Transformación geométrica

Biyección de un conjunto usando propiedades de formas en el espacio.

En matemáticas , una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto a sí mismo (o a otro conjunto similar) con algún fundamento geométrico saliente . Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos (la mayoría de las veces ambos o ambos ) de modo que la función es biyectiva , por lo que existe su inversa . ^[1] El estudio de la geometría puede abordarse mediante el estudio de estas transformaciones. ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Clasificaciones

Las transformaciones geométricas se pueden clasificar por la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así entre, por ejemplo, transformaciones planas y transformaciones espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que conservan:

• Los desplazamientos preservan distancias y ángulos orientados (por ejemplo, traslaciones ); ^[3]
• Las isometrías conservan ángulos y distancias (p. ej., transformaciones euclidianas ); ^{[4] [5]}
• Las similitudes preservan los ángulos y las proporciones entre distancias (por ejemplo, cambiar el tamaño); ^[6]
• Las transformaciones afines preservan el paralelismo (p. ej., escalamiento , corte ); ^{[5] [7]}
• Las transformaciones proyectivas preservan la colinealidad ; ^[8]

Cada una de estas clases contiene la anterior. ^[8]

• Las transformaciones de Möbius que utilizan coordenadas complejas en el plano (así como la inversión de círculos ) conservan el conjunto de todas las líneas y círculos, pero pueden intercambiar líneas y círculos.

• 
  Imagen original (basada en el mapa de Francia)
• isometria
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  Semejanza
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  Transformacion afin
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  Transformación proyectiva
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  inversión

• Las transformaciones conformes conservan los ángulos y son, en primer orden, similitudes.
• Transformaciones equiáreas , preservan áreas en el caso plano o volúmenes en el caso tridimensional. ^[9] y son, en primer orden, transformaciones afines del determinante 1.
• Los homeomorfismos (transformaciones bicontinuas) preservan las vecindades de los puntos.
• Los difeomorfismos (transformaciones bidiferenciables) son las transformaciones que son afines en primer orden; contienen los anteriores como casos especiales y pueden perfeccionarse aún más.

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  Transformación conforme
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  Transformación equiareal
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  Homeomorfismo
• 
  difeomorfismo

Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformación.

Acciones de grupo opuesto

Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general . La transformación lineal A es no singular. Para un vector fila v , el producto matricial vA da otro vector fila w = vA .

La transpuesta de un vector de fila v es un vector de columna ^{v T, y la transpuesta de la igualdad anterior es Aquí AT} proporciona ^una acción hacia la izquierda en los vectores de columna. ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$

En geometría de transformación existen composiciones AB . Comenzando con un vector fila v , la acción correcta de la transformación compuesta es w = vAB . Después de la transposición,

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Así, para AB , la acción del grupo izquierdo asociada es. En el estudio de grupos opuestos , se hace la distinción entre acciones de grupos opuestos porque los grupos conmutativos son los únicos grupos para los cuales estos opuestos son iguales. ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$

Ver también

• Transformación de coordenadas
• programa Erlangen
• Simetría (geometría)
• Movimiento
• Reflexión
• Transformación rígida
• Rotación
• Topología
• Matriz de transformación

Referencias

1. Usiskin, Zalman ; Peressini, Anthony L.; Marchisotto, Elena ; Stanley, Dick (2003). Matemáticas para profesores de secundaria: una perspectiva avanzada . Educación Pearson. pag. 84.ISBN​ 0-13-044941-5. OCLC  50004269.
2. Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de la geometría , Pearson Prentice Hall , p. 285, ISBN 9780131437005
3. "Traducción de geometría". www.mathsisfun.com . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
4. "Transformaciones geométricas - Transformaciones euclidianas". páginas.mtu.edu . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
5. Transformación geométrica , p. 131, en libros de Google
6. "Transformaciones". www.mathsisfun.com . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
7. "Transformaciones geométricas: transformaciones afines". páginas.mtu.edu . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
8. Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs - ' Transformación geométrica , p. 182, en libros de Google
9. Transformación geométrica , p. 191, en Google Books Bruce E. Meserve - Conceptos fundamentales de geometría, página 191.]

Otras lecturas

• Adler, Irving (2012) [1966], Una nueva mirada a la geometría , Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967). Geometría a través de transformaciones (3 vols.): Geometría de distorsión , Geometría de congruencia y Grupos y coordenadas . Nueva York: Herder y Herder.
• David Gans – Transformaciones y geometrías .
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría e imaginación (2ª ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• John McCleary (2013) Geometría desde un punto de vista diferenciable , Cambridge University Press ISBN 978-0-521-11607-7 
• Módenov, PS; Parhomenko, AS (1965). Transformaciones geométricas (2 vols.): Transformaciones euclidianas y afines , y Transformaciones proyectivas . Nueva York: Academic Press.
• AN Pressley – Geometría diferencial elemental .
• Yaglom, IM (1962, 1968, 1973, 2009). Transformaciones geométricas (4 vols.). Random House (I, II y III), MAA (I, II, III y IV).