Operador de traducción (mecánica cuántica)

Operador que desplaza partículas y campos en una determinada cantidad en una determinada dirección

En mecánica cuántica , un operador de traslación se define como un operador que desplaza partículas y campos en una determinada cantidad en una determinada dirección. Es un caso especial del operador de desplazamiento del análisis funcional.

Más específicamente, para cualquier vector de desplazamiento , existe un operador de traducción correspondiente que desplaza partículas y campos en la cantidad . ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Por ejemplo, si actúa sobre una partícula ubicada en la posición , el resultado es una partícula en la posición . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$

Los operadores de traducción son unitarios .

Los operadores de traslación están estrechamente relacionados con el operador de momento ; por ejemplo, un operador de traslación que se mueve en una cantidad infinitesimal en la dirección tiene una relación simple con el componente del operador de momento. Debido a esta relación, la conservación del momento se cumple cuando los operadores de traslación conmutan con el hamiltoniano, es decir, cuando las leyes de la física son invariantes con respecto a la traslación. Este es un ejemplo del teorema de Noether . ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$

Acción sobre los elementos propios de posición y las funciones de onda

El operador de traslación mueve partículas y campos en la cantidad . Por lo tanto, si una partícula está en un estado propio del operador de posición (es decir, ubicada precisamente en la posición ), entonces después de actuar sobre ella, la partícula está en la posición : ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int \!d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$ ${\displaystyle \mathbf {r} +\mathbf {x} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle .}$$

Una forma alternativa (y equivalente) de describir lo que determina el operador de traducción se basa en funciones de onda en el espacio de posición . Si una partícula tiene una función de onda en el espacio de posición y actúa sobre la partícula, la nueva función de onda en el espacio de posición se define mediante ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).}$$

Esta relación es más fácil de recordar, ya que puede leerse como: "El valor de la nueva función de onda en el nuevo punto es igual al valor de la antigua función de onda en el antiguo punto". ^[1] ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} +\mathbf {x} )=\psi (\mathbf {r} ),}$

Aquí hay un ejemplo que muestra que estas dos descripciones son equivalentes. El estado corresponde a la función de onda (donde es la función delta de Dirac ), mientras que el estado corresponde a la función de onda. De hecho, estas satisfacen ${\displaystyle |\mathbf {a} \rangle }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {a} \rangle =|\mathbf {a} +\mathbf {x} \rangle }$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\delta (\mathbf {r} -(\mathbf {a} +\mathbf {x} )).}$ ${\displaystyle \psi '(\mathbf {r} )=\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} ).}$

El momentum como generador de traducciones

En física introductoria, el momento suele definirse como masa por velocidad. Sin embargo, existe una forma más fundamental de definir el momento, en términos de operadores de traslación. Esto se denomina más específicamente momento canónico , y suele ser igual, aunque no siempre, a masa por velocidad; un contraejemplo es una partícula cargada en un campo magnético. ^[1] Esta definición de momento es especialmente importante porque la ley de conservación del momento se aplica solo al momento canónico, y no es universalmente válida si el momento se define en cambio como masa por velocidad (el llamado "momento cinético"), por las razones que se explican a continuación.

El operador de momento (canónico) se define como el gradiente de los operadores de traslación cerca del origen:

${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =i\hbar \left(\nabla {\hat {T}}(\mathbf {x} )\right)_{{\text{at }}\mathbf {x} =\mathbf {0} }}$

¿Dónde está la constante de Planck reducida ? Por ejemplo, ¿cuál es el resultado cuando el operador actúa sobre un estado cuántico? Para encontrar la respuesta, traslada el estado por una cantidad infinitesimal en la dirección y calcula la tasa a la que cambia el estado y multiplícala por . Por ejemplo, si un estado no cambia en absoluto cuando se traslada en la dirección , entonces su componente de momento es 0. ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i\hbar }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Más explícitamente, es un operador vectorial (es decir, un vector que consta de tres operadores ), definido por: donde es el operador identidad y es el vector unitario en la dirección -. ( se definen de forma análoga). ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle ({\hat {p}}_{x},{\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z})}$ $${\displaystyle {\hat {p}}_{x}=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {{\hat {T}}(a\mathbf {\hat {x}} )-{\hat {\mathbb {I} }}}{a}}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\hat {p}}_{y},{\hat {p}}_{z}}$

La ecuación anterior es la definición más general de . En el caso especial de una partícula individual con función de onda , se puede escribir en una forma más específica y útil. En una dimensión: o en tres dimensiones, como un operador que actúa sobre funciones de onda en el espacio de posición. Esta es la expresión mecánica cuántica familiar para , pero la hemos derivado aquí desde un punto de partida más básico. ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}({\hat {p}}\psi )(r)&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {({\hat {T}}(a)\psi )(r)-\psi (r)}{a}}\\&=i\hbar \lim _{a\to 0}{\frac {\psi (r-a)-\psi (r)}{a}}\\&=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial r}}\psi (r)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla }$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$

Ahora hemos definido en términos de operadores de traducción. También es posible escribir un operador de traducción como una función de . El método consiste en expresar una traducción dada como un gran número de traducciones diminutas consecutivas y luego usar el hecho de que las traducciones infinitesimales se pueden escribir en términos de : lo que da la expresión final: ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}(\mathbf {x} )&=\lim _{N\to \infty }({\hat {T}}(\mathbf {x} /N))^{N}\\&=\lim _{N\to \infty }\left[1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{N\hbar }}\right]^{N}\end{aligned}}}$$

${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)=1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}-{\frac {(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{2}}{2\hbar ^{2}}}+{\frac {i(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{3}}{6\hbar ^{3}}}+\cdots }$

donde es el operador exponencial y el lado derecho es la expansión de la serie de Taylor . Para valores muy pequeños , se puede utilizar la aproximación: ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\approx 1-i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} /\hbar }$$

Por lo tanto, el operador de momento se denomina generador de la traslación . ^[2]

Una buena manera de comprobar que estas relaciones son correctas es hacer una expansión de Taylor del operador de traslación que actúa sobre una función de onda en el espacio de posiciones. Al expandir la exponencial a todos los órdenes, el operador de traslación genera exactamente la expansión de Taylor completa de una función de prueba: Por lo tanto, cada operador de traslación genera exactamente la traslación esperada en una función de prueba si la función es analítica en algún dominio del plano complejo. $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r} -\mathbf {x} )&={\hat {T}}(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {r} )\\&=\exp \left(-{\frac {i\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{\hbar }}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-{\frac {i}{\hbar }}\mathbf {x} \cdot \mathbf {\hat {p}} )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{n}\right)\psi (\mathbf {r} )\\&=\psi (\mathbf {r} )-\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } \psi (\mathbf {r} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {\nabla } )^{2}\psi (\mathbf {r} )-\dots \end{aligned}}}$$

Propiedades

Traducciones sucesivas

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$$

En otras palabras, si las partículas y los campos se mueven en la cantidad y luego en la cantidad , en total se han movido en la cantidad . Para una prueba matemática, se puede observar lo que estos operadores hacen a una partícula en un estado propio de posición: Dado que los operadores y tienen el mismo efecto en cada estado de una base propia, se deduce que los operadores son iguales. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}}$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})|\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})|\mathbf {r} \rangle }$$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2})}$

Inverso

Los operadores de traducción son invertibles y sus inversos son: $${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$$

Esto se desprende de la propiedad de "traducciones sucesivas" mencionada anteriormente y del hecho de que , es decir, una traducción de una distancia de 0 es lo mismo que el operador de identidad que deja todos los estados sin cambios. ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {0} )={\hat {\mathbb {I} }}}$

Los operadores de traducción conmutan entre sí

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {T}}(\mathbf {y} )={\hat {T}}(\mathbf {y} ){\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$porque ambos lados son iguales a . ^[1] ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} +\mathbf {y} )}$

Los operadores de traducción son unitarios

Si y son dos funciones de onda en el espacio de posiciones, entonces el producto interno de con es: mientras que el producto interno de con es: Por cambio de variables, estos dos productos internos son exactamente iguales. Por lo tanto, los operadores de traslación son unitarios y, en particular: ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} )\phi (\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )\psi }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )\phi }$ $${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {r} \,\psi ^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {a} )\phi (\mathbf {r} -\mathbf {a} )}$$ $${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}.}$$

El hecho de que los operadores de traducción sean unitarios implica que el operador de momento es hermítico . ^[1]

Operador de traducción operando un sujetador

Un operador de traducción que opera sobre un sujetador en la posición base propia da: ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\int d\mathbf {r} ~|\mathbf {r+x} \rangle \langle \mathbf {r} |}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$$

Prueba

$${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle =|\mathbf {r} +\mathbf {x} \rangle }$$Su expresión adjunta es: Utilizando los resultados anteriores, : Reemplazando por , $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$$ ${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }=({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}={\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(-\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} +\mathbf {x} |}$$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle -\mathbf {x} }$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {r} -\mathbf {x} |}$$

Dividir una traducción en sus componentes

De acuerdo con la propiedad de "traducciones sucesivas" anterior, una traducción del vector se puede escribir como el producto de traducciones en las direcciones componentes: donde son vectores unitarios. ${\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )={\hat {T}}(x\mathbf {\hat {x}} )\,{\hat {T}}(y\mathbf {\hat {y}} )\,{\hat {T}}(z\mathbf {\hat {z}} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} }$

Conmutador con operador de posición

Supongamos que es un vector propio del operador de posición con valor propio . Tenemos mientras ${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} |\mathbf {r} \rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\mathbf {r} |\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$ $${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )|\mathbf {r} \rangle ={\hat {\mathbf {r} }}|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle =(\mathbf {x} +\mathbf {r} )|\mathbf {x} +\mathbf {r} \rangle }$$

Por lo tanto, el conmutador entre un operador de traducción y el operador de posición es: Esto también se puede escribir (usando las propiedades anteriores) como: donde es el operador identidad . $${\displaystyle [\mathbf {\hat {r}} ,{\hat {T}}(\mathbf {x} )]\equiv \mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )-{\hat {T}}(\mathbf {x} )\mathbf {\hat {r}} =\mathbf {x} {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$ $${\displaystyle ({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {\hat {r}} {\hat {T}}(\mathbf {x} )=\mathbf {\hat {r}} +\mathbf {x} {\hat {\mathbb {I} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

Conmutador con operador de momento

Dado que todos los operadores de traducción conmutan entre sí (ver arriba), y dado que cada componente del operador de momento es una suma de dos operadores de traducción escalados (por ejemplo, ), se deduce que todos los operadores de traducción conmutan con el operador de momento, es decir, esta conmutación con el operador de momento es válida en general incluso si el sistema no está aislado, donde la energía o el momento pueden no conservarse. ${\displaystyle {\hat {p}}_{y}=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {i\hbar }{\varepsilon }}\left({\hat {T}}((0,\varepsilon ,0))-{\hat {T}}((0,0,0))\right)}$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} ){\hat {\mathbf {p} }}={\hat {\mathbf {p} }}{\hat {T}}(\mathbf {x} )}$$

Grupo de traducción

El conjunto de operadores de traducción para todos los , con la operación de multiplicación definida como el resultado de traducciones sucesivas (es decir, composición de funciones ), satisface todos los axiomas de un grupo : ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Cierre

Cuando se realizan dos traducciones consecutivas, el resultado es una única traducción diferente (consulte la propiedad "traducciones sucesivas" más arriba).

Existencia de identidad

Una traslación del vector es el operador identidad , es decir, el operador que no tiene efecto sobre nada. Funciona como el elemento identidad del grupo. ${\displaystyle \mathbf {0} }$

Cada elemento tiene una inversa

Como se demostró anteriormente, cualquier operador de traducción es el inverso de la traducción inversa . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(-\mathbf {x} )}$

Asociatividad

Esta es la afirmación de que . Es verdadera por definición, como es el caso de cualquier grupo basado en la composición de funciones . ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} _{1})\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{2}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})\right)=\left({\hat {T}}(\mathbf {x} _{1}){\hat {T}}(\mathbf {x} _{2})\right){\hat {T}}(\mathbf {x} _{3})}$

Por lo tanto, el conjunto de operadores de traducción para todos forma un grupo . ^[3] Como hay un número infinito de elementos, el grupo de traducción es un grupo continuo. Además, los operadores de traducción conmutan entre sí, es decir, el producto de dos traducciones (una traducción seguida de otra) no depende de su orden. Por lo tanto, el grupo de traducción es un grupo abeliano . ^[4] ${\displaystyle {\mathfrak {T}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

El grupo de traducción que actúa en el espacio de Hilbert de estados propios de posición es isomorfo al grupo de adiciones vectoriales en el espacio euclidiano .

Valores esperados de posición y momento en el estado traducido

Consideremos una partícula individual en una dimensión. A diferencia de la mecánica clásica , en la mecánica cuántica una partícula no tiene ni una posición bien definida ni un momento bien definido. En la formulación cuántica, los valores esperados ^[5] desempeñan el papel de las variables clásicas. Por ejemplo, si una partícula está en un estado , entonces el valor esperado de la posición es , donde es el operador de posición. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \psi |\mathbf {\hat {r}} |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$

Si un operador de traducción actúa sobre el estado , creando un nuevo estado , entonces el valor esperado de la posición para es igual al valor esperado de la posición para más el vector . Este resultado es consistente con lo que se esperaría de una operación que desplaza la partícula en esa cantidad. ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

Prueba de que un operador de traducción cambia el valor esperado de la posición de la manera esperada

Supongamos lo indicado anteriormente, utilizando la condición de normalización y el resultado del conmutador demostrado en una sección anterior. ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle ={\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle \psi _{2}|{\hat {\mathbf {r} }}|\psi _{2}\rangle &=(\langle \psi |({\hat {T}}(\mathbf {x} ))^{\dagger }){\hat {\mathbf {r} }}({\hat {T}}(\mathbf {x} )|\psi \rangle )\\&=\langle \psi |{\hat {\mathbf {r} }}|\psi \rangle +\mathbf {x} \end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$

Por otra parte, cuando el operador de traslación actúa sobre un estado, el valor esperado del momento no cambia. Esto se puede demostrar de forma similar a lo anterior, pero utilizando el hecho de que los operadores de traslación conmutan con el operador de momento. Este resultado es nuevamente consistente con las expectativas: trasladar una partícula no cambia su velocidad ni su masa, por lo que su momento no debería cambiar.

Invariancia traslacional

En mecánica cuántica, el hamiltoniano representa la energía y la dinámica de un sistema. Sea un estado recién traducido (el argumento de es irrelevante aquí y se omite temporalmente por brevedad). Se dice que un hamiltoniano es invariante si o Esto implica que ${\displaystyle |\mathbf {r} _{T}\rangle \equiv {\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle }$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} _{T}|{\hat {H}}|\mathbf {r} _{T}\rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$$ $${\displaystyle \langle \mathbf {r} |{\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}|\mathbf {r} \rangle =\langle \mathbf {r} |{\hat {H}}|\mathbf {r} \rangle }$$ $${\displaystyle {\hat {T}}^{-1}{\hat {H}}{\hat {T}}={\hat {H}}}$$ $${\displaystyle {\hat {H}}{\hat {T}}-{\hat {T}}{\hat {H}}=[{\hat {H}},{\hat {T}}]=0}$$

Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante bajo la traslación, el hamiltoniano conmuta con el operador de traslación (en términos generales, si traducimos el sistema, luego medimos su energía y luego lo traducimos de nuevo, equivale a medir su energía directamente).

Simetría traslacional continua

En primer lugar, consideramos el caso en el que todos los operadores de traslación son simetrías del sistema. Como veremos, en este caso se produce la conservación del momento .

Por ejemplo, si es el hamiltoniano que describe todas las partículas y campos del universo, y es el operador de traslación que desplaza todas las partículas y campos del universo simultáneamente en la misma cantidad, entonces siempre se trata de una simetría: describe las leyes completas de la física en nuestro universo, que son independientes de la ubicación. En consecuencia, la conservación del momento es universalmente válida. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$

Por otra parte, tal vez y se refieran a una sola partícula. En ese caso, los operadores de traslación son simetrías exactas solo si la partícula está sola en el vacío. En consecuencia, el momento de una sola partícula no suele conservarse (cambia cuando la partícula choca con otros objetos), pero sí se conserva si la partícula está sola en el vacío. ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$

Dado que el hamiltoniano conmuta con el operador de traslación cuando la traslación es invariante , también conmuta con el operador de traslación infinitesimal. En resumen, siempre que el hamiltoniano de un sistema permanece invariante bajo una traslación continua, entonces el sistema tiene conservación del momento , lo que significa que el valor esperado del operador de momento permanece constante. Este es un ejemplo del teorema de Noether . $${\displaystyle \left[{\hat {H}},{\hat {T}}(\mathbf {x} )\right]=0\,,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left[{\hat {H}},1-{\frac {i\mathbf {x} \cdot {\hat {\mathbf {p} }}}{N\hbar }}\right]=0\\&\Rightarrow [{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\\&\Rightarrow {\frac {d}{dt}}\langle {\hat {\mathbf {p} }}\rangle ={\frac {i}{\hbar }}[{\hat {H}},{\hat {\mathbf {p} }}]=0\end{aligned}}}$$

Simetría traslacional discreta

Existe otro caso especial en el que el hamiltoniano puede ser invariante en la traslación. Este tipo de simetría traslacional se observa siempre que el potencial es periódico : ^[6] En general, el hamiltoniano no es invariante bajo ninguna traslación representada por con arbitrario, donde tiene la propiedad: y, (donde es el operador identidad ; vea la prueba anterior). $${\displaystyle V(r_{j}\pm a)=V(r_{j})}$$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})}$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{j}(x_{j})|r_{j}\rangle =|r_{j}+x_{j}\rangle }$$ $${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(x_{j}))^{\dagger }{\hat {r}}_{j}{\hat {T}}_{j}(x_{j})={\hat {r}}_{j}+x_{j}{\hat {\mathbb {I} }}}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}}$

Pero, siempre que coincide con el periodo del potencial , Puesto que la parte de energía cinética del hamiltoniano ya es invariante bajo cualquier traslación arbitraria, al ser una función de , todo el hamiltoniano satisface, Ahora, el hamiltoniano conmuta con el operador de traslación, es decir, pueden diagonalizarse simultáneamente . Por lo tanto, el hamiltoniano es invariante bajo dicha traslación (que ya no permanece continua). La traslación se vuelve discreta con el periodo del potencial. ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }V({\hat {r}}_{j}){\hat {T}}_{j}(a)=V({\hat {r}}_{j}+a{\hat {\mathbb {I} }})=V({\hat {r}}_{j})}$$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \mathbf {\hat {p}} }$ $${\displaystyle ({\hat {T}}_{j}(a))^{\dagger }{\hat {H}}{\hat {T}}_{j}(a)={\hat {H}}}$$

Traslación discreta en potencial periódico: teorema de Bloch

Los iones de un cristal perfecto están dispuestos en una disposición periódica regular. Así llegamos al problema de un electrón en un potencial con la periodicidad de la red de Bravais subyacente para todos los vectores de la red de Bravais. ${\displaystyle V(\mathbf {r} )}$ $${\displaystyle V(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=V(\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Sin embargo, la periodicidad perfecta es una idealización. Los sólidos reales nunca son absolutamente puros, y en la vecindad de los átomos de impurezas el sólido no es el mismo que en el resto del cristal. Además, los iones no son de hecho estacionarios, sino que sufren continuamente vibraciones térmicas alrededor de sus posiciones de equilibrio. Estas vibraciones destruyen la simetría traslacional perfecta de un cristal. Para tratar este tipo de problemas, el problema principal se divide artificialmente en dos partes: (a) el cristal perfecto ficticio ideal, en el que el potencial es genuinamente periódico, y (b) los efectos sobre las propiedades de un cristal perfecto hipotético de todas las desviaciones de la periodicidad perfecta, tratadas como pequeñas perturbaciones.

Aunque el problema de los electrones en un sólido es en principio un problema de muchos electrones, en la aproximación de electrones independientes cada electrón está sujeto a la ecuación de Schrödinger de un electrón con un potencial periódico y se conoce como electrón de Bloch ^[7] (en contraste con las partículas libres , a las que los electrones de Bloch se reducen cuando el potencial periódico es idénticamente cero).

Para cada vector de red de Bravais definimos un operador de traslación que, al operar sobre cualquier función, desplaza el argumento en : Dado que todas las traslaciones forman un grupo abeliano, el resultado de aplicar dos traslaciones sucesivas no depende del orden en que se aplican, es decir Además, como el hamiltoniano es periódico, tenemos, Por lo tanto, para todos los vectores de red de Bravais y el hamiltoniano forman un conjunto de operadores conmutativos . Por lo tanto, los estados propios de pueden elegirse para que sean estados propios simultáneos de todos los : ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }f(\mathbf {r} )=f(\mathbf {r} +\mathbf {R} )}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }{\hat {H}}={\hat {H}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ $${\displaystyle {\hat {H}}\psi ={\mathcal {E}}\psi }$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi =c(\mathbf {R} )\psi }$$

Los valores propios de los operadores de traducción están relacionados debido a la condición: Tenemos, Y, Por lo tanto, se deduce que, Ahora sean los tres vectores primitivos para la red de Bravais. Mediante una elección adecuada de , siempre podemos escribir en la forma Si es un vector general de la red de Bravais, dado por se deduce entonces, Sustituyendo se obtiene, donde y los son los vectores recíprocos de la red que satisfacen la ecuación ${\displaystyle c(\mathbf {R} )}$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}={\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{1}}{\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi &=c(\mathbf {R} _{1}){\hat {T}}_{\mathbf {R} _{2}}\psi \\&=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})\psi \end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R_{1}+R_{2}} }\psi =c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})\psi }$$ $${\displaystyle c(\mathbf {R} _{1}+\mathbf {R} _{2})=c(\mathbf {R} _{1})c(\mathbf {R} _{2})}$$ ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})}$ $${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle \mathbf {R} =n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1}+n_{2}\mathbf {a} _{2}+n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(n_{1}\mathbf {a} _{1})c(n_{2}\mathbf {a} _{2})c(n_{3}\mathbf {a} _{3})\\&=c(\mathbf {a} _{1})^{n_{1}}c(\mathbf {a} _{2})^{n_{2}}c(\mathbf {a} _{3})^{n_{3}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle c(\mathbf {a} _{i})=e^{2\pi ix_{i}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c(\mathbf {R} )&=e^{2\pi i(n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3})}\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {k} =x_{1}\mathbf {b} _{1}+x_{2}\mathbf {b} _{2}+x_{3}\mathbf {b} _{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {a} _{j}=2\pi \delta _{ij}}$

Por lo tanto, se pueden elegir los estados propios simultáneos del hamiltoniano y de modo que para cada vector reticular de Bravais , Entonces, ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}_{\mathbf {R} }}$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\mathbf {r+R} )&={\hat {T}}_{\mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\\&=c(\mathbf {R} )\psi (\mathbf {r} )\\&=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r+R} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {R} }\psi (\mathbf {r} )}$

Este resultado se conoce como Teorema de Bloch .

Evolución temporal e invariancia traslacional

Invariancia Traslacional: Evolución temporal de las funciones de onda.

En la imagen de transformación pasiva, la invariancia traslacional requiere, Se deduce que donde es el operador de evolución temporal unitario. ^[8] Cuando el hamiltoniano es independiente del tiempo , Si el hamiltoniano depende del tiempo, la relación de conmutación anterior se satisface si o conmuta con para todo t. $${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {H}}]=0}$$ $${\displaystyle [{\hat {T}}(\mathbf {x} ),{\hat {U}}(t)]=0}$$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)}$ $${\displaystyle {\hat {U}}(t)=\exp \left({\frac {-i{\hat {H}}t}{\hbar }}\right)}$$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$ ${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle {\hat {H}}(t)}$

Ejemplo

Supongamos que dos observadores A y B preparan sistemas idénticos en y (fig. 1), respectivamente. Si es el vector de estado del sistema preparado por A, entonces el vector de estado del sistema preparado por B estará dado por Ambos sistemas parecen idénticos a los observadores que los prepararon. Después del tiempo , los vectores de estado evolucionan a y respectivamente. Usando la relación de conmutación mencionada anteriormente, la última puede escribirse como, que es simplemente la versión traducida del sistema preparado por A en el tiempo . Por lo tanto, los dos sistemas, que diferían solo por una traslación en , difieren solo por la misma traslación en cualquier instante de tiempo. La evolución temporal de ambos sistemas parece la misma para los observadores que los prepararon. Se puede concluir que la invariancia traslacional del hamiltoniano implica que el mismo experimento repetido en dos lugares diferentes dará el mismo resultado (como lo ven los observadores locales). ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle |\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$ ${\displaystyle {\hat {U}}(t){\hat {T}}(\mathbf {a} )|\psi (0)\rangle }$ $${\displaystyle {\hat {T}}(\mathbf {a} ){\hat {U}}(t)|\psi (0)\rangle }$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t=0}$

Véase también

• Estado de Bloch
• Grupo
• Función periódica
• Operador de turno
• Simetrías en la mecánica cuántica
• Simetría de traslación temporal
• Simetría traslacional

Referencias

1. Notas de la clase de Robert Littlejohn
2. Mulders, PJ "Mecánica cuántica avanzada" (PDF) . Vrije Universiteit Ámsterdam . Consultado el 22 de marzo de 2022 .
3. Página 816, Capítulo 17, Métodos matemáticos para físicos, séptima edición, por Arfken, Weber y Harris
4. Página 47, Capítulo 1, Mecánica cuántica moderna , Segunda edición, JJ Sakurai, Jim J. Napolitano
5. P. 127, Sección 4.2, R. Shankar, Principios de la mecánica cuántica
6. Capítulo 8, Física del estado sólido por Neil W. Ashcroft y N. David Mermin
7. P-133, Capítulo 8, Física del estado sólido por Neil W. Ashcroft y N. David Mermin
8. P.308, Capítulo 3, Volumen 1, Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë