En los juegos totalmente cooperativos, los jugadores optarán por formar coaliciones cuando el valor de la recompensa sea igual o mayor que si trabajaran solos. [1] El objetivo del juego es encontrar distribuciones aceptables de los beneficios de la gran coalición. Las distribuciones en las que un jugador recibe menos de lo que podría obtener por sí solo, sin cooperar con nadie más, son inaceptables, una condición conocida como racionalidad individual . Las imputaciones son distribuciones que son eficientes e individualmente racionales.
Para juegos de 2 jugadores el conjunto de imputaciones coincide con el núcleo , concepto popularmente estudiado por su estabilidad frente a las desviaciones del grupo. [2] El núcleo es un concepto de solución de juegos cooperativos y consta de múltiples imputaciones, un conjunto de distribuciones como resultado de un juego. Ninguna coalición puede mejorar el núcleo. [3] Sin embargo, surgirán problemas a la hora de seleccionar un conjunto de imputaciones y será necesario negociar.
La teoría de negociación de Nash, un tipo de negociación cooperativa , se utiliza para resolver este problema en juegos de 2 jugadores, pero no producirá ningún resultado en ningún juego que utilice más de dos jugadores. [2] Esta solución tiene como objetivo maximizar la recompensa. para ambos jugadores. [3] Dos métodos más para calcular la resolución de estos juegos son The Shapley Value y Schmeidler's Nucleolus . [2]
Ambos cálculos tienen problemas con su resultado. Los resultados calculados a partir del valor de Shapley contienen la posibilidad de situarse fuera de las limitaciones del núcleo. El nucleolo de Schmeidler no se puede calcular cuando el núcleo es nulo. Sin embargo, el Nucleolus de Schmeidler se calcula asumiendo que existe un poder de negociación igual, lo cual no es realista en la mayoría de las situaciones, ya que no tiene en cuenta las diferencias en el poder de negociación que se originan en influencias externas. [2] El Nucleolo de Schmeidler se refiere a la imputación que minimiza el exceso máximo, una función min-max. Sin embargo, la definición de Nucleolus de Schmeidler también se puede extender a otras funciones minimizando una función de agregación creciente del exceso en un juego. [2]
Otras soluciones incluyen la solución de Kalai-Smorodinsky y la solución igualitaria de Kalai. Kalai-Smorodinsky calcula la recompensa que es proporcional a las ganancias ideales de los jugadores, mientras que la solución igualitaria de Kalai iguala las ganancias de los jugadores. [3]
Un problema importante en la teoría de los juegos dinámicos cooperativos es la consistencia temporal de una función de imputación dada (en la literatura rusa se denomina principio de estabilidad dinámica del óptimo ). Digamos que varios jugadores han llegado a un acuerdo de cooperación al comienzo del juego. Obviamente, un jugador racional abandonará el acuerdo si puede lograr un mejor resultado al abandonarlo, sin importar lo que se haya anunciado antes. La condición que garantiza la sostenibilidad del acuerdo de cooperación se conoce como coherencia temporal . Se propusieron varios métodos de regularización (integral y diferencial) basados en el IDP (procedimientos de distribución de imputación).
La señora Arnold y la señora Bauer están tejiendo guantes. Los guantes son de talla única y dos guantes forman un par que se venden por 5 €. Cada uno ha hecho 3 guantes. ¿Cómo comparten las ganancias de la venta? El problema se puede describir mediante una función característica de un juego con la siguiente función característica: cada dama tiene 3 guantes, es decir 1 par con un valor de mercado de 5 €. En conjunto tienen 6 guantes o 3 pares, teniendo un valor de mercado de 15€. Entonces, el reparto de esta suma es una imputación, siempre que ninguna de las mujeres reciba menos de 5 euros, cantidad que pueden conseguir por sí solas. Por ejemplo (7.5, 7.5) es una imputación, pero también lo es (5, 10) o (9, 6).
El ejemplo se puede generalizar. Supongamos que la señora Carlson y la señora Delacroix también son parte del club donde cada dama ha hecho 3 guantes. Ahora el total es 12 guantes (seis pares), lo que supone 30 €. Al mismo tiempo, una de las mujeres solas sólo puede ganar 5 €. Así, las imputaciones se reparten 30€ de manera que nadie recibe menos de 5€. Son posibles imputaciones las siguientes: (7,5, 7,5, 7,5, 7,5), (10, 5, 10, 5), (5, 15, 5, 5) o (7, 5, 9, 9).
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