Contracción tensorial

Operación en matemáticas y física.

En álgebra multilineal , una contracción tensorial es una operación sobre un tensor que surge del emparejamiento canónico de un espacio vectorial y su dual . En componentes, se expresa como una suma de productos de componentes escalares de los tensores causados ​​al aplicar la convención de suma a un par de índices ficticios que están unidos entre sí en una expresión. La contracción de un único tensor mixto ocurre cuando un par de índices literales (uno como subíndice y el otro como superíndice) del tensor se igualan entre sí y se suman. En la notación de Einstein, esta suma está integrada en la notación. El resultado es otro tensor con orden reducido en 2.

La contracción tensorial puede verse como una generalización de la traza .

formulación abstracta

Sea V un espacio vectorial sobre un campo k . El núcleo de la operación de contracción, y el caso más simple, es el emparejamiento canónico de V con su espacio vectorial dual V ^∗ . El emparejamiento es el mapa lineal del producto tensorial de estos dos espacios al campo k :

${\displaystyle C:V\otimes V^{*}\rightarrow k}$

correspondiente a la forma bilineal

${\displaystyle \langle v,f\rangle =f(v)}$

donde f está en V ^∗ y v está en V . El mapa C define la operación de contracción en un tensor de tipo (1, 1) , que es un elemento de . Tenga en cuenta que el resultado es un escalar (un elemento de k ). En dimensiones finitas , utilizando el isomorfismo natural entre y el espacio del mapa lineal de V a V , ^{[1] se obtiene una definición de la} traza sin bases . ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$ ${\displaystyle V\otimes V^{*}}$

En general, un tensor de tipo ( m , n ) (con m ≥ 1 y n ≥ 1 ) es un elemento del espacio vectorial

${\displaystyle V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}}$

(donde hay m factores V yn factores V ∗ ⁾ . ^{[2] [3]} Aplicando el emparejamiento canónico al k ésimo factor V y al l ésimo factor V ^∗ , y usando la identidad en todos los demás factores, se define la operación de contracción ( k , l ), ​​que es un mapa lineal que produce un tensor de tipo ( m − 1, n − 1) . ^[2] Por analogía con el caso (1, 1) , la operación de contracción general a veces se denomina traza.

Contracción en notación de índice

En notación de índice tensorial , la contracción básica de un vector y un vector dual se denota por

${\displaystyle {\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma },}$

que es una abreviatura de la suma de coordenadas explícita ^[4]

${\displaystyle f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}}$

(donde v ⁱ son los componentes de v en una base particular y f _i son los componentes de f en la base dual correspondiente).

Dado que un tensor diádico mixto general es una combinación lineal de tensores descomponibles de la forma , la fórmula explícita para el caso diádico es la siguiente: ${\displaystyle f\otimes v}$

${\displaystyle \mathbf {T} =T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

ser un tensor diádico mixto. Entonces su contracción es

${\displaystyle T_{j}^{i}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}=T_{j}^{i}\delta _{i}{}^{j}=T_{j}^{j}=T_{1}^{1}+\cdots +T_{n}^{n}}$.

Una contracción general se denota etiquetando un índice covariante y un índice contravariante con la misma letra, la suma sobre ese índice está implícita en la convención de suma . El tensor contraído resultante hereda los índices restantes del tensor original. Por ejemplo, contraer un tensor T de tipo (2,2) en el segundo y tercer índice para crear un nuevo tensor U de tipo (1,1) se escribe como

${\displaystyle T^{ab}{}_{bc}=\sum _{b}{T^{ab}{}_{bc}}=T^{a1}{}_{1c}+T^{a2}{}_{2c}+\cdots +T^{an}{}_{nc}=U^{a}{}_{c}.}$

Por el contrario, dejemos

${\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}}$

ser un tensor diádico no mezclado. Este tensor no se contrae; si sus vectores base están punteados, ^{[ se necesita aclaración ]} el resultado es el tensor métrico contravariante ,

${\displaystyle g^{ij}=\mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} ^{j}}$,

cuyo rango es 2.

Contracción métrica

Como en el ejemplo anterior, en general no es posible la contracción de un par de índices que son ambos contravariantes o ambos covariantes. Sin embargo, en presencia de un producto interno (también conocido como métrica ) g , tales contracciones son posibles. Se utiliza la métrica para subir o bajar uno de los índices, según sea necesario, y luego se utiliza la operación habitual de contracción. La operación combinada se conoce como contracción métrica . ^[5]

Aplicación a campos tensoriales

La contracción se aplica a menudo a campos tensoriales sobre espacios (p. ej., espacio euclidiano , variedades o esquemas ^{[ cita necesaria ]} ). Dado que la contracción es una operación puramente algebraica, se puede aplicar puntualmente a un campo tensorial, por ejemplo, si T es un campo tensorial (1,1) en el espacio euclidiano, entonces, en cualquier coordenada, su contracción (un campo escalar) U en un punto x está dada por

${\displaystyle U(x)=\sum _{i}T_{i}^{i}(x)}$

Dado que el papel de x no es complicado aquí, a menudo se suprime y la notación para campos tensoriales se vuelve idéntica a la de los tensores puramente algebraicos.

Sobre una variedad de Riemann , está disponible una métrica (campo de productos internos), y tanto las contracciones métricas como las no métricas son cruciales para la teoría. Por ejemplo, el tensor de Ricci es una contracción no métrica del tensor de curvatura de Riemann , y la curvatura escalar es la contracción métrica única del tensor de Ricci.

También se puede ver la contracción de un campo tensor en el contexto de módulos sobre un anillo apropiado de funciones en la variedad ^[5] o el contexto de haces de módulos sobre la estructura; ^[6] consulte la discusión al final de este artículo.

Divergencia tensorial

Como aplicación de la contracción de un campo tensor, sea V un campo vectorial en una variedad de Riemann (por ejemplo, el espacio euclidiano ). Sea la derivada covariante de V (en alguna elección de coordenadas). En el caso de coordenadas cartesianas en el espacio euclidiano, se puede escribir ${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }}$

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\beta }={\partial V^{\alpha } \over \partial x^{\beta }}.}$

Luego, cambiar el índice β a α hace que el par de índices quede vinculado entre sí, de modo que el derivado se contrae consigo mismo para obtener la siguiente suma:

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{\alpha }=V^{0}{}_{0}+\cdots +V^{n}{}_{n},}$

que es la divergencia div V . Entonces

${\displaystyle \operatorname {div} V=V^{\alpha }{}_{\alpha }=0}$

es una ecuación de continuidad para V .

En general, se pueden definir varias operaciones de divergencia en campos tensoriales de rango superior , de la siguiente manera. Si T es un campo tensorial con al menos un índice contravariante, tomar el diferencial covariante y contraer el índice contravariante elegido con el nuevo índice covariante correspondiente al diferencial da como resultado un nuevo tensor de rango uno inferior al de T. ^[5]

Contracción de un par de tensores.

Se puede generalizar la operación de contracción central (vector con vector dual) de una manera ligeramente diferente, considerando un par de tensores T y U. El producto tensorial es un nuevo tensor que, si tiene al menos un índice covariante y un índice contravariante, se puede contraer. El caso en el que T es un vector y U es un vector dual es exactamente la operación principal presentada primero en este artículo. ${\displaystyle T\otimes U}$

En notación de índice tensorial, para contraer dos tensores entre sí, se colocan uno al lado del otro (yuxtapuestos) como factores del mismo término. Esto implementa el producto tensorial, produciendo un tensor compuesto. La contracción de dos índices en este tensor compuesto implementa la contracción deseada de los dos tensores.

Por ejemplo, las matrices se pueden representar como tensores de tipo (1,1), siendo el primer índice contravariante y el segundo covariante. Sean los componentes de una matriz y sean los componentes de una segunda matriz. Entonces su multiplicación viene dada por la siguiente contracción, un ejemplo de contracción de un par de tensores: ${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }}$ ${\displaystyle \mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }}$

${\displaystyle \Lambda ^{\alpha }{}_{\beta }\mathrm {M} ^{\beta }{}_{\gamma }=\mathrm {N} ^{\alpha }{}_{\gamma }}$.

Además, el producto interior de un vector con forma diferencial es un caso especial de contracción de dos tensores entre sí.

Contextos algebraicos más generales

Sea R un anillo conmutativo y sea M un módulo libre finito sobre R. Entonces la contracción opera en el álgebra tensorial completa (mixta) de M exactamente de la misma manera que en el caso de espacios vectoriales sobre un campo. (El hecho clave es que el emparejamiento canónico sigue siendo perfecto en este caso).

De manera más general, sea O _X un haz de anillos conmutativos sobre un espacio topológico X , por ejemplo, O _X podría ser el haz estructural de una variedad compleja , un espacio analítico o un esquema . Sea M un haz de módulos localmente libre sobre O _X de rango finito. Entonces el dual de M todavía se comporta bien ^[6] y las operaciones de contracción tienen sentido en este contexto.

Ver también

• Producto tensorial
• rastro parcial
• Producto interior
• Subir y bajar índices
• Isomorfismo musical
• cálculo de ricci

Notas

1. Sea L( V , V ) el espacio de aplicaciones lineales de V a V . Entonces el mapa natural

   ${\displaystyle V^{*}\otimes V\rightarrow L(V,V)}$

   es definido por

   ${\displaystyle f\otimes v\mapsto g,}$

   donde gramo ( w ) = f ( w ) v . Supongamos que V es de dimensión finita. Si { v _i } es una base de V y { f ⁱ } es la base dual correspondiente, entonces se asigna a la transformación cuya matriz en esta base tiene solo una entrada distinta de cero, un 1 en la posición i , j . Esto muestra que el mapa es un isomorfismo. ${\displaystyle f^{i}\otimes v_{j}}$
2. Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación: un primer curso . GTM . vol. 129. Nueva York: Springer. págs. 471–476. ISBN 0-387-97495-4.
3. Warner, Frank (1993). Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de mentiras . GTM . vol. 94. Nueva York: Springer. págs. 54–56. ISBN 0-387-90894-3.
4. En física (y a veces en matemáticas), los índices suelen comenzar con cero en lugar de uno. En el espacio-tiempo de cuatro dimensiones, los índices van de 0 a 3.
5. O'Neill, Barrett (1983). Geometría semiriemanniana con aplicaciones a la relatividad . Prensa académica. pag. 86.ISBN​ 0-12-526740-1.
6. Hartshorne, Robin (1977). Geometría Algebraica . Nueva York: Springer. ISBN 0-387-90244-9.

Referencias

• Obispo, Richard L .; Goldberg, Samuel I. (1980). Análisis tensorial en variedades . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-64039-6.
• Menzel, Donald H. (1961). Física Matemática . Nueva York: Dover. ISBN 0-486-60056-4.