ) se pueden derivar de éste. ${\displaystyle {\frac {k2^{n}\pi }{17}}}$ ${\displaystyle k,n}$

Inconstruibilidad de 1°

Como se explicó en § Constructibilidad, solo ciertos ángulos que son múltiplos racionales de radianes tienen valores trigonométricos que pueden expresarse con raíces cuadradas. El ángulo 1°, al estar en radianes, tiene un factor repetido de 3 en el denominador y, por lo tanto, no puede expresarse utilizando solo raíces cuadradas. Una pregunta relacionada es si puede expresarse utilizando raíces cúbicas. Se pueden utilizar los dos enfoques siguientes, pero ambos dan como resultado una expresión que involucra la raíz cúbica de un número complejo . ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi /180=\pi /(2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5)}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

Usando la identidad del triple ángulo, podemos identificar como raíz de un polinomio cúbico: . Las tres raíces de este polinomio son , , y . Como es construible, se podría introducir una expresión para él en la fórmula de Cardano para obtener una expresión para . Sin embargo, dado que las tres raíces del polinomio cúbico son reales, este es un caso de casus irreducibilis , y la expresión requeriría tomar la raíz cúbica de un número complejo. ^{[15] [16]} ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(3^{\circ })=-4x^{3}+3x}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(59^{\circ })}$ ${\displaystyle -\sin(61^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(3^{\circ })}$ ${\displaystyle \sin(1^{\circ })}$

Alternativamente, mediante la fórmula de De Moivre :

${\displaystyle {\begin{aligned}(\cos(1^{\circ })+i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ }),\\[4mu](\cos(1^{\circ })-i\sin(1^{\circ }))^{3}&=\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ }).\end{aligned}}}$

Tomando raíces cúbicas y sumando o restando las ecuaciones, tenemos: ^[16]

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos(1^{\circ })&=\;{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}+{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right),\\[5mu]\sin(1^{\circ })&={\frac {1}{2i}}\left({\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })+i\sin(3^{\circ })}}-{\sqrt[{3}]{\cos(3^{\circ })-i\sin(3^{\circ })}}\right).\end{aligned}}}$

Véase también

• Rectángulo de Ailles , utilizado para encontrar valores exactos para múltiplos de 15°
• Lista de identidades trigonométricas

Referencias

1. Abramowitz y Stegun 1972, pág. 74, 4.3.46
2. Niven, Ivan. Números: racionales e irracionales , 1961. Random House. New Mathematical Library , vol. 1. ISSN  0548-5932. Cap. 5
3. Lehmer, DH (1933). "Una nota sobre números algebraicos trigonométricos". The American Mathematical Monthly . 40 (3): 165–166. doi :10.2307/2301023. JSTOR  2301023.
4. Burger, Edward B.; Tubbs, Robert (17 de abril de 2013). Hacer transparente la trascendencia: un enfoque intuitivo de la teoría clásica de números trascendentales. Springer Science & Business Media. pág. 44. ISBN 978-1-4757-4114-8.
5. Schaumberger, Norman (1974). "Un teorema de aula sobre irracionalidades trigonométricas". Revista de matemáticas de dos años universitarios . 5 (1): 73–76. doi :10.2307/3026991. JSTOR  3026991.
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7. Martin, George E. (1998), Construcciones geométricas , Textos de pregrado en matemáticas, Springer-Verlag, Nueva York, pág. 46, doi :10.1007/978-1-4612-0629-3, ISBN 0-387-98276-0, Sr.  1483895
8. Fraleigh, John B. (1994), Un primer curso de álgebra abstracta (5ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-201-53467-2, Sr.  0225619
9. "Valor exacto del pecado 18°". math-only-math .
10. Weiß, Adam (1851). Handbuch Der Trigonometrie (en alemán). JL Schmid. págs. 72–74.
11. Durbha, Subramanyam (2012). "Un método geométrico para hallar las razones trigonométricas de 22 ½° y 75°". Matemáticas en la escuela . 41 (3): 22–23. JSTOR  23269221.
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14. Callagy, James J. "El ángulo central del 17-gono regular", Mathematical Gazette 67, diciembre de 1983, 290–292.
15. Parent, James T. (junio de 2011). "Valores exactos para el seno de todos los números enteros" (PDF) . Matemáticas interactivas . Consultado el 5 de febrero de 2024 .
16. Kowalski, Travis (noviembre de 2016). "El seno de un solo grado" (PDF) . The College Mathematics Journal . 47 (5): 322–332. doi :10.4169/college.math.j.47.5.322. S2CID  125810699.

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