Cero elevado a cero

Cero elevado a cero , denotado por $00$ , es una expresión matemática que se define como 1 o se deja sin definir , según el contexto. En álgebra y combinatoria , normalmente se define $00 = 1.$ En análisis matemático , la expresión a veces se deja sin definir. Los lenguajes y el software de programación informática también tienen diferentes formas de manejar esta expresión.

Exponentes discretos

Muchas fórmulas de uso generalizado que involucran exponentes de números naturales requieren que $00$ se defina como $1$ . Por ejemplo, las siguientes tres interpretaciones de $b 0$ tienen tanto sentido para $b = 0$ como para los números enteros positivos $b$ :

La interpretación de $b 0$ como un producto vacío le asigna el valor $1$ .
La interpretación combinatoria de $b 0$ es el número de 0-tuplas de elementos de un conjunto de $b$ elementos; hay exactamente una 0-tupla.
La interpretación de la teoría de conjuntos de $b 0$ es el número de funciones desde el conjunto vacío hasta un conjunto $de b$ elementos; existe exactamente una función de este tipo, a saber, la función vacía . ^[1]

Los tres se especializan para dar $00 = 1$ .

Polinomios y series de potencias

Al evaluar polinomios , es conveniente definir $00$ como $1.$ Un polinomio (real) es una expresión de la forma $a 0 x 0 + \cdot\cdot\cdot + a n x n$ , donde $x$ es un indeterminado y los coeficientes $a i$ son números reales . Los polinomios se suman término por término y se multiplican aplicando la ley distributiva y las reglas usuales para exponentes. Con estas operaciones, los polinomios forman un anillo $R [x]$ . La identidad multiplicativa de $R [x]$ es el polinomio $x0$ ; es decir, $x0 por$ cualquier polinomio $p (x)$ es simplemente $p (x)$ . ^{[2] Además} $,$ los polinomios se pueden evaluar especializando $x$ en un número real. Más precisamente, para cualquier número real dado $r$ , existe un homomorfismo R $-álgebra unital único ev r : R [x] \to R$ tal que $ev r (x) = r$ . Como $ev r$ es unital, $ev r (x 0) = 1$ . Es decir, $r 0 = 1$ para cada número real $r$ , incluido 0. El mismo argumento se aplica con $R$ reemplazado por cualquier anillo . ^[3]

La definición de $00 = 1$ es necesaria para muchas identidades polinómicas. Por ejemplo, el teorema del binomio se cumple para $x$ $= 0$ solo si $0$ $0$ $= 1.$ [ ^4] ${\textstyle (1+x)^{n}=\sum _ {k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}}$

De manera similar, los anillos de series de potencias requieren que $x 0$ se defina como 1 para todas las especializaciones de $x$ . Por ejemplo, identidades como y se cumplen para $x$ $= 0$ solo si $0$ $0$ $= 1$ . ^[5] ${\textstyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}}$ ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

Para que el polinomio $x 0$ defina una función continua $R \to R$ , se debe definir $00 = 1$ .

En cálculo , la regla de potencia es válida para $n$ $= 1$ en $x$ $= 0$ sólo si $0$ $0$ $= 1$ . ${\textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}$

Exponentes continuos

Gráfica de $z = x y$ . Las curvas rojas (con $z$ constante) arrojan diferentes límites a medida que $(x, y)$ se acerca a $(0, 0)$ . Las curvas verdes (de pendiente constante finita, $y = ax$ ) arrojan un límite de $1$ .

Los límites que involucran operaciones algebraicas a menudo se pueden evaluar reemplazando subexpresiones con sus límites; si la expresión resultante no determina el límite original, la expresión se conoce como una forma indeterminada . ^[6] La expresión $00$ es una forma indeterminada: Dadas funciones de valor real $f (t)$ y $g (t)$ que tienden a $0$ (cuando $t$ se acerca a un número real o $\pm\infty$ ) con $f (t) > 0$ , el límite de $f (t) g (t)$ puede ser cualquier número real no negativo o $+\infty$ , o puede divergir , dependiendo de $f$ y $g$ . Por ejemplo, cada límite a continuación involucra una función $f (t) g (t)$ con $f (t), g (t) \to 0$ cuando $t \to 0 +$ (un límite unilateral ), pero sus valores son diferentes: $\lim_{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{t}=0,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t^{2}}\right)^{-t}=+\infty ,$ $\lim _{t\to 0^{+}}\left(e^{-1/t}\right)^{at}=e^{-a}.$

Por lo tanto, la función de dos variables $x y$ , aunque es continua en el conjunto ${(x, y) : x > 0}$ , no puede extenderse a una función continua en ${(x, y) : x > 0} \cup {(0, 0)}$ , sin importar cómo se elija definir $00$ . ^[7]

Por otra parte, si $f$ y $g$ son funciones analíticas en un entorno abierto de un número $c$ , entonces $f (t) g (t) \to 1$ cuando $t$ se acerca $a c$ desde cualquier lado en el que $f$ sea positivo. ^[8] Este y otros resultados más generales se pueden obtener estudiando el comportamiento límite de la función . ^[9]^[10] ${\textstyle \log(f(t)^{g(t)})=g(t)\log f(t)}$

Exponentes complejos

En el dominio complejo , la función $z w$ puede definirse para $z$ distinto de cero eligiendo una rama de $log z$ y definiendo $z w$ como $e w log z$ . Esto no define $0 w$ ya que no hay una rama de $log z$ definida en $z = 0$ , y mucho menos en un entorno de $0$ . ^[11]^[12]^[13]

Historia

Como valor

En 1752, Euler en Introductio in analysin infinitorum escribió que $a 0 = 1$ ^[14] y mencionó explícitamente que $00 = 1.$ [ ^15] Una anotación atribuida ^[16] a Mascheroni en una edición de 1787 del libro de Euler Institutiones calculi Differentialis^[17] ofrecía la "justificación"

$0^{0}=(aa)^{nn}={\frac {(aa)^{n}}{(aa)^{n}}}=1$

así como otra justificación más compleja. En la década de 1830, Libri ^[18]^[16] publicó varios argumentos adicionales que intentaban justificar la afirmación $00 = 1$ , aunque estos estaban lejos de ser convincentes, incluso para los estándares de rigor de la época. ^[19]

Como forma limitante

Euler, al establecer $00 = 1$ , mencionó que en consecuencia los valores de la función $0 x$ dan un "salto enorme", desde $\infty$ para $x < 0$ , a $1$ en $x = 0$ , a $0$ para $x > 0$ . ^[14] En 1814, Pfaff utilizó un argumento del teorema del apretón para demostrar que $x x \to 1$ cuando $x \to 0 +$ . ^[8]

Por otra parte, en 1821 Cauchy ^[20] explicó por qué el límite de $x y$ cuando los números positivos $x$ e $y$ tienden a $0$ mientras están restringidos por alguna relación fija podría asumir cualquier valor entre $0$ y $\infty$ eligiendo la relación apropiadamente. Dedujo que el límite de la función completa de dos variables $x y$ sin una restricción especificada es "indeterminado". Con esta justificación, listó $00$ junto con expresiones como $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠0/0⁠$ en una tabla de formas indeterminadas .

Aparentemente sin conocer el trabajo de Cauchy, Möbius ^[8] en 1834, basándose en el argumento de Pfaff, afirmó incorrectamente que $f (x) g (x) \to 1$ siempre que $f (x), g (x) \to 0$ cuando $x$ se acerca a un número $c$ (presumiblemente $f$ se supone positiva lejos de $c$ ). Möbius redujo al caso $c = 0$ , pero luego cometió el error de suponer que cada uno de $f$ y $g$ podría expresarse en la forma $Px n$ para alguna función continua $P$ que no se anule en $0$ y algún entero no negativo $n$ , lo que es cierto para funciones analíticas, pero no en general. Un comentarista anónimo señaló el paso injustificado; ^[21] Luego, otro comentarista que firmó su nombre simplemente como "S" proporcionó los contraejemplos explícitos $(e -1/ x) x \to e -1$ y $(e -1/ x) 2 x \to e -2$ cuando $x \to 0 +$ y expresó la situación escribiendo que " $00$ puede tener muchos valores diferentes". ^[21]

Situación actual

Algunos autores definen $00$ como $1$ porque simplifica muchas afirmaciones de teoremas. Según Benson (1999), "La elección de definir $00$ se basa en la conveniencia, no en la corrección. Si nos abstenemos de definir $00$ , entonces ciertas afirmaciones se vuelven innecesariamente incómodas. ... El consenso es utilizar la definición $00 = 1$ , aunque hay libros de texto que se abstienen de definir $00$ ." ^[22] Knuth (1992) sostiene con más fuerza que $00$ " tiene que ser $1$ "; Establece una distinción entre el valor $00$ , que debería ser igual a $1$ , y la forma límite $00$ (una abreviatura de un límite de $f (t) g (t)$ donde $f (t), g (t) \to 0$ ), que es una forma indeterminada: "Tanto Cauchy como Libri tenían razón, pero Libri y sus defensores no entendían por qué la verdad estaba de su lado". ^[19]
Otros autores dejan $00$ sin definir porque $00$ es una forma indeterminada: $f (t), g (t) \to 0$ no implica $f (t) g (t) \to 1$ . ^[23]^[24]

No parece haber ningún autor que asigne $a 0 0$ un valor específico distinto de 1. ^[22]

Tratamiento en ordenadores

Estándar de punto flotante IEEE

El estándar de punto flotante IEEE 754-2008 se utiliza en el diseño de la mayoría de las bibliotecas de punto flotante. Recomienda una serie de operaciones para calcular una potencia: ^[25]

pown(cuyo exponente es un entero) trata $00$ como $1$ ; ver § Exponentes discretos.
pow(cuya intención es devolver un resultado que no sea NaN cuando el exponente es un entero, como pown) trata $00$ como $1$ .
powrtrata $00$ como NaN (no es un número) debido a la forma indeterminada; consulte § Exponentes continuos.

La powvariante está inspirada en la powfunción de C99 , principalmente por cuestiones de compatibilidad. ^[26] Es útil principalmente para lenguajes con una sola función de potencia. Las variantes powny powrse han introducido debido al uso conflictivo de las funciones de potencia y los diferentes puntos de vista (como se indicó anteriormente). ^[27]

Lenguajes de programación

Los estándares C y C++ no especifican el resultado de $00$ (puede ocurrir un error de dominio). Pero para C, a partir de C99 , si se admite el anexo normativo F, se requiere que el resultado para tipos de punto flotante reales sea $1$ porque hay aplicaciones significativas para las que este valor es más útil que NaN ^[28] (por ejemplo, con exponentes discretos); el resultado en tipos complejos no se especifica, incluso si se admite el anexo informativo G. El estándar Java , ^[29] el método .NET Framework , ^[30]Julia y Python ^[31]^[32] también tratan $0$ $0$ como $1.$ Algunos lenguajes documentan que su operación de exponenciación corresponde a la función de la biblioteca matemática C ; este es el caso del operador de Lua ^[33] y el operador de Perl ^[34] (donde se menciona explícitamente que el resultado de depende de la plataforma). System.Math.Pow pow^**0**0

Software matemático y científico

R , ^[35] SageMath , ^[36] y PARI/GP ^[37] evalúan $x 0$ a $1$ . Mathematica ^[38] simplifica $x 0$ a $1$ incluso si no se imponen restricciones en $x$ ; sin embargo, si se ingresa $00$ directamente, se trata como un error o indeterminado. Mathematica ^[38] y PARI/GP ^[37]^[39] distinguen además entre valores enteros y de punto flotante: si el exponente es un cero de tipo entero, devuelven un $1$ del tipo de la base; la exponenciación con un exponente de punto flotante de valor cero se trata como indefinida, indeterminada o error.

Véase también

Referencias

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Enlaces externos

Preguntas frecuentes de sci.math: ¿Qué es 00?
¿A qué equivale 00 (cero elevado a cero)? en AskAMathematician.com