Teorema de Dirichlet sobre progresiones aritméticas

Teorema sobre el número de primos en sucesiones aritméticas

En teoría de números , el teorema de Dirichlet , también llamado teorema de los números primos de Dirichlet , establece que para dos números enteros coprimos positivos a y  d , hay infinitos primos de la forma a  +  nd , donde n también es un entero positivo. En otras palabras, hay infinitos primos que son congruentes con a módulo d . Los números de la forma a  +  nd forman una progresión aritmética.

${\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ \dots ,\ }$

y el teorema de Dirichlet establece que esta secuencia contiene una cantidad infinita de números primos. El teorema extiende el teorema de Euclides de que hay una cantidad infinita de números primos. Las formas más fuertes del teorema de Dirichlet establecen que para cualquier progresión aritmética de este tipo, la suma de los recíprocos de los números primos en la progresión diverge y que diferentes progresiones aritméticas de este tipo con el mismo módulo tienen aproximadamente las mismas proporciones de primos. De manera equivalente, los primos se distribuyen uniformemente (asintóticamente) entre las clases de congruencia módulo d que contienen a' s coprimo a d .

El teorema debe su nombre al matemático alemán Peter Gustav Lejeune Dirichlet , quien lo demostró en 1837.

Ejemplos

Los primos de la forma 4 n + 3 son (secuencia A002145 en la OEIS )

3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

Corresponden a los siguientes valores de n : (secuencia A095278 en la OEIS )

0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

La forma fuerte del teorema de Dirichlet implica que

${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{19}}+{\frac {1}{23}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{47}}+{\frac {1}{59}}+{\frac {1}{67}}+\cdots }$

es una serie divergente .

Las sucesiones dn  +  a con d impar a menudo se ignoran porque la mitad de los números son pares y la otra mitad son los mismos números que una sucesión con 2 d , si comenzamos con n  = 0. Por ejemplo, 6 n  + 1 produce los mismos primos que 3 n  + 1, mientras que 6 n  + 5 produce lo mismo que 3 n  + 2 excepto por el único primo par 2. La siguiente tabla enumera varias progresiones aritméticas con infinitos primos y los primeros en cada una de ellas.

Distribución

Como los primos se reducen, en promedio, de acuerdo con el teorema de los números primos , lo mismo debe ser cierto para los primos en progresiones aritméticas. Es natural preguntarse cómo se reparten los primos entre las diversas progresiones aritméticas para un valor dado de d (hay d de ellas, esencialmente, si no distinguimos dos progresiones que comparten casi todos sus términos). La respuesta se da de esta forma: el número de progresiones factibles módulo  d —aquellas donde a y d no tienen un factor común > 1— está dado por la función totiente de Euler .

${\displaystyle \varphi (d).\ }$

Además, la proporción de primos en cada uno de ellos es

${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (d)}}.\ }$

Por ejemplo, si d es un número primo q , cada una de las  progresiones q − 1

${\displaystyle q+1,2q+1,3q+1,\dots \ }$

${\displaystyle q+2,2q+2,3q+2,\dots \ }$

${\displaystyle \dots \ }$

${\displaystyle q+q-1,2q+q-1,3q+q-1,\dots \ }$

(todos excepto ) ${\displaystyle q,2q,3q,\dots \ }$

contiene una proporción 1/( q  − 1) de los primos.

En comparación entre sí, las progresiones con un resto cuadrático sin residuo suelen tener ligeramente más elementos que aquellas con un resto cuadrático sin residuo ( sesgo de Chebyshev ).

Historia

En 1737, Euler relacionó el estudio de los números primos con lo que ahora se conoce como la función zeta de Riemann: demostró que el valor se reduce a una relación de dos productos infinitos, Π p / Π ( p –1), para todos los primos p , y que la relación es infinita. ^{[1] [2]} En 1775, Euler enunció el teorema para los casos de a + nd, donde a = 1. ^[3] Este caso especial del teorema de Dirichlet se puede demostrar utilizando polinomios ciclotómicos . ^[4] La forma general del teorema fue conjeturada por primera vez por Legendre en sus intentos fallidos de pruebas de reciprocidad cuadrática ^[5] —como señaló Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae ^[6] — pero fue demostrada por Dirichlet  (1837) con la serie L de Dirichlet . La prueba se basa en el trabajo anterior de Euler que relaciona la función zeta de Riemann con la distribución de números primos. El teorema representa el comienzo de la teoría analítica rigurosa de números . ${\displaystyle \zeta (1)}$

Atle Selberg  (1949) dio una prueba elemental .

Prueba

El teorema de Dirichlet se demuestra mostrando que el valor de la función L de Dirichlet (de carácter no trivial ) en 1 es distinto de cero. La prueba de esta afirmación requiere algo de cálculo y teoría analítica de números (Serre 1973). El caso particular a = 1 (es decir, relativo a los primos que son congruentes con 1 módulo algún n ) se puede demostrar analizando el comportamiento de desdoblamiento de los primos en extensiones ciclotómicas, sin hacer uso del cálculo (Neukirch 1999, §VII.6).

Generalizaciones

La conjetura de Bunyakovsky generaliza el teorema de Dirichlet a polinomios de grado superior. Si incluso polinomios cuadráticos simples como x ² + 1 (conocido a partir del cuarto problema de Landau ) alcanzan o no una cantidad infinita de valores primos es un importante problema abierto .

La conjetura de Dickson generaliza el teorema de Dirichlet a más de un polinomio.

La hipótesis H de Schinzel generaliza estas dos conjeturas, es decir, se generaliza a más de un polinomio con grado mayor que uno.

En la teoría de números algebraicos , el teorema de Dirichlet se generaliza al teorema de densidad de Chebotarev .

El teorema de Linnik (1944) se refiere al tamaño del primo más pequeño en una progresión aritmética dada. Linnik demostró que la progresión a  +  nd (a medida que n pasa por los enteros positivos) contiene un primo de magnitud como máximo cd ^L para constantes absolutas c y L . Investigadores posteriores redujeron L a 5.

Un análogo del teorema de Dirichlet se aplica en el marco de los sistemas dinámicos ( T. Sunada y A. Katsuda, 1990).

Shiu demostró que cualquier progresión aritmética que satisfaga la hipótesis del teorema de Dirichlet contendrá de hecho series arbitrariamente largas de números primos consecutivos . ^[7]

Véase también

• Teorema de Bombieri-Vinogradov
• Teorema de Brun-Titchmarsh
• Teorema de Siegel-Walfisz
• Teorema de aproximación de Dirichlet
• Teorema de Green-Tao

Notas

1. Euler, Leonhard (1737). "Variae observaciones sobre series infinitas" [Varias observaciones sobre series infinitas]. Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae . 9 : 160–188.; específicamente, el Teorema 7 en las págs. 172-174.
2. Sandifer, C. Edward, Las matemáticas tempranas de Leonhard Euler (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 2007), pág. 253.
3. Leonhard Euler, "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 - 1/5 + 1/7 + 1/11 - 1/13 - 1/17 + 1/19 + 1/23 - 1/29 + 1/ 31 etc. ubi numeri primi formae 4 n − 1 habent signum positivum, formae autem 4 n + 1 signum negativum" (Sobre la suma de series [compuestas] de números primos ordenados 1/3 − 1/5 + 1/7 + 1 /11 − 1/13 − 1/17 + 1/19 + 1/23 − 1/29 + 1/31 etc., donde los números primos de la forma 4 n − 1 tienen signo positivo, mientras que [aquellos] de la forma 4 n + 1 [tienen] un signo negativo.) en: Leonhard Euler, Opuscula analytica (San Petersburgo, Rusia: Academia Imperial de Ciencias, 1785), vol. 2, pp. 240–256 ; ver pág. 241. Desde la pág. 241: "Quoniam porro numeri primi praeter binarium quasi a natura in duas classs distinguuntur, prouti fuerint vel formae 4n + 1, vel formae 4n − 1, dum priores omnes sunt summae duorum quadratorum, posteriores vero ab hac proprietate penitus excluduntur: series reciprocae ex clases utracas formatae, scillicet: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + etc. et 1/3 + 1/7 + 1/11 + 1/19 + 1/23 + etc. ambae erunt pariter infinitae, id quod etiam de omnibus speciebus numerorum primorum est tenendum Ita si ex numeris primis ii tantum excerpantur, qui sunt formae. 100n + 1, cuiusmodi sunt 101, 401, 601, 701, etc., non solum multitudo eorum est infinita, sed etiam summa huius seriei ex illis formatae, scillicet: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701. + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. etiam est infinita." (Puesto que, además, los números primos mayores que dos se dividen como por naturaleza en dos clases, según sean de la forma 4 n + 1, o de la forma 4 n − 1, ya que todos los primeros son sumas de dos cuadrados, pero estos últimos están completamente excluidos de esta propiedad: series recíprocas formadas a partir de ambas clases, a saber: 1/5 + 1/13 + 1/17 + 1/29 + etc. y 1/3 + 1/7 + 1 /11 + 1/19 + 1/23 + etc. serán ambos igualmente infinitos, lo que [propiedad] también se obtiene de todos los tipos de números primos. Por lo tanto, si se eligen de los números primos sólo aquellos que son de la forma 100n + 1, de cuya clase son 101, 401, 601, 701, etc., no sólo el conjunto de estos es infinito, sino también la suma de la serie formada a partir de esa [conjunto], a saber: 1/101 + 1/401 + 1/601 + 1/701 + 1/1201 + 1/1301 + 1/1601 + 1/1801 + 1/1901 + etc. igualmente es infinito.)
4. Neukirch (1999), §I.10, Ejercicio 1.
5. Ver:
   • Le Gendre (1785) "Recherches d'analyse indéterminée" (Investigaciones de análisis interdeterminado), Histoire de l'Académie royale des sciences, avec les mémoires de mathématique et de physique , págs. 465–559; ver especialmente p. 552. De la pág. 552: "34. Remarque . Il seroit peut-être nécessaire de démontrer rigoureusement une chose que nous avons supposée dans plusieurs endroits de este artículo, savoir, qu'il ya une infinité de nombres premiers compris dans tous progresiva arithmétique, dont le premier terme & la raison sont premiers entr'eux, ou, ce qui revient au même, dans la formule 2mx + μ, lorsque 2m & μ n'ont point de commun diviseur. Esta proposición es difícil de demostrar, cependant on peut s'assurer. qu'elle est vraie, en comparación con la progresión aritmética dont il s'agit, à la progresión ordinaria 1, 3, 5, 7, etc. Si on prend un gran nombre de términos de estas progresiones, le même dans les deux, & qu'on les dispose, par exemple, de manière que le plus grand terme soit égal & à la même place de part & d'autre; on verra qu'en omettant de chaque côté les multiples de 3, 5, 7, &c. Sólo con un cierto nombre primero p , debe descansar de dos dedos el mismo nombre de términos, o incluso descansar menos en la progresión 1, 3, 5, 7, etc. Pero como en estos casos, el resto necesariamente de los primeros nombres, debe permanecer también en el otro." (34. Observación . Tal vez sea necesario probar rigurosamente algo que hemos asumido en varios lugares de este artículo, es decir, que hay una infinidad de números primos incluidos en toda progresión aritmética, cuyo primer término y diferencia común son coprimos, o, lo que es lo mismo, en la fórmula 2mx + μ, cuando 2m y μ no tienen ningún término común. divisores en absoluto. Esta proposición es bastante difícil de demostrar, sin embargo, uno puede estar seguro de que es verdadera, comparando la progresión aritmética en consideración con la progresión ordinaria 1, 3, 5, 7, etc. Si uno toma un gran número de términos de estas progresiones, el mismo [número de términos] en ambas, y si uno los organiza, por ejemplo, de manera que el término más grande sea igual y esté en el mismo lugar en ambas; uno verá que omitiendo de cada uno los múltiplos de 3, 5, 7, etc., hasta un cierto número primo p , debería quedar en ambos el mismo número de términos, o incluso quedarán menos de ellos en la progresión 1 , 3, 5, 7, etc. Pero como en este [conjunto] necesariamente quedan números primos, también quedarán algunos en el otro [conjunto].)
   • AM Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres (París, Francia: Duprat, 1798), Introducción, págs. 9-16. De la pág. 12: "XIX. … En general, a étant un nombre donné quelconque, tout nombres impair peut être représenté par la formule 4ax ± b, dans laquelle b est impair et moindre que 2a. Si parmi tous les valeursposibles de b en retranche celles qui ont un commun diviseur avec a, les formes restantes 4ax ± b comprendront tous les nombres premiers partagé, … " (XIX. … En general, siendo a cualquier número dado, todos los números impares pueden representarse mediante la fórmula 4ax ± b , en el cual b es impar y menor que 2a , si entre todos los valores posibles de b se eliminan los que tienen divisor común con a , las fórmulas restantes 4ax ± b incluyen entre ellos todos los números primos … )
   • AM Legendre, Essai sur la Théorie des Nombres , 2ª ed. (París, Francia: Courcier, 1808), pág. 404. De la pág. 404: "Soit donnée una progresión aritmética quelconque A - C, 2A - C, 3A - C, etc., dans laquelle A et C sont premiers entre eux; soit donnée aussi une suite θ, λ, μ… ψ, ω, composée de k nombres premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un order quelconque; si on appelle en général π ^(z) le z ^ième terme de la suite natural des nombres premiers 3, 5, 7, 11, etc., je dis que sur π ^(k-1) términos consecutivos de la progresión propuesta, il y en aura au moins un qui ne será divisible par aucun des nombres premiers θ, "λ, μ … ψ, ω." (Dada una progresión aritmética cualquiera A − C , 2 A − C , 3 A − C , etc., en la que A y C son primos entre sí [es decir, coprimos]; dada también una serie θ, λ , μ … ψ, ω compuesto de k números primos impares, tomados a voluntad y dispuestos en cualquier orden; si se llama en general π ^{( z )} al ^término z de la serie natural de los números primos 3, 5, 7, 11, etc., afirmo que entre los π ^{( k −1)} términos consecutivos de la progresión propuesta, habrá al menos uno de ellos que no será divisible por ninguno de los números primos θ, λ, μ … ψ, ω. ) Esta afirmación fue demostrada falsa en 1858 por Anthanase Louis Dupré (1808-1869). Véase:

   • Dupré, A. (1859) Examen d'une proposition de Legendre related à la théorie des nombres [Examen de una proposición de Legendre sobre la teoría de números] (París, Francia: Mallet-Bachelier, 1859).
   • Narkiewicz, Władysław, El desarrollo de la teoría de los números primos: desde Euclides hasta Hardy y Littlewood (Berlín, Alemania: Springer, 2000); véase especialmente la pág. 50.

6. Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones arithmeticae (Leipzig, (Alemania): Gerhard Fleischer, Jr., 1801), sección 297, págs. 507–508. De las págs. 507–508: "Ill. Le Gendre ipse fattur, demostraem theorematis, sub tali forma kt + l , designantibus k , l numeros inter se primos datos, t indefinitum, certo contineri numeros primos, satis difficilem videri, metodumque obiter addigitat , quae forsan illuc conducere possit; multae vero disquisitiones praeliminares necessariae nobis videntur, antequam hacce quidem via ad demostraem rigorosam pervenire liceat." (El ilustre Le Gendre mismo admite [que] la prueba del teorema — [a saber, que] entre [números enteros de] la forma kt + l , [donde] k y l denotan números enteros dados [que son] primos entre sí [es decir , coprimos] [y] t denota una variable, seguramente los números primos están contenidos — parece bastante difícil, y de paso, señala un método que tal vez podría conducir a ello; sin embargo, prevemos muchas investigaciones preliminares y necesarias. antes de que esta [conjetura] pueda efectivamente alcanzar el camino hacia una prueba rigurosa.)
7. Shiu, DKL (2000). "Cadenas de primos congruentes". J. London Math. Soc . 61 (2): 359–373. doi :10.1112/s0024610799007863.

Referencias

• Apostol, Tom M. (1976), Introducción a la teoría analítica de números , Textos de pregrado en matemáticas, Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929, Zbl  0335.10001
• Weisstein, Eric W. "Teorema de Dirichlet". MathWorld .
• Chris Caldwell, "Teorema de Dirichlet sobre números primos en progresiones aritméticas" en Prime Pages .
• Dirichlet, PGL (1837), "Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält" [Prueba del teorema de que toda progresión aritmética ilimitada, cuyo primer término y la diferencia común son números enteros sin factores comunes, contiene infinitos números primos], Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin , 48 : 45–71
• Neukirch, Jürgen (1999), Teoría algebraica de números. Traducido del original alemán de 1992 y con una nota de Norbert Schappacher , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 322, Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-65399-6, MR  1697859, Zbl  0956.11021.
• Selberg, Atle (1949), "Una prueba elemental del teorema de Dirichlet sobre los números primos en una progresión aritmética", Annals of Mathematics , 50 (2): 297–304, doi :10.2307/1969454, JSTOR  1969454, Zbl  0036.30603.
• Serre, Jean-Pierre (1973), Un curso de aritmética , Graduate Texts in Mathematics , vol. 7, Nueva York; Heidelberg; Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-90040-3, Zbl0256.12001 ​.
• Sunada, Toshikazu ; Katsuda, Atsushi (1990), "Órbitas cerradas en clases de homología", Publ. Math. IHÉS , 71 : 5–32, doi :10.1007/BF02699875, S2CID  26251216.

Enlaces externos

• Escaneos del artículo original en alemán
• Dirichlet: Hay infinitos números primos en todas las progresiones aritméticas con primer término y diferencia coprimos
• Teorema de Dirichlet de Jay Warendorff, Proyecto de demostraciones Wolfram .