Topología de puntos excluidos

En matemáticas , la topología de punto excluido es una topología donde la exclusión de un punto particular define la apertura . Formalmente, sea X cualquier conjunto no vacío y p ∈ X . La colección

${\displaystyle T=\{S\subseteq X:p\notin S\}\cup \{X\}}$

de subconjuntos de X es entonces la topología de puntos excluidos en X. Hay una variedad de casos que se nombran individualmente:

• Si X tiene dos puntos, se denomina espacio de Sierpiński . Este caso es un tanto especial y se trata por separado.
• Si X es finito (con al menos 3 puntos), la topología en X se llama topología de puntos excluidos finitos.
• Si X es infinito contable , la topología en X se llama topología de punto excluido contable
• Si X es incontable , la topología en X se llama topología de punto excluido incontable

Una generalización es la topología de extensión abierta ; si tiene la topología discreta , entonces la topología de extensión abierta es la topología de punto excluido. ${\displaystyle X\setminus \{p\}}$ ${\displaystyle (X\setminus \{p\})\cup \{p\}}$

Esta topología se utiliza para proporcionar ejemplos y contraejemplos interesantes.

Propiedades

Sea un espacio con la topología de puntos excluidos con punto especial ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p.}$

El espacio es compacto , ya que el único vecindario es todo el espacio. ${\displaystyle p}$

La topología es una topología de Alexandrov . El vecindario más pequeño de es todo el espacio , el vecindario más pequeño de un punto es el singleton . Estos vecindarios más pequeños son compactos. Sus cierres son respectivamente y que también son compactos. Por lo que el espacio es localmente relativamente compacto (cada punto admite una base local de vecindarios relativamente compactos) y localmente compacto en el sentido de que cada punto tiene una base local de vecindarios compactos. Pero los puntos no admiten una base local de vecindarios compactos cerrados. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle x\neq p}$ ${\displaystyle \{x\}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x,p\},}$ ${\displaystyle x\neq p}$

El espacio es ultraconexo , ya que cualquier conjunto cerrado no vacío contiene el punto. Por lo tanto, el espacio también es conexo y conexo por trayectorias . ${\displaystyle p.}$

Véase también

• Espacio topológico finito
• Espacio fuerte
• Lista de topologías
• Topología de puntos particulares

Referencias

• Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, Sr.  0507446