Partícula libre

Partícula que no está limitada por una fuerza externa.

En física , una partícula libre es una partícula que, en cierto sentido, no está limitada por una fuerza externa o, equivalentemente, no se encuentra en una región donde su energía potencial varía. En física clásica , esto significa que la partícula está presente en un espacio "libre de campo". En mecánica cuántica , significa que la partícula está en una región de potencial uniforme, generalmente fijado en cero en la región de interés, ya que el potencial puede fijarse arbitrariamente en cero en cualquier punto del espacio.

Partícula libre clásica

La partícula libre clásica se caracteriza por una velocidad fija v . El momento está dado por y la energía cinética (igual a la energía total) por donde m es la masa de la partícula y v es el vector velocidad de la partícula. $${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$$ $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}}$$

Partícula cuántica libre

Propagación de ondas de De Broglie en 1d: la parte real de la amplitud compleja es azul, la parte imaginaria es verde. La probabilidad (mostrada como la opacidad del color ) de encontrar la partícula en un punto dado x se extiende como una forma de onda, no hay una posición definida de la partícula. A medida que la amplitud aumenta por encima de cero, la curvatura disminuye, por lo que la α disminuye nuevamente, y viceversa: el resultado es una amplitud alterna: una onda. Arriba: Onda plana . Abajo: Paquete de ondas .

Descripción matemática

Una partícula libre con masa en la mecánica cuántica no relativista se describe mediante la ecuación libre de Schrödinger : ${\displaystyle m}$ $${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\ \psi (\mathbf {r} ,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)}$$

donde ψ es la función de onda de la partícula en la posición r y el tiempo t . La solución para una partícula con momento p o vector de onda k , con frecuencia angular ω o energía E , viene dada por una onda plana compleja :

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)=Ae^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}=Ae^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} -Et)/\hbar }}$$

con amplitud A y tiene dos reglas diferentes según su masa:

1. si la partícula tiene masa : (o equivalente ). ${\displaystyle m}$ ${\textstyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}}$ ${\textstyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$
2. Si la partícula es una partícula sin masa: . ${\displaystyle \omega =kc}$

El espectro de valores propios es infinitamente degenerado ya que para cada valor propio E > 0, corresponde un número infinito de funciones propias correspondientes a diferentes direcciones de . ${\displaystyle \mathbf {p} }$

Se aplican las relaciones de De Broglie : . Como la energía potencial es (se dice que es) cero, la energía total E es igual a la energía cinética, que tiene la misma forma que en la física clásica: ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$ ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

$${\displaystyle E=T\,\rightarrow \,{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}=\hbar \omega }$$

En cuanto a todas las partículas cuánticas, libres o ligadas, se aplican los principios de incertidumbre de Heisenberg . Es evidente que, puesto que la onda plana tiene un momento definido (energía definida), la probabilidad de encontrar la posición de la partícula es uniforme y despreciable en todo el espacio. En otras palabras, la función de onda no es normalizable en un espacio euclidiano, estos estados estacionarios no pueden corresponder a estados físicos realizables . ^[1] ${\textstyle \Delta p_{x}\Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

Medición y cálculos

La integral de la función de densidad de probabilidad

$${\displaystyle \rho (\mathbf {r} ,t)=\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\psi (\mathbf {r} ,t)=|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}}$$

donde * denota complejo conjugado , sobre todo el espacio es la probabilidad de encontrar la partícula en todo el espacio, que debe ser la unidad si la partícula existe: $${\displaystyle \int _{\mathrm {all\,space} }|\psi (\mathbf {r} ,t)|^{2}d^{3}\mathbf {r} =1}$$

Esta es la condición de normalización para la función de onda. La función de onda no es normalizable para una onda plana, pero sí para un paquete de ondas .

Interpretación de la función de onda para una partícula de espín 0 en una dimensión. Las funciones de onda mostradas son continuas, finitas, unidimensionales y normalizadas. La opacidad del color (%) de las partículas corresponde a la densidad de probabilidad (que se puede medir en %) de encontrar la partícula en los puntos del eje x.

Descomposición de Fourier

La función de onda de la partícula libre se puede representar mediante una superposición de funciones propias del momento , con coeficientes dados por la transformada de Fourier de la función de onda inicial: ^[2]

$${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{({\sqrt {2\pi }})^{3}}}\int _{\mathrm {all\,\mathbf {k} \,space} }{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}d^{3}\mathbf {k} }$$

donde la integral es sobre todo el espacio k y (para asegurar que el paquete de ondas es una solución de la ecuación de Schrödinger de la partícula libre). Aquí está el valor de la función de onda en el tiempo 0 y es la transformada de Fourier de . (La transformada de Fourier es esencialmente la función de onda de momento de la función de onda de posición , pero escrita como una función de en lugar de .) ${\textstyle \omega =\omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} ^{2}}{2m}}}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )}$ ${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} }$

El valor esperado del momento p para la onda plana compleja es

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\left\langle \psi \left|-i\hbar \nabla \right|\psi \right\rangle =\hbar \mathbf {k} ,}$$

y para el paquete de ondas general es

$${\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle =\int _{\mathrm {all\,space} }\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)(-i\hbar \nabla )\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} =\int _{\mathrm {all\,{\textbf {k}}\,space} }\hbar \mathbf {k} |{\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {k} )|^{2}d^{3}\mathbf {k} .}$$

El valor esperado de la energía E es

$${\displaystyle \langle E\rangle =\left\langle \psi \left|-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right|\psi \right\rangle =\int _{\text{all space}}\psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\psi (\mathbf {r} ,t)d^{3}\mathbf {r} .}$$

Velocidad de grupo y velocidad de fase

Propagación de un paquete de ondas, con el movimiento de un único pico sombreado en violeta. Los picos se mueven a la velocidad de fase mientras que el paquete en su conjunto se mueve a la velocidad de grupo.

La velocidad de fase se define como la velocidad a la que se propaga una solución de onda plana, es decir

$${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\frac {\hbar k}{2m}}={\frac {p}{2m}}.}$$

Nótese que no es la velocidad de una partícula clásica con momento ; más bien, es la mitad de la velocidad clásica. ${\displaystyle {\frac {p}{2m}}}$ ${\displaystyle p}$

Mientras tanto, supongamos que la función de onda inicial es un paquete de ondas cuya transformada de Fourier está concentrada cerca de un vector de onda particular . Entonces, la velocidad de grupo de la onda plana se define como ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$ $${\displaystyle v_{g}=\nabla \omega (\mathbf {k} )={\frac {\hbar \mathbf {k} }{m}}={\frac {\mathbf {p} }{m}},}$$

lo cual concuerda con la fórmula para la velocidad clásica de la partícula. La velocidad de grupo es la velocidad (aproximada) a la que se propaga todo el paquete de ondas, mientras que la velocidad de fase es la velocidad a la que se mueven los picos individuales en el paquete de ondas. ^[3] La figura ilustra este fenómeno, con los picos individuales dentro del paquete de ondas propagándose a la mitad de la velocidad del paquete general.

Propagación del paquete de ondas

La noción de velocidad de grupo se basa en una aproximación lineal a la relación de dispersión cerca de un valor particular de . ^[4] En esta aproximación, la amplitud del paquete de ondas se mueve a una velocidad igual a la velocidad de grupo sin cambiar de forma . Este resultado es una aproximación que no logra capturar ciertos aspectos interesantes de la evolución de una partícula cuántica libre. En particular, el ancho del paquete de ondas, medido por la incertidumbre en la posición, crece linealmente en el tiempo para tiempos grandes. Este fenómeno se llama propagación del paquete de ondas para una partícula libre. ${\displaystyle \omega (k)}$ ${\displaystyle k}$

En concreto, no es difícil calcular una fórmula exacta para la incertidumbre en función del tiempo, donde es el operador de posición. Trabajando en una dimensión espacial para simplificar, tenemos: ^[5] donde es la función de onda de tiempo cero. La expresión entre paréntesis en el segundo término del lado derecho es la covarianza cuántica de y . ${\displaystyle \Delta _{\psi (t)}X}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (\Delta _{\psi (t)}X)^{2}={\frac {t^{2}}{m^{2}}}(\Delta _{\psi _{0}}P)^{2}+{\frac {2t}{m}}\left(\left\langle {\tfrac {1}{2}}({XP+PX})\right\rangle _{\psi _{0}}-\left\langle X\right\rangle _{\psi _{0}}\left\langle P\right\rangle _{\psi _{0}}\right)+(\Delta _{\psi _{0}}X)^{2},}$$ ${\displaystyle \psi _{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$

Por lo tanto, para tiempos positivos grandes, la incertidumbre en crece linealmente, con el coeficiente de igual a . Si el momento de la función de onda inicial está muy localizado, el paquete de ondas se propagará lentamente y la aproximación de velocidad de grupo seguirá siendo buena durante mucho tiempo. Intuitivamente, este resultado dice que si la función de onda inicial tiene un momento muy definido, entonces la partícula tiene una velocidad muy definida y se propagará (con una buena aproximación) a esta velocidad durante mucho tiempo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (\Delta _{\psi _{0}}P)/m}$ ${\displaystyle \psi _{0}}$

Partícula libre cuántica relativista

Hay una serie de ecuaciones que describen partículas relativistas: ver ecuaciones de onda relativistas .

Véase también

• Paquete de ondas
• Velocidad de grupo
• Partícula en una caja
• Pozo cuadrado finito
• Potencial delta

Referencias

• Mecánica cuántica , E. Abers, Pearson Ed., Addison Wesley, Prentice Hall Inc, 2004, ISBN  978-0-13-146100-0
• Física cuántica de átomos, moléculas, sólidos, núcleos y partículas (2.ª edición) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN 978-0-471-87373-0 
• Estados estacionarios , A. Holden, Monografías de física universitaria (EE. UU.), Oxford University Press, 1971, ISBN 0-19-851121-3 
• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
• La mecánica cuántica desmitificada , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 0-07-145546 9 
• Mecánica cuántica elemental , NF Mott, Wykeham Science, Wykeham Press (Taylor & Francis Group), 1972, ISBN 0-85109-270-5 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Outlines, Mc Graw Hill (EE. UU.), 1998, ISBN 007-0540187 

Específico

1. "Conferencia 9" (PDF) .
2. Hall 2013 Sección 4.1
3. Hall 2013 Secciones 4.3 y 4.4
4. Hall 2013 Ecuación 4.24
5. Proposición 4.10 del Salón 2013

Lectura adicional

• El nuevo universo cuántico , T.Hey, P.Walters, Cambridge University Press, 2009, ISBN 978-0-521-56457-1 . 
• Teoría cuántica de campos , D. McMahon, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2008, ISBN 978-0-07-154382-8 
• Mecánica cuántica , E. Zaarur, Y. Peleg, R. Pnini, Schaum's Easy Outlines Crash Course, Mc Graw Hill (EE. UU.), 2006, ISBN 978-007-145533-6