Núcleo (teoría de juegos)

En la teoría de juegos cooperativos , el núcleo es el conjunto de asignaciones o imputaciones factibles donde ninguna coalición de agentes puede beneficiarse al separarse de la gran coalición. Se puede pensar que el núcleo corresponde a situaciones en las que es posible sostener la cooperación entre todos los agentes. Se dice que una coalición mejora o bloquea una asignación factible si los miembros de esa coalición pueden generar entre ellos más valor del que se les asigna en la asignación original. Como tal, esa coalición no está incentivada a permanecer en la gran coalición.

Se dice que una asignación está en el centro de un juego si no hay una coalición que pueda mejorarla. El núcleo es entonces el conjunto de todas las asignaciones factibles.

Origen

La idea del núcleo ya apareció en los escritos de Edgeworth (1881), en aquel momento denominado curva de contrato . ^[1] Aunque von Neumann y Morgenstern lo consideraron un concepto interesante, solo trabajaron con juegos de suma cero donde el núcleo siempre está vacío . La definición moderna de núcleo se debe a Gillies . ^[2]

Definición

Consideremos un juego cooperativo de utilidad transferible donde denota el conjunto de jugadores y es la función característica . Una imputación está dominada por otra imputación si existe una coalición , de modo que cada jugador prefiere débilmente ( por todos ) y existe alguien que prefiere estrictamente ( ), y puede imponerla amenazando con dejar que se forme la gran coalición ( ). El núcleo es el conjunto de imputaciones que no están dominadas por ninguna otra imputación. ^[3] ${\displaystyle (N,v)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$ ${\displaystyle i\in C}$ ${\displaystyle i\in C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \sum _{i\in C}y_{i}\leq v(C)}$

Núcleo débil

Una imputación está fuertemente dominada por otra imputación si existe una coalición , de modo que cada jugador prefiere estrictamente ( para todos ). El núcleo débil es el conjunto de imputaciones que no están fuertemente dominadas. ^[4] ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{i}<y_{i}}$ ${\displaystyle i\in C}$

Propiedades

• Otra definición, equivalente a la anterior, establece que el núcleo es un conjunto de asignaciones de pagos que satisfacen ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{N}}$

1. Eficiencia: , ${\displaystyle \sum _{i\in N}x_{i}=v(N)}$
2. Racionalidad coalicional: para todos los subconjuntos (coaliciones) . ${\displaystyle \sum _{i\in C}x_{i}\geq v(C)}$ ${\displaystyle C\subseteq N}$

• El núcleo siempre está bien definido, pero puede estar vacío .
• El núcleo es un conjunto que satisface un sistema de desigualdades lineales débiles . Por tanto, el núcleo es cerrado y convexo .
• El teorema de Bondareva-Shapley : el núcleo de un juego no está vacío si y sólo si el juego está "equilibrado". ^{[5] [6]}
• Todo equilibrio walrasiano tiene la propiedad central, pero no al revés . La conjetura de Edgeworth establece que, dados supuestos adicionales, el límite del núcleo cuando el número de consumidores llega al infinito es un conjunto de equilibrios walrasianos.
• Sean n jugadores, donde n es impar. Un juego que propone dividir una unidad de un bien entre una coalición que tenga al menos ( n +1)/2 miembros tiene un núcleo vacío. Es decir, no existe ninguna coalición estable.

Ejemplo

Ejemplo 1: mineros

Considere un grupo de n mineros que han descubierto grandes lingotes de oro. Si dos mineros pueden transportar una pieza de oro, entonces el beneficio de una coalición S es

${\displaystyle v(S)={\begin{cases}|S|/2,&{\text{if }}|S|{\text{ is even}};\\(|S|-1)/2,&{\text{if }}|S|{\text{ is odd}}.\end{cases}}}$

Si hay más de dos mineros y hay un número par de mineros, entonces el núcleo consiste en el pago único donde cada minero obtiene la mitad. Si hay un número impar de mineros, entonces el núcleo está vacío.

Ejemplo 2: guantes

El señor A y el señor B están tejiendo guantes. Los guantes son de talla única y dos guantes forman un par que se venden por 5 €. Cada uno ha fabricado tres guantes. ¿Cómo compartir el producto de la venta? El problema se puede describir mediante una función característica de un juego con la siguiente función característica: cada hombre tiene tres guantes, es decir, un par con un valor de mercado de 5 €. En conjunto tienen 6 guantes o 3 pares, teniendo un valor de mercado de 15€. Dado que las coaliciones singleton (que consisten en un solo hombre) son las únicas coaliciones no triviales del juego, todas las distribuciones posibles de esta suma pertenecen al núcleo, siempre que ambos hombres obtengan al menos 5 €, la cantidad que pueden lograr por sí solos. Por ejemplo (7.5, 7.5) pertenece al núcleo, pero también (5, 10) o (9, 6).

Ejemplo 3: zapatos

Por el momento, ignoremos las tallas de zapatos: un par se compone de un zapato izquierdo y otro derecho, que luego se pueden vender por 10 euros. Consideremos un juego con 2001 jugadores: 1000 de ellos tienen 1 zapato izquierdo, 1001 tienen 1 zapato derecho. El núcleo de este juego es algo sorprendente: consiste en una única imputación que da 10 a quienes tienen un zapato izquierdo (escaso) y 0 a quienes poseen un zapato derecho (sobreofertado). Ninguna coalición puede bloquear este resultado, porque ningún propietario del zapato izquierdo aceptará menos de 10, y cualquier imputación que pague una cantidad positiva a cualquier propietario del zapato derecho debe pagar menos de 10.000 en total a los demás jugadores, que pueden obtener 10.000 por su cuenta. . Entonces, hay sólo una imputación en el núcleo.

El mensaje sigue siendo el mismo, incluso si aumentamos las cifras mientras los zapatos izquierdos sean más escasos. El núcleo ha sido criticado por ser extremadamente sensible al exceso de oferta de un tipo de jugador.

El núcleo de la teoría del equilibrio general

Los equilibrios walrasianos de una economía de intercambio en un modelo de equilibrio general estarán en el centro del juego de cooperación entre los agentes. Gráficamente, y en una economía de dos agentes (ver cuadro de Edgeworth), el núcleo es el conjunto de puntos de la curva de contrato (el conjunto de asignaciones óptimas de Pareto) que se encuentran entre cada una de las curvas de indiferencia de los agentes definidas en las dotaciones iniciales.

El núcleo de la teoría del voto

Cuando las alternativas son asignaciones (lista de paquetes de consumo), es natural suponer que cualquier subconjunto no vacío de individuos puede bloquear una asignación determinada. Sin embargo, cuando las alternativas son públicas (como la cantidad de un determinado bien público), es más apropiado suponer que sólo las coaliciones que sean lo suficientemente grandes pueden bloquear una alternativa determinada. El conjunto de coaliciones tan grandes ("ganadoras") se denomina juego simple . El núcleo de un juego simple con respecto a un perfil de preferencias se basa en la idea de que sólo las coaliciones ganadoras pueden rechazar una alternativa en favor de otra alternativa . Una condición necesaria y suficiente para que el núcleo no esté vacío para todos los perfiles de preferencias se proporciona en términos del número de Nakamura para el juego simple. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ver también

• Negociación cooperativa
• Economía del bienestar
• eficiencia de Pareto
• Teorema de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz-Shapley : fundamental para demostrar que el núcleo no está vacío.

Referencias

1. Kannai, Y. (1992). "El núcleo y el equilibrio". En Aumann, Robert J .; Hart, Sergiu (eds.). Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas . vol. I. Ámsterdam: Elsevier. págs. 355–395. ISBN 978-0-444-88098-7.
2. Gillies, DB (1959). "Soluciones para juegos generales de suma distinta de cero". En Tucker, AW ; Luce, RD (eds.). Aportaciones a la Teoría de Juegos IV . Anales de estudios de matemáticas. vol. 40. Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton . págs. 47–85.
3. Como señaló Shapley, LS; Shubik, M. (1969). "Juegos en el mercado". Revista de teoría económica . 1 (1): 9–25. doi :10.1016/0022-0531(69)90008-8. S2CID  153498438.gracias a la contribución del Sr. E. Kohlberg
4. Yu, Chaowen (8 de diciembre de 2020). "Una nota sobre el núcleo débil de los juegos simples con preferencias ordinarias e innumerables alternativas". Revista Electrónica SSRN . doi : 10.2139/ssrn.3225500 .
5. Bondareva, Olga N. (1963). "Algunas aplicaciones de los métodos de programación lineal a la teoría de los juegos cooperativos (en ruso)". Kybernetiki problemático . 10 : 119-139.
6. Shapley, Lloyd S. (1967). "Sobre conjuntos y núcleos equilibrados". Logística de investigación naval trimestral . 14 (4): 453–460. doi : 10.1002/nav.3800140404. hdl : 10338.dmlcz/135729 .

Trabajos citados

• Edgeworth, Francisco Ysidro (1881). Psíquicos matemáticos: un ensayo sobre la aplicación de las matemáticas a las ciencias morales. Londres: CK Paul.

Otras lecturas

• Ichiishi, Tatsuro (1983). "Comportamiento cooperativo y estabilidad". Teoría de juegos para el análisis económico . Nueva York: Academic Press. págs. 77-117. ISBN 0-12-370180-5.
• Osborne, Martín J.; Rubinstein, Ariel (1994). Un curso de teoría de juegos . La prensa del MIT.
• Peleg, B (1992). "Axiomatizaciones del Núcleo". En Aumann, Robert J .; Hart, Sergiu (eds.). Manual de teoría de juegos con aplicaciones económicas . vol. I. Ámsterdam: Elsevier. págs. 397–412. ISBN 978-0-444-88098-7.
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: fundamentos lógicos, algorítmicos y de teoría de juegos. Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.
• Telser, Lester G. (1994). "La utilidad de la teoría central en economía". Revista de perspectivas económicas . 8 (2): 151–164. doi : 10.1257/jep.8.2.151 .