Transformada de Weierstrass

Transformación integral "suavizada"

En matemáticas , la transformada de Weierstrass ^[1] de una función , llamada así en honor a Karl Weierstrass , es una versión "suavizada" de obtenida al promediar los valores de , ponderados con una gaussiana centrada en . ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

El gráfico de una función (en negro) y sus transformadas de Weierstrass generalizadas para cinco parámetros. La transformada de Weierstrass estándar se da en el caso (en verde) ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle t=1}$

En concreto, se trata de la función definida por ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

la convolución de con la función gaussiana ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

El factor se elige de modo que la gaussiana tenga una integral total de 1, con la consecuencia de que las funciones constantes no se modifican mediante la transformada de Weierstrass. ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}}$

En lugar de uno también se escribe . Nótese que no es necesario que exista para cada número real , cuando la integral definitoria no converge. ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle W[f](x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$

La transformada de Weierstrass está íntimamente relacionada con la ecuación del calor (o, equivalentemente, la ecuación de difusión con coeficiente de difusión constante). Si la función describe la temperatura inicial en cada punto de una varilla infinitamente larga que tiene una conductividad térmica constante igual a 1, entonces la distribución de temperatura de las unidades de tiempo de la varilla vendrá dada posteriormente por la función . Al utilizar valores de diferentes de 1, podemos definir la transformada de Weierstrass generalizada de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$

La transformada de Weierstrass generalizada proporciona un medio para aproximar una función integrable dada arbitrariamente bien con funciones analíticas . ${\displaystyle f}$

Nombres

Weierstrass utilizó esta transformación en su prueba original del teorema de aproximación de Weierstrass . También se la conoce como transformada de Gauss o transformada de Gauss-Weierstrass en honor a Carl Friedrich Gauss y como transformada de Hille en honor a Einar Carl Hille , quien la estudió extensamente. La generalización mencionada a continuación se conoce en el análisis de señales como filtro gaussiano y en el procesamiento de imágenes (cuando se implementa en ) como desenfoque gaussiano . ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Transformaciones de algunas funciones importantes

Funciones constantes

Cada función constante es su propia transformada de Weierstrass.

Polinomios

La transformada de Weierstrass de cualquier polinomio es un polinomio del mismo grado y, de hecho, tiene el mismo coeficiente principal (el crecimiento asintótico no cambia). De hecho, si denota el polinomio de Hermite (del físico) de grado , entonces la transformada de Weierstrass de es simplemente . Esto se puede demostrar explotando el hecho de que la función generadora de los polinomios de Hermite está estrechamente relacionada con el núcleo gaussiano utilizado en la definición de la transformada de Weierstrass. ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(x/2)}$ ${\displaystyle x^{n}}$

Exponenciales, senos y cosenos

La transformada de Weierstrass de la función exponencial (donde es una constante arbitraria) es . La función es, por lo tanto, una función propia de la transformada de Weierstrass, con valor propio . ^{[nota 1]} ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x\mapsto \exp(a^{2})\exp(ax)}$ ${\displaystyle \exp(ax)}$ ${\displaystyle \exp(a^{2})}$

Utilizando la transformada de Weierstrass de con donde es una constante real arbitraria y es la unidad imaginaria , y aplicando la identidad de Euler , se ve que la transformada de Weierstrass de la función es y la transformada de Weierstrass de la función es . ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$ ${\displaystyle a=bi}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \cos(bx)}$ ${\displaystyle \exp(-b^{2})\cos(bx)}$ ${\displaystyle sin(bx)}$ ${\displaystyle \exp(-b^{2})\sin(bx)}$

Funciones gaussianas

La transformada de Weierstrass de la función es Es de particular interés cuando se elige que sea negativa. Si , entonces es una función gaussiana y su transformada de Weierstrass también es una función gaussiana, pero una "más amplia". ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax^{2})}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {1-4a}}}\exp \left({\dfrac {ax^{2}}{1-4a}}\right)&{\text{if }}a<1/4\\[5pt]{\text{undefined}}&{\text{if }}a\geq 1/4.\end{cases}}}$$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a<0}$ ${\displaystyle \exp(ax^{2})}$

Propiedades generales

La transformada de Weierstrass asigna a cada función una nueva función ; esta asignación es lineal . También es invariante respecto de la traslación, lo que significa que la transformada de la función es . Ambos hechos son más generalmente ciertos para cualquier transformada integral definida mediante convolución. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x+a)}$ ${\displaystyle F(x+a)}$

Si la transformación existe para los números reales y , entonces también existe para todos los valores reales intermedios y forma una función analítica allí; además, existirá para todos los valores complejos de con y forma una función holomorfa en esa franja del plano complejo . Esta es la declaración formal de la "suavidad" de mencionada anteriormente. ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x=a}$ ${\displaystyle x=b}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$ ${\displaystyle F}$

Si es integrable sobre todo el eje real (es decir, ), entonces también lo es su transformada de Weierstrass , y si además para todos , entonces también para todos y las integrales de y son iguales. Esto expresa el hecho físico de que la energía térmica total o calor se conserva mediante la ecuación del calor, o que la cantidad total de material que se difunde se conserva mediante la ecuación de difusión. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$

Utilizando lo anterior, se puede demostrar que para y , tenemos y . La transformada de Weierstrass, en consecuencia, produce un operador acotado . ${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle ||F||_{p}\leq ||f||_{p}}$ ${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$

Si es suficientemente suave, entonces la transformada de Weierstrass de la -ésima derivada de es igual a la -ésima derivada de la transformada de Weierstrass de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f}$

Existe una fórmula que relaciona la transformada de Weierstrass W y la transformada bilateral de Laplace . Si definimos ${\displaystyle L}$

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

entonces

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

Filtro de paso bajo

Hemos visto anteriormente que la transformada de Weierstrass de es , y análogamente para . En términos de análisis de señales , esto sugiere que si la señal contiene la frecuencia (es decir, contiene un sumando que es una combinación de y ), entonces la señal transformada contendrá la misma frecuencia, pero con una amplitud multiplicada por el factor . Esto tiene la consecuencia de que las frecuencias más altas se reducen más que las más bajas, y la transformada de Weierstrass actúa así como un filtro de paso bajo . Esto también se puede demostrar con la transformada de Fourier continua , de la siguiente manera. La transformada de Fourier analiza una señal en términos de sus frecuencias, transforma convoluciones en productos y transforma gaussianas en gaussianas. La transformada de Weierstrass es una convolución con una gaussiana y, por lo tanto, es la multiplicación de la señal transformada de Fourier con una gaussiana, seguida de la aplicación de la transformada de Fourier inversa. Esta multiplicación con una gaussiana en el espacio de frecuencias fusiona las frecuencias altas, lo que es otra forma de describir la propiedad de "suavizado" de la transformada de Weierstrass. ${\displaystyle \cos(bx)}$ ${\displaystyle e^{-b^{2}}\cos(bx)}$ ${\displaystyle \sin(bx)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \sin(bx)}$ ${\displaystyle \cos(bx)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle e^{-b^{2}}}$

La transformada inversa

La siguiente fórmula, estrechamente relacionada con la transformada de Laplace de una función gaussiana y un análogo real de la transformación de Hubbard-Stratonovich , es relativamente fácil de establecer:

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

Ahora reemplace u con el operador de diferenciación formal D  =  d / dx y utilice el operador de desplazamiento de Lagrange.

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(x-y)}$,

(una consecuencia de la fórmula de la serie de Taylor y la definición de la función exponencial ), para obtener

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

para así obtener la siguiente expresión formal para la transformada de Weierstrass , ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W=e^{D^{2}}~,}$

donde el operador de la derecha debe entenderse como actuando sobre la función f ( x ) como

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

La derivación formal anterior pasa por alto detalles de convergencia y, por lo tanto, la fórmula no es universalmente válida; hay varias funciones que tienen una transformada de Weierstrass bien definida, pero para las cuales no se puede definir de manera significativa. ${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle e^{D^{2}}(f)}$

Sin embargo, la regla sigue siendo bastante útil y puede utilizarse, por ejemplo, para derivar las transformadas de Weierstrass de polinomios, funciones exponenciales y trigonométricas mencionadas anteriormente.

La inversa formal de la transformada de Weierstrass viene dada por

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

Nuevamente, esta fórmula no es válida de manera universal, pero puede servir como guía. Se puede demostrar que es correcta para ciertas clases de funciones si se define correctamente el operador del lado derecho. ^[2]

Alternativamente, se puede intentar invertir la transformada de Weierstrass de una manera ligeramente diferente: dada la función analítica

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

aplicar para obtener ${\displaystyle W^{-1}}$

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

una vez más, utilizando una propiedad fundamental de los polinomios de Hermite (de los físicos) . ${\displaystyle H_{n}}$

Nuevamente, esta fórmula para es, en el mejor de los casos, formal, ya que no se comprobó si la serie final converge. Pero si, por ejemplo, , entonces el conocimiento de todas las derivadas de en es suficiente para obtener los coeficientes ; y así reconstruir como una serie de polinomios de Hermite . ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle f}$

Un tercer método para invertir la transformada de Weierstrass aprovecha su conexión con la transformada de Laplace mencionada anteriormente y la conocida fórmula de inversión para la transformada de Laplace. El resultado se indica a continuación para las distribuciones.

Generalizaciones

Podemos utilizar la convolución con el núcleo gaussiano (con algún t > 0 ) en lugar de , definiendo así un operador W _t , la transformada de Weierstrass generalizada. ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}}$

Para valores pequeños de , es muy cercano a , pero suave. Cuanto mayor sea , más se promedia y cambia este operador . Físicamente, corresponde a seguir la ecuación de calor (o difusión) para unidades de tiempo, y esto es aditivo, lo que corresponde a "difundir para unidades de tiempo, luego unidades de tiempo, es equivalente a difundir para unidades de tiempo". Se puede extender esto a estableciendo que sea el operador de identidad (es decir, convolución con la función delta de Dirac ), y estos forman un semigrupo de operadores de un parámetro . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle W_{t}[f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W_{t}}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s+t}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle W_{0}}$

El núcleo utilizado para la transformada de Weierstrass generalizada a veces se denomina núcleo de Gauss-Weierstrass , y es la función de Green para la ecuación de difusión en . ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ ${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle W_{t}}$se puede calcular a partir de : dada una función , definir una nueva función ; luego , una consecuencia de la regla de sustitución . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{t}(x):=f(x{\sqrt {t}})}$ ${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x{\sqrt {t}})}$

La transformada de Weierstrass también se puede definir para ciertas clases de distribuciones o "funciones generalizadas". ^[3] Por ejemplo, la transformada de Weierstrass del delta de Dirac es la gaussiana . ${\textstyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}}$

En este contexto, se pueden demostrar fórmulas de inversión rigurosas, por ejemplo, donde es cualquier número real fijo para el cual existe, la integral se extiende sobre la línea vertical en el plano complejo con parte real , y el límite debe tomarse en el sentido de distribuciones. $${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle F(x_{0})}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Además, la transformada de Weierstrass se puede definir para funciones (o distribuciones) de valores reales (o complejos) definidas en . Usamos la misma fórmula de convolución que la anterior, pero interpretamos la integral como que se extiende sobre todo y la expresión como el cuadrado de la longitud euclidiana del vector ; el factor delante de la integral debe ajustarse de modo que la gaussiana tenga una integral total de 1. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle (x-y)^{2}}$ ${\displaystyle x-y}$

De manera más general, la transformada de Weierstrass se puede definir en cualquier variedad de Riemann : la ecuación de calor se puede formular allí (utilizando el operador de Laplace-Beltrami de la variedad ), y luego la transformada de Weierstrass se da siguiendo la solución de la ecuación de calor para una unidad de tiempo, comenzando con la "distribución de temperatura" inicial . ${\displaystyle W[f]}$ ${\displaystyle f}$

Transformaciones relacionadas

Si se considera la convolución con el kernel en lugar de con una gaussiana, se obtiene la transformada de Poisson , que suaviza y promedia una función dada de manera similar a la transformada de Weierstrass. ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x^{2})\pi }}}$

Véase también

• Desenfoque gaussiano
• Filtro gaussiano
• Representación de Husimi Q
• Ecuación del calor#Soluciones fundamentales

Notas

1. De manera más general, es una función propia para cualquier transformación de convolución. ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$

Referencias

1. Ahmed I. Zayed, Manual de transformaciones de funciones y funciones generalizadas , Capítulo 18. CRC Press, 1996.
2. GG Bilodeau, "La transformada de Weierstrass y los polinomios de Hermite". Duke Mathematical Journal 29 (1962), págs. 293-308
3. Yu A. Brychkov, AP Prudnikov. Transformadas integrales de funciones generalizadas , Capítulo 5. CRC Press, 1989