El triacontaedro rómbico , a veces llamado simplemente triacontaedro ya que es el poliedro de treinta caras más común , es un poliedro convexo con 30 caras rómbicas . Tiene 60 aristas y 32 vértices de dos tipos. Es un sólido catalán , y el poliedro dual del icosidodecaedro . Es un zonohedro .
La relación entre la diagonal larga y la diagonal corta de cada cara es exactamente igual a la proporción áurea , φ , de modo que los ángulos agudos de cada cara miden 2 arctan ( 1/φ ) = arctan(2) , o aproximadamente 63,43°. Un rombo así obtenido se llama rombo áureo .
Al ser el dual de un sólido arquimediano , el triacontaedro rómbico es transitivo en sus caras , es decir, el grupo de simetría del sólido actúa transitivamente sobre el conjunto de caras. Esto significa que para dos caras cualesquiera, A y B , hay una rotación o reflexión del sólido que lo deja ocupando la misma región del espacio mientras se mueve la cara A a la cara B.
El triacontaedro rómbico es algo especial por ser uno de los nueve poliedros convexos transitivos de aristas , siendo los otros los cinco sólidos platónicos , el cuboctaedro , el icosidodecaedro y el dodecaedro rómbico .
El triacontaedro rómbico también es interesante porque sus vértices incluyen la disposición de cuatro sólidos platónicos. Contiene diez tetraedros , cinco cubos , un icosaedro y un dodecaedro . Los centros de las caras contienen cinco octaedros .
Se puede realizar a partir de un octaedro truncado dividiendo las caras hexagonales en tres rombos:
Sea φ la proporción áurea . Los 12 puntos dados por (0, ±1, ± φ ) y permutaciones cíclicas de estas coordenadas son los vértices de un icosaedro regular . Su dodecaedro regular dual , cuyas aristas intersecan las del icosaedro en ángulos rectos, tiene como vértices los 8 puntos (±1, ±1, ±1) junto con los 12 puntos (0, ± φ , ± 1/φ ) y permutaciones cíclicas de estas coordenadas. Los 32 puntos juntos son los vértices de un triacontaedro rómbico centrado en el origen. La longitud de sus aristas es √ 3 – φ ≈1.175 570 504 58 . Sus caras tienen diagonales con longitudes 2 y 2/φ .
Si la longitud de la arista de un triacontaedro rómbico es a , el área de la superficie, el volumen, el radio de una esfera inscrita ( tangente a cada una de las caras del triacontaedro rómbico) y el radio medio, que toca el medio de cada arista son: [1]
donde φ es la proporción áurea .
La esfera interna es tangente a las caras en sus centros de gravedad. Las diagonales cortas pertenecen únicamente a las aristas del dodecaedro regular inscrito, mientras que las diagonales largas están incluidas únicamente en las aristas del icosaedro inscrito.
El triacontaedro rómbico se puede diseccionar en 20 romboedros áureos : 10 agudos y 10 obtusos. [2] [3]
El triacontaedro rómbico tiene cuatro posiciones de simetría, dos centradas en los vértices, una en la mitad de la cara y otra en la mitad de la arista. En la proyección "10" se encuentran el rombo "grueso" y el rombo "delgado", que se unen para producir la teselación no periódica a la que a menudo se denomina teselación de Penrose .
El triacontaedro rómbico tiene 227 estelaciones totalmente sostenidas. [4] [5] Otra estelación del triacontaedro rómbico es la compuesta de cinco cubos . El número total de estelaciones del triacontaedro rómbico es358 833 097 .
Este poliedro es parte de una secuencia de poliedros rómbicos y teselas con simetría de grupo de Coxeter [ n , 3] . El cubo puede verse como un hexaedro rómbico donde los rombos también son rectángulos.
El diseñador danés Holger Strøm utilizó el triacontaedro rómbico como base para el diseño de su lámpara construible IQ-light (IQ abreviatura de "cuadriláteros entrelazados").
La carpintera Jane Kostick construye cajas con la forma de un triacontaedro rómbico. [6] La construcción simple se basa en la relación menos que obvia entre el triacontaedro rómbico y el cubo.
La "Ball of Whacks" de Roger von Oech tiene la forma de un triacontaedro rómbico.
El triacontaedro rómbico se utiliza como el dado de treinta caras " d30 ", a veces útil en algunos juegos de rol u otros lugares.
![{\displaystyle {\begin{aligned}S&=12{\sqrt {5}}\,a^{2}&&\aprox 26,8328a^{2}\\[6px]V&=4{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,a^{3}&&\aprox 12,3107a^{3}\\[6px]r_{\mathrm {i} }&={\frac {\varphi ^{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}}\,a={\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}\,a&&\aprox 1,37638a\\[6px]r_{\mathrm {m} }&=\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\derecha)\,a&&\aproximadamente 1,44721a\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40d1fe31ccbe520b183e621744df557216cfc9bb)
/File:Rhombic_tricontahedron_cube_tetrahedron.gif){kind=link}
/File:Rhombic_tricontahedron_icosahedron_dodecahedron.gif){kind=link}