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Unirse (topología)

Unión geométrica de dos segmentos de línea . Los espacios originales se muestran en verde y azul. La unión es un sólido tridimensional, un difenoide , en gris.

En topología , un campo de las matemáticas , la unión de dos espacios topológicos y , a menudo denotada por o , es un espacio topológico formado al tomar la unión disjunta de los dos espacios y unir segmentos de línea que unen cada punto en con cada punto en . La unión de un espacio consigo mismo se denota por . La unión se define de formas ligeramente diferentes en diferentes contextos.

Conjuntos geométricos

Si y son subconjuntos del espacio euclidiano , entonces: [1] : 1 

,

es decir, el conjunto de todos los segmentos de línea entre un punto en y un punto en .

Algunos autores [2] : 5  restringen la definición a los subconjuntos que son unibles : dos segmentos de línea diferentes cualesquiera, que conectan un punto de A con un punto de B, se encuentran como máximo en un punto final común (es decir, no se intersecan en su interior). Cada dos subconjuntos se pueden hacer "unibles". Por ejemplo, si está en y está en , entonces y son unibles en . La figura anterior muestra un ejemplo para m=n=1, donde y son segmentos de línea.

Ejemplos

Espacios topológicos

Si y son espacios topológicos, entonces:

donde el cilindro se une a los espacios originales y a lo largo de las proyecciones naturales de las caras del cilindro:

Generalmente se asume implícitamente que y no están vacíos, en cuyo caso la definición a menudo se formula de manera un poco diferente: en lugar de unir las caras del cilindro a los espacios y , estas caras simplemente se colapsan de una manera sugerida por las proyecciones de unión : formamos el espacio cociente

donde la relación de equivalencia se genera por

En los puntos finales, esto colapsa a y a .

Si y son subconjuntos acotados del espacio euclidiano , y y , donde son subespacios disjuntos de tales que la dimensión de su envoltura afín es (por ejemplo, dos líneas no paralelas que no se intersecan en ), entonces la definición topológica se reduce a la definición geométrica, es decir, la "unión geométrica" ​​es homeomorfa a la "unión topológica": [3] : 75, Prop.4.2.4 

Complejos simpliciales abstractos

Si y son complejos simpliciales abstractos , entonces su unión es un complejo simplicial abstracto definido de la siguiente manera: [3] : 74, Def.4.2.1 

Ejemplos

La definición combinatoria es equivalente a la definición topológica en el siguiente sentido: [3] : 77, Ejercicio.3  para cada dos complejos simpliciales abstractos y , es homeomorfo a , donde denota cualquier realización geométrica del complejo .

Mapas

Dados dos mapas y , su unión se define en función de la representación de cada punto en la unión como , para algún : [3] : 77 

Casos especiales

El cono de un espacio topológico , denotado , es una unión de con un solo punto.

La suspensión de un espacio topológico , denotada , es una unión de con (la esfera de dimensión 0 , o bien, el espacio discreto con dos puntos).

Propiedades

Conmutatividad

La unión de dos espacios es conmutativa hasta el homeomorfismo , es decir .

Asociatividad

No es cierto que la operación de unión definida anteriormente sea asociativa hasta el homeomorfismo para espacios topológicos arbitrarios. Sin embargo, para espacios de Hausdorff localmente compactos tenemos Por lo tanto, se puede definir la unión k veces de un espacio consigo mismo, ( k veces).

Es posible definir una operación de unión diferente que utilice el mismo conjunto subyacente pero con una topología diferente, y esta operación es asociativa para todos los espacios topológicos. Para espacios de Hausdorff localmente compactos y , las uniones y coinciden. [4]

Equivalencia de homotopía

Si y son homotópicamente equivalentes , entonces y también son homotópicamente equivalentes. [3] : 77, Ejercicio.2 

Unión reducida

Dados los complejos CW con punto base y , la "unión reducida"

es homeomorfo a la suspensión reducida

del producto aplastante . En consecuencia, como es contráctil , existe una equivalencia de homotopía.

Esta equivalencia establece el isomorfismo .

Conectividad homotópica

Dados dos espacios triangulables , la conectividad homotópica ( ) de su unión es al menos la suma de las conectividades de sus partes: [3] : 81, Prop.4.4.3 

Como ejemplo, supongamos que hay un conjunto de dos puntos desconectados. Hay un agujero unidimensional entre los puntos, por lo que . La unión es un cuadrado, que es homeomorfo a un círculo que tiene un agujero bidimensional, por lo que . La unión de este cuadrado con una tercera copia de es un octaedro , que es homeomorfo a , cuyo agujero es tridimensional. En general, la unión de n copias de es homeomorfa a y .

Unión eliminada

La unión eliminada de un complejo abstracto A es un complejo abstracto que contiene todas las uniones disjuntas de caras disjuntas de A : [3] : 112 

Ejemplos

Propiedades

La operación de unión eliminada conmuta con la de unión. Es decir, para cada dos complejos abstractos A y B : [3] : Lem.5.5.2 

Demostración . Cada símplex en el complejo del lado izquierdo tiene la forma , donde , y son disjuntos. Debido a las propiedades de una unión disjunta, la última condición es equivalente a: son disjuntos y son disjuntos.

Cada símplex del complejo del lado derecho tiene la forma , donde , y son disjuntos y son disjuntos. Por lo tanto, los conjuntos de símplex en ambos lados son exactamente iguales. □

En particular, la unión eliminada del símplex n-dimensional consigo mismo es el politopo cruzado n-dimensional , que es homeomorfo a la esfera n-dimensional . [3] : Cor.5.5.3 

Generalización

La unión eliminada n-fold k-wise de un complejo simple A se define como:

, donde "disjunto en k sentidos" significa que cada subconjunto de k tiene una intersección vacía.

En particular, la unión n -fold n -wise deleted contiene todas las uniones disjuntas de n caras cuya intersección está vacía, y la unión n -fold 2-wise deleted es más pequeña: contiene solo las uniones disjuntas de n caras que son disjuntas por pares. La unión 2-fold 2-wise deleted es simplemente la unión eliminada simple definida anteriormente.

La unión eliminada dos veces de n pliegues de un espacio discreto con m puntos se denomina complejo de tablero de ajedrez ( m , n ) .

Véase también

Referencias

  1. ^ Colin P. Rourke y Brian J. Sanderson (1982). Introducción a la topología lineal por partes. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-3-642-81735-9. ISBN 978-3-540-11102-3.
  2. ^ Bryant, John L. (1 de enero de 2001), Daverman, RJ; Sher, RB (eds.), "Capítulo 5 - Topología lineal por partes", Handbook of Geometric Topology , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 219-259, ISBN 978-0-444-82432-5, consultado el 15 de noviembre de 2022
  3. ^ abcdefghi Matoušek, Jiří (2007). Uso del teorema de Borsuk-Ulam : lecciones sobre métodos topológicos en combinatoria y geometría (2.ª ed.). Berlín-Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-00362-5Escrito en colaboración con Anders Björner y Günter M. Ziegler, Sección 4.3
  4. ^ Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry (2016). Topología homotópica (2.ª ed.). Springer. pág. 20.