En álgebra , un módulo libre de torsión es un módulo sobre un anillo tal que cero es el único elemento aniquilado por un elemento regular (no divisor de cero ) del anillo. En otras palabras, un módulo está libre de torsión si su submódulo de torsión contiene sólo el elemento cero.
En dominios integrales, los elementos regulares del anillo son sus elementos distintos de cero, por lo que en este caso un módulo libre de torsión es aquel en el que cero es el único elemento aniquilado por algún elemento distinto de cero del anillo. Algunos autores trabajan sólo con dominios integrales y utilizan esta condición como definición de módulo libre de torsión, pero esto no funciona bien con anillos más generales, ya que si el anillo contiene divisores cero, entonces el único módulo que satisface esta condición es el cero. módulo .
Sobre un anillo conmutativo R con anillo cociente total K , un módulo M está libre de torsión si y sólo si Tor 1 ( K / R , M ) desaparece. Por lo tanto, los módulos planos , y en particular los módulos libres y proyectivos , están libres de torsión, pero no es necesario que ocurra lo contrario. Un ejemplo de módulo libre de torsión que no es plano es el ideal ( x , y ) del anillo polinómico k [ x , y ] sobre un campo k , interpretado como un módulo sobre k [ x , y ].
Cualquier módulo sin torsión sobre un dominio es un módulo sin torsión, pero lo contrario no es cierto, ya que Q es un módulo Z sin torsión que no es sin torsión.
Sobre un dominio integral noetheriano , los módulos libres de torsión son los módulos cuyo único primo asociado es cero. De manera más general, sobre un anillo conmutativo noetheriano, los módulos libres de torsión son aquellos módulos cuyos primos asociados están contenidos en los primos asociados del anillo.
Sobre un dominio noetheriano integralmente cerrado , cualquier módulo libre de torsión generado finitamente tiene un submódulo libre tal que el cociente es isomorfo a un ideal del anillo.
En un dominio de Dedekind , un módulo generado finitamente está libre de torsión si y sólo si es proyectivo, pero en general no es libre. Cualquier módulo de este tipo es isomorfo a la suma de un módulo libre generado finitamente y un ideal, y la clase del ideal está determinada únicamente por el módulo.
Sobre un dominio ideal principal , los módulos generados finitamente están libres de torsión si y sólo si están libres.
En un dominio integral, cada módulo M tiene una cubierta libre de torsión F → M de un módulo libre de torsión F sobre M , con las propiedades que cualquier otro módulo libre de torsión mapeado sobre M factoriza a través de F , y cualquier endomorfismo de F sobre M es un automorfismo de F . Una cubierta de M sin torsión es única hasta el isomorfismo. Las cubiertas antitorsión están estrechamente relacionadas con las cubiertas planas .
Un haz cuasicoherente F sobre un esquema X es un haz de módulos tal que para cualquier subesquema afín abierto U = Spec( R ) la restricción F | U está asociado a algún módulo M sobre R . Se dice que la gavilla F está libre de torsión si todos esos módulos M están libres de torsión sobre sus respectivos anillos. Alternativamente, F está libre de torsión si y sólo si no tiene secciones de torsión locales. [1]
