Transformación geométrica

Biyección de un conjunto utilizando propiedades de las formas en el espacio

En matemáticas , una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto a sí mismo (o a otro conjunto similar) con algún fundamento geométrico destacado , como la conservación de distancias, ángulos o proporciones (escala). Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos (la mayoría de las veces ambos o ambos ) tales que la función es biyectiva de modo que existe su inversa . ^[1] El estudio de la geometría puede abordarse mediante el estudio de estas transformaciones, como en la geometría de transformación . ^[2] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Clasificaciones

Las transformaciones geométricas se pueden clasificar según la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así, por ejemplo, entre transformaciones planares y transformaciones espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que conservan:

• Los desplazamientos conservan distancias y ángulos orientados (por ejemplo, traslaciones ); ^[3]
• Las isometrías preservan ángulos y distancias (por ejemplo, transformaciones euclidianas ); ^{[4] [5]}
• Las similitudes preservan los ángulos y las proporciones entre las distancias (por ejemplo, el cambio de tamaño); ^[6]
• Las transformaciones afines preservan el paralelismo (por ejemplo, escala , cizallamiento ); ^{[5] [7]}
• Las transformaciones proyectivas preservan la colinealidad ; ^[8]

Cada una de estas clases contiene a la anterior. ^[8]

• Las transformaciones de Möbius que utilizan coordenadas complejas en el plano (así como la inversión del círculo ) preservan el conjunto de todas las líneas y círculos, pero pueden intercambiar líneas y círculos.

• 
  Imagen original (basada en el mapa de Francia)
• Isometría
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  Semejanza
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  Transformación afín
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  Transformación proyectiva
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  Inversión

• Las transformaciones conformes preservan los ángulos y son, en primer orden, semejanzas.
• Las transformaciones equiáreas conservan áreas en el caso plano o volúmenes en el caso tridimensional. ^[9] y son, en primer orden, transformaciones afines del determinante 1.
• Los homeomorfismos (transformaciones bicontinuas) preservan las vecindades de los puntos.
• Los difeomorfismos (transformaciones bidiferenciables) son las transformaciones que son afines en el primer orden; contienen a las anteriores como casos especiales y pueden refinarse aún más.

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  Transformación conforme
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  Transformación equiárea
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  Homeomorfismo
• 
  Difeomorfismo

Las transformaciones del mismo tipo forman grupos que pueden ser subgrupos de otros grupos de transformación.

Acciones de grupos opuestos

Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general . La transformación lineal A no es singular. Para un vector fila v , el producto matricial vA da otro vector fila w = vA .

La transpuesta de un vector fila v es un vector columna v ^T , y la transpuesta de la igualdad anterior es Aquí A ^T proporciona una acción hacia la izquierda en los vectores columna. ${\displaystyle w^{T}=(vA)^{T}=A^{T}v^{T}.}$

En la geometría de transformación existen composiciones AB . Partiendo de un vector fila v , la acción correcta de la transformación compuesta es w = vAB . Después de la transposición,

${\displaystyle w^{T}=(vAB)^{T}=(AB)^{T}v^{T}=B^{T}A^{T}v^{T}.}$

Así, para AB la acción del grupo izquierdo asociado es En el estudio de grupos opuestos , se hace la distinción entre acciones de grupos opuestos porque los grupos conmutativos son los únicos grupos para los cuales estos opuestos son iguales. ${\displaystyle B^{T}A^{T}.}$

Transformaciones activas y pasivas

En la transformación activa (izquierda), un punto P se transforma en el punto P ′ al rotarlo en el sentido de las agujas del reloj en un ángulo θ alrededor del origen de un sistema de coordenadas fijo. En la transformación pasiva (derecha), el punto P permanece fijo, mientras que el sistema de coordenadas rota en el sentido contrario a las agujas del reloj en un ángulo θ alrededor de su origen. Las coordenadas de P ′ después de la transformación activa con respecto al sistema de coordenadas original son las mismas que las coordenadas de P con respecto al sistema de coordenadas rotado.

Las transformaciones geométricas se pueden distinguir en dos tipos: transformaciones activas o alibi que cambian la posición física de un conjunto de puntos en relación con un marco de referencia fijo o sistema de coordenadas ( alibi significa "estar en otro lugar al mismo tiempo"); y transformaciones pasivas o alias que dejan los puntos fijos pero cambian el marco de referencia o sistema de coordenadas en relación con el que se describen ( alias significa "ir bajo un nombre diferente"). ^{[10] [11]} Por transformación , los matemáticos generalmente se refieren a transformaciones activas, mientras que los físicos e ingenieros podrían referirse a cualquiera de las dos. ^{[ cita requerida ]}

Por ejemplo, las transformaciones activas son útiles para describir posiciones sucesivas de un cuerpo rígido . Por otro lado, las transformaciones pasivas pueden ser útiles en el análisis del movimiento humano para observar el movimiento de la tibia en relación con el fémur , es decir, su movimiento en relación con un sistema de coordenadas ( local ) que se mueve junto con el fémur, en lugar de un sistema de coordenadas ( global ) que está fijo al suelo. ^[11]

En el espacio euclidiano tridimensional , cualquier transformación rígida propia , ya sea activa o pasiva, puede representarse como un desplazamiento helicoidal , la composición de una traslación a lo largo de un eje y una rotación alrededor de ese eje.

Los términos transformación activa y transformación pasiva fueron introducidos por primera vez en 1957 por Valentine Bargmann para describir las transformaciones de Lorentz en relatividad especial . ^[12]

Véase también

• Transformación de coordenadas
• Programa de Erlangen
• Simetría (geometría)
• Movimiento
• Reflexión
• Transformación rígida
• Rotación
• Topología
• Matriz de transformación

Referencias

1. Usiskin, Zalman ; Peressini, Anthony L.; Marchisotto, Elena ; Stanley, Dick (2003). Matemáticas para profesores de secundaria: una perspectiva avanzada . Pearson Education. pág. 84. ISBN 0-13-044941-5.OCLC 50004269  .
2. Venema, Gerard A. (2006), Fundamentos de geometría , Pearson Prentice Hall , pág. 285, ISBN 9780131437005
3. "Traducción de geometría". www.mathsisfun.com . Consultado el 2020-05-02 .
4. "Transformaciones geométricas: transformaciones euclidianas". pages.mtu.edu . Consultado el 2 de mayo de 2020 .
5. Transformación geométrica , pág. 131, en Google Books
6. "Transformaciones". www.mathsisfun.com . Consultado el 2020-05-02 .
7. "Transformaciones geométricas: transformaciones afines". pages.mtu.edu . Consultado el 2020-05-02 .
8. Leland Wilkinson, D. Wills, D. Rope, A. Norton, R. Dubbs – ' Transformación geométrica , p. 182, en Google Books
9. Transformación geométrica , pág. 191, en Google Books Bruce E. Meserve – Conceptos fundamentales de geometría, página 191.]
10. Crampin, M.; Pirani, FAE (1986). Geometría diferencial aplicable. Cambridge University Press. pág. 22.
11. Joseph K. Davidson, Kenneth Henderson Hunt (2004). "§4.4.1 La interpretación activa y la transformación activa". Robots y teoría de tornillos: aplicaciones de la cinemática y la estática a la robótica . Oxford University Press. pág. 74 y siguientes . ISBN 0-19-856245-4.
12. Bargmann, Valentine (1957). "Relatividad". Reseñas de Física Moderna . 29 (2): 161–174. doi :10.1103/RevModPhys.29.161.

Lectura adicional

• Adler, Irving (2012) [1966], Una nueva mirada a la geometría , Dover, ISBN 978-0-486-49851-5
• Dienes, ZP ; Golding, EW (1967) . Geometría a través de transformaciones (3 vols.): Geometría de la distorsión , Geometría de la congruencia y Grupos y coordenadas . Nueva York: Herder and Herder.
• David Gans – Transformaciones y geometrías .
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometría e imaginación (2.ª ed.). Chelsea. ISBN 0-8284-1087-9.
• John McCleary (2013) Geometría desde un punto de vista diferenciable , Cambridge University Press ISBN 978-0-521-11607-7 
• Modenov, PS; Parkhomenko, AS (1965). Transformaciones geométricas (2 vols.): transformaciones euclidianas y afines y transformaciones proyectivas . Nueva York: Academic Press.
• AN Pressley – Geometría diferencial elemental .
• Yaglom, IM (1962, 1968, 1973, 2009). Transformaciones geométricas (4 vols.). Random House (I, II y III), MAA (I, II, III y IV).