Tesis de Church-Turing

Tesis sobre la naturaleza de la computabilidad

En teoría de la computabilidad , la tesis de Church-Turing (también conocida como tesis de computabilidad , ^[1] tesis de Turing-Church , ^[2] conjetura de Church -Turing , tesis de Church , conjetura de Church y tesis de Turing ) es una tesis sobre la naturaleza de funciones computables . Afirma que una función sobre los números naturales puede calcularse mediante un método eficaz si y sólo si es computable mediante una máquina de Turing . La tesis lleva el nombre del matemático estadounidense Alonzo Church y del matemático británico Alan Turing . Antes de la definición precisa de función computable, los matemáticos solían utilizar el término informal efectivamente calculable para describir funciones que son computables mediante métodos de papel y lápiz. En la década de 1930, se hicieron varios intentos independientes para formalizar la noción de computabilidad :

• En 1933, Kurt Gödel , con Jacques Herbrand , formalizó la definición de la clase de funciones recursivas generales : la clase más pequeña de funciones (con muchos argumentos arbitrarios) que está cerrada bajo composición , recursividad y minimización , e incluye cero , sucesor y todas las proyecciones .
• En 1936, Alonzo Church creó un método para definir funciones llamado cálculo λ . Dentro del cálculo λ, definió una codificación de los números naturales llamada números de Church . Una función de los números naturales se llama λ-calculable si la función correspondiente de los números de Church se puede representar mediante un término del cálculo λ.
• También en 1936, antes de conocer el trabajo de Church, ^[6] Alan Turing creó un modelo teórico para máquinas, ahora llamadas máquinas de Turing, que podían realizar cálculos a partir de entradas manipulando símbolos en una cinta. Dada una codificación adecuada de los números naturales como secuencias de símbolos, una función sobre los números naturales se llama computable de Turing si alguna máquina de Turing calcula la función correspondiente sobre números naturales codificados.

Church, ^[7] Kleene , ^[8] y Turing ^{[9] [11]} demostraron que estas tres clases formalmente definidas de funciones computables coinciden: una función es λ-comutable si y sólo si es computable por Turing, y si y sólo si es recursivo general . Esto ha llevado a matemáticos e informáticos a creer que el concepto de computabilidad se caracteriza con precisión por estos tres procesos equivalentes. Posteriormente, otros intentos formales de caracterizar la computabilidad han fortalecido esta creencia (ver más abajo).

Por otro lado, la tesis de Church-Turing afirma que las tres clases de funciones computables definidas formalmente anteriormente coinciden con la noción informal de una función efectivamente calculable. Aunque la tesis tiene una aceptación casi universal, no puede probarse formalmente, ya que el concepto de calculabilidad efectiva sólo se define de manera informal.

Desde sus inicios, han surgido variaciones de la tesis original, incluidas declaraciones sobre lo que una computadora puede realizar físicamente en nuestro universo ( tesis física de Church-Turing ) y lo que se puede calcular de manera eficiente (tesis de Church-Turing (teoría de la complejidad)). Estas variaciones no se deben a Church o Turing, sino que surgen de trabajos posteriores en teoría de la complejidad y física digital . La tesis también tiene implicaciones para la filosofía de la mente (ver más abajo).

Declaración en palabras de Church y Turing

JB Rosser  (1939) aborda la noción de "computabilidad efectiva" de la siguiente manera: "Claramente la existencia de CC y RC (pruebas de Church y Rosser) presupone una definición precisa de 'eficaz'. 'Método efectivo' se utiliza aquí en el sentido bastante especial sentido de un método, cada paso del cual está predeterminado con precisión y que seguramente producirá la respuesta en un número finito de pasos". ^[12] Así, el adverbio-adjetivo "eficaz" se utiliza en el sentido de "1a: producir un efecto decidido, decisivo o deseado", y "capaz de producir un resultado". ^{[13] [14]}

En lo sucesivo, las palabras "efectivamente calculable" significarán "producido por cualquier medio intuitivamente 'efectivo'" y "efectivamente computable" significará "producido por una máquina de Turing o dispositivo mecánico equivalente". Las "definiciones" de Turing dadas en una nota a pie de página en su doctorado de 1938. La tesis de Sistemas de lógica basada en ordinales , supervisada por Church, es prácticamente la misma:

^† Usaremos la expresión "función computable" para referirnos a una función calculable por una máquina, y dejaremos que "efectivamente calculable" se refiera a la idea intuitiva sin identificación particular con ninguna de estas definiciones. ^[15]

La tesis se puede enunciar como: Toda función efectivamente calculable es una función computable . ^[16] Church también afirmó que "Ningún procedimiento computacional será considerado como un algoritmo a menos que pueda representarse como una Máquina de Turing". ^{[ cita necesaria ]} Turing lo expresó de esta manera:

Se afirmó... que "una función es efectivamente calculable si sus valores pueden encontrarse mediante algún proceso puramente mecánico". Podemos tomar esto literalmente, entendiendo que se trata de un proceso puramente mecánico que podría ser realizado por una máquina. El desarrollo... conduce a... una identificación de computabilidad ^† con calculabilidad efectiva. [ ^† es la nota a pie de página citada anteriormente.] ^[15]

Historia

Uno de los problemas importantes para los lógicos en la década de 1930 fue el Entscheidungsproblem de David Hilbert y Wilhelm Ackermann , ^[17] que preguntaba si existía un procedimiento mecánico para separar las verdades matemáticas de las falsedades matemáticas. Esta búsqueda requería que se precisara la noción de "algoritmo" o "calculabilidad efectiva", al menos lo suficientemente bien como para que comenzara la búsqueda. ^[18] Pero desde el principio los intentos de Alonzo Church comenzaron con un debate que continúa hasta el día de hoy. ^[19] ¿Era ^{[ aclarar ]} que la noción de "calculabilidad efectiva" era (i) un "axioma o axiomas" en un sistema axiomático, (ii) simplemente una definición que "identificaba" dos o más proposiciones, (iii) una definición empírica? ¿Una hipótesis que debe verificarse mediante la observación de eventos naturales, o (iv) simplemente una propuesta con fines argumentativos (es decir, una "tesis")?

Alrededor de 1930-1952

En el curso del estudio del problema, Church y su alumno Stephen Kleene introdujeron la noción de funciones definibles en λ y pudieron demostrar que varias clases grandes de funciones que se encuentran con frecuencia en la teoría de números eran definibles en λ. ^[20] El debate comenzó cuando Church propuso a Gödel que se deberían definir las funciones "efectivamente computables" como funciones λ-definibles. Gödel, sin embargo, no quedó convencido y calificó la propuesta de "completamente insatisfactoria". ^[21] Más bien, en correspondencia con Church (c. 1934-1935), Gödel propuso axiomatizar la noción de "calculabilidad efectiva"; de hecho, en una carta de 1935 a Kleene, Church informó que:

Su única idea [la de Gödel] en ese momento era que podría ser posible, en términos de calculabilidad efectiva como una noción indefinida, enunciar un conjunto de axiomas que incorporaran las propiedades generalmente aceptadas de esta noción, y hacer algo sobre esa base. . ^[22]

Pero Gödel no ofreció más orientación. Con el tiempo, sugeriría su recursividad, modificada por la sugerencia de Herbrand, que Gödel había detallado en sus conferencias de 1934 en Princeton, Nueva Jersey (Kleene y Rosser transcribieron las notas). Pero no cree que ambas ideas puedan identificarse satisfactoriamente "excepto heurísticamente". ^[23]

A continuación, fue necesario identificar y demostrar la equivalencia de dos nociones de calculabilidad efectiva. Equipado con el cálculo λ y la recursión "general", Kleene, con la ayuda de Church y J. Barkley Rosser, produjo pruebas (1933, 1935) para demostrar que los dos cálculos son equivalentes. Posteriormente, Church modificó sus métodos para incluir el uso de la recursión de Herbrand-Gödel y luego demostró (1936) que el Entscheidungsproblem no tiene solución: no existe ningún algoritmo que pueda determinar si una fórmula bien formada tiene una forma beta normal . ^[24]

Muchos años después, en una carta a Davis (c. 1965), Gödel dijo que "en el momento de estas conferencias [de 1934], no estaba del todo convencido de que su concepto de recursividad abarcara todas las recursividades posibles". ^[25] En 1963-1964, Gödel repudiaría la recursión de Herbrand-Gödel y el cálculo λ en favor de la máquina de Turing como definición de "algoritmo" o "procedimiento mecánico" o "sistema formal". ^[26]

¿Una hipótesis que conduce a una ley natural? : A finales de 1936, el artículo de Alan Turing (que también demuestra que el Entscheidungsproblem no tiene solución) se entregó oralmente, pero aún no había aparecido impreso. ^[27] Por otro lado, el artículo de 1936 de Emil Post había aparecido y estaba certificado como independiente del trabajo de Turing. ^[28] Post estuvo totalmente en desacuerdo con la "identificación" de Church de la computabilidad efectiva con el cálculo λ y la recursividad, afirmando:

En realidad, el trabajo ya realizado por Church y otros lleva esta identificación mucho más allá de la etapa de hipótesis de trabajo. Pero enmascarar esta identificación bajo una definición... nos ciega ante la necesidad de su verificación continua. ^[29]

Más bien, consideraba la noción de "calculabilidad efectiva" como una mera "hipótesis de trabajo" que podría conducir mediante un razonamiento inductivo a una " ley natural " en lugar de "una definición o un axioma". ^[30] Esta idea fue "bruscamente" criticada por Church. ^[31]

Así, Post en su artículo de 1936 también descartaba la sugerencia de Kurt Gödel a Church en 1934-1935 de que la tesis podría expresarse como un axioma o un conjunto de axiomas. ^[22]

Turing añade otra definición, Rosser equipara las tres : En poco tiempo apareció el artículo de Turing de 1936-1937 "Sobre números computables, con una aplicación al Entscheidungsproblem" ^[27] . En él expresó otra noción de "computabilidad efectiva" con la introducción de sus máquinas a (ahora conocidas como modelo computacional abstracto de la máquina de Turing ). Y en un boceto de prueba agregado como "Apéndice" a su artículo de 1936-1937, Turing demostró que las clases de funciones definidas por el cálculo λ y las máquinas de Turing coincidían. ^[32] Church se apresuró a reconocer lo convincente que era el análisis de Turing. En su reseña del artículo de Turing dejó claro que la noción de Turing hacía evidente de inmediato "la identificación con la eficacia en el sentido ordinario (no definido explícitamente)". ^[33]

Al cabo de unos años (1939), Turing propondría, como Church y Kleene antes que él, que su definición formal de agente informático mecánico era la correcta. ^[34] Así, en 1939, tanto Church (1934) como Turing (1939) habían propuesto individualmente que sus "sistemas formales" deberían ser definiciones de "calculabilidad efectiva"; ^[35] ninguno de los dos formuló sus declaraciones como tesis .

Rosser (1939) identificó formalmente las tres nociones-como-definiciones:

Las tres definiciones son equivalentes, por lo que no importa cuál se utilice. ^[36]

Kleene propone la Tesis I : Esto dejó a Kleene la expresión abierta de una "tesis". En 1943, Kleene propuso su "Tesis I": ^[37]

Este hecho heurístico [las funciones recursivas generales son efectivamente calculables]... llevó a Church a plantear la siguiente tesis. La misma tesis está implícita en la descripción que hace Turing de las máquinas informáticas.

Tesis I. Toda función efectivamente calculable (predicado efectivamente decidible) es recursiva general [cursiva de Kleene]

Dado que falta una definición matemática precisa del término efectivamente calculable (efectivamente decidible), podemos tomar esta tesis... como una definición del mismo...

... la tesis tiene el carácter de una hipótesis, un punto enfatizado por Post y Church. Si consideramos la tesis y su recíproca como definición, entonces la hipótesis es una hipótesis sobre la aplicación de la teoría matemática desarrollada a partir de la definición. Para aceptar la hipótesis existen, como hemos sugerido, motivos bastante convincentes.

La tesis de Church-Turing : Stephen Kleene, en Introducción a las metamatemáticas , finalmente pasa a nombrar formalmente "Tesis de Church" y "Tesis de Turing", utilizando su teoría de la realizabilidad recursiva. Kleene pasó de presentar su trabajo en la terminología de definibilidad lambda de Church-Kleene a la de recursividad de Gödel-Kleene (funciones recursivas parciales). En esta transición, Kleene modificó las funciones recursivas generales de Gödel para permitir pruebas de la insolvencia de los problemas en el intuicionismo de EJ Brouwer. En su libro de texto de posgrado sobre lógica, se presenta la "tesis de Church" y se demuestra que los resultados matemáticos básicos son irrealizables. A continuación, Kleene procede a presentar la "tesis de Turing", donde se demuestra que los resultados son incomputables, utilizando su derivación simplificada de una máquina de Turing basada en el trabajo de Emil Post. Se demuestra que ambas tesis son equivalentes mediante el uso del "Teorema XXX".

Tesis I. Toda función efectivamente calculable (predicado efectivamente decidible) es recursiva general . ^[38]

Teorema XXX: Las siguientes clases de funciones parciales son coextensivas, es decir, tienen los mismos miembros: (a) las funciones recursivas parciales, (b) las funciones computables... ^[39]

Tesis de Turing: La tesis de Turing de que toda función que naturalmente se consideraría computable lo es según su definición, es decir, mediante una de sus máquinas, es equivalente a la tesis de Church según el teorema XXX. ^[39]

Kleene, finalmente, utiliza por primera vez el término "tesis Church-Turing" en una sección en la que ayuda a aclarar conceptos del artículo de Alan Turing "The Word Problem in Semi-Groups with Cancellation", como se exige en un crítica de William Boone. ^[40]

Desarrollos posteriores

Un intento de comprender mejor la noción de "computabilidad efectiva" llevó a Robin Gandy (alumno y amigo de Turing) en 1980 a analizar la computación mecánica (a diferencia de la computación humana representada por una máquina de Turing). La curiosidad y el análisis de Gandy sobre los autómatas celulares (incluido el juego de la vida de Conway ), el paralelismo y los autómatas cristalinos lo llevaron a proponer cuatro "principios (o limitaciones)... que, según se argumenta, cualquier máquina debe satisfacer". ^[41] Su cuarto más importante, "el principio de causalidad" se basa en la "velocidad finita de propagación de efectos y señales; la física contemporánea rechaza la posibilidad de una acción instantánea a distancia". ^[42] A partir de estos principios y algunas restricciones adicionales: (1a) un límite inferior para las dimensiones lineales de cualquiera de las partes, (1b) un límite superior para la velocidad de propagación (la velocidad de la luz), (2) progreso discreto de la máquina, y (3) comportamiento determinista: produce un teorema de que "Lo que puede calcularse mediante un dispositivo que satisface los principios I a IV es computable". ^[43]

A finales de la década de 1990, Wilfried Sieg analizó las nociones de "calculabilidad efectiva" de Turing y Gandy con la intención de "afilar la noción informal, formular axiomáticamente sus características generales e investigar el marco axiomático". ^[44] En su trabajo de 1997 y 2002, Sieg presenta una serie de limitaciones sobre el comportamiento de una computadora : "un agente informático humano que procede mecánicamente". Estas restricciones se reducen a:

• "(B.1) (Limitación) Hay un límite fijo en el número de configuraciones simbólicas que una computadora puede reconocer inmediatamente.
• "(B.2) (Limitación) Hay un límite fijo en el número de estados internos en los que puede encontrarse una computadora.
• "(L.1) (Localidad) Una computadora sólo puede cambiar elementos de una configuración simbólica observada.
• "(L.2) (Localidad) Una computadora puede desviar la atención de una configuración simbólica a otra, pero las nuevas configuraciones observadas deben estar dentro de una distancia limitada de la configuración observada inmediatamente anteriormente.
• "(D) (Determinación) La (sub)configuración inmediatamente reconocible determina de forma única el siguiente paso de cálculo (y la identificación [descripción instantánea])"; Dicho de otra manera: "El estado interno de una computadora junto con la configuración observada fija de forma única el siguiente paso de cálculo y el siguiente estado interno". ^[45]

El asunto sigue siendo objeto de debate activo dentro de la comunidad académica. ^{[46] [47]}

La tesis como definición.

La tesis no puede verse más que como una definición matemática ordinaria. Los comentarios de Gödel sobre el tema sugieren esta opinión, por ejemplo, "la definición correcta de computabilidad mecánica fue establecida más allá de toda duda por Turing". ^[48] ​​Robert I. Soare plantea explícitamente el argumento a favor de ver la tesis como nada más que una definición , ^[5] donde también se argumenta que la definición de computabilidad de Turing no tiene menos probabilidades de ser correcta que la definición épsilon-delta. de una función continua .

Éxito de la tesis

Se han propuesto otros formalismos (además de la recursividad, el cálculo λ y la máquina de Turing ) para describir la calculabilidad/computabilidad efectiva. Kleene (1952) añade a la lista las funciones " calculables en el sistema S ₁ " de Kurt Gödel 1936, y los " sistemas canónicos [también llamados normales ] " de Emil Post (1943, 1946) . ^[49] En la década de 1950, Hao Wang y Martin Davis simplificaron enormemente el modelo de máquina de Turing de una cinta (ver Máquina post-Turing ). Marvin Minsky amplió el modelo a dos o más cintas y las simplificó enormemente en "contadores arriba-abajo", que Melzak y Lambek evolucionaron hasta convertirse en lo que ahora se conoce como el modelo de máquina contadora . A finales de los años 1960 y principios de los años 1970, los investigadores ampliaron el modelo de máquina contadora a la máquina de registro , un primo cercano de la noción moderna de computadora . Otros modelos incluyen lógica combinatoria y algoritmos de Markov . Gurevich añade el modelo de máquina de punteros de Kolmogorov y Uspensky (1953, 1958): "... sólo querían... convencerse de que no hay forma de ampliar la noción de función computable". ^[50]

Todas estas contribuciones implican pruebas de que los modelos son computacionalmente equivalentes a la máquina de Turing; Se dice que estos modelos son Turing completos . Debido a que todos estos diferentes intentos de formalizar el concepto de "calculabilidad/computabilidad efectiva" han arrojado resultados equivalentes, ahora se supone generalmente que la tesis de Church-Turing es correcta. De hecho, Gödel (1936) propuso algo más contundente que esto; Observó que había algo "absoluto" en el concepto de "contable en S ₁ ":

También se puede demostrar que una función que es computable ['contable'] en uno de los sistemas Si _, o incluso en un sistema de tipo transfinito, ya es computable [contable] en _S1 . Así, el concepto 'computable' ['contable'] es en un cierto sentido definido 'absoluto', mientras que prácticamente todos los demás conceptos metamatemáticos familiares (por ejemplo, demostrables, definibles, etc.) dependen esencialmente del sistema al que se definen. [ ^51]

Uso informal en pruebas.

Las pruebas en la teoría de la computabilidad a menudo invocan la tesis de Church-Turing de manera informal para establecer la computabilidad de funciones evitando los detalles (a menudo muy largos) que estarían involucrados en una prueba formal y rigurosa. ^[52] Para establecer que una función es computable mediante la máquina de Turing, generalmente se considera suficiente dar una descripción informal en inglés de cómo la función se puede calcular de manera efectiva y luego concluir "según la tesis de Church-Turing" que la función es de Turing. computable (equivalentemente, recursivo parcial).

Dirk van Dalen da el siguiente ejemplo para ilustrar este uso informal de la tesis de Church-Turing: ^[53]

Ejemplo: cada conjunto RE infinito contiene un conjunto recursivo infinito .

Prueba: Sea A infinito RE. Enumeramos los elementos de A efectivamente, n ₀ , n ₁ , n ₂ , n ₃ , ...

De esta lista extraemos una sublista creciente: ponga m ₀  = n ₀ , después de un número finito de pasos encontramos un n _k tal que n _k > m ₀ , ponga m ₁  = n _k . Repetimos este procedimiento para encontrar m ₂ > m ₁ , etc. esto produce un listado efectivo del subconjunto B={m ₀ , m ₁ , m ₂ ,...} de A, con la propiedad m _i < m _{i+ 1} .

Afirmar . B es decidible. Porque, para probar k en B debemos verificar si k = m _i para algún i. Dado que la secuencia de m _i está aumentando, tenemos que producir como máximo k+1 elementos de la lista y compararlos con k. Si ninguno de ellos es igual a k, entonces k no está en B. Dado que esta prueba es eficaz, B es decidible y, según la tesis de Church , recursivo.

Para que el ejemplo anterior sea completamente riguroso, habría que construir cuidadosamente una máquina de Turing, o función λ, o invocar cuidadosamente axiomas de recursividad o, en el mejor de los casos, invocar inteligentemente varios teoremas de la teoría de la computabilidad. Pero debido a que el teórico de la computabilidad cree que la computabilidad de Turing captura correctamente lo que se puede calcular de manera efectiva, y debido a que en inglés se detalla un procedimiento efectivo para decidir el conjunto B, el teórico de la computabilidad acepta esto como prueba de que el conjunto es efectivamente recursivo.

Variaciones

El éxito de la tesis de Church-Turing impulsó a proponer variaciones de la tesis. Por ejemplo, la tesis física de Church-Turing establece: "Todas las funciones físicamente computables son computables por Turing". ^{[54] : 101}

La tesis de Church-Turing no dice nada sobre la eficiencia con la que un modelo de computación puede simular otro. Se ha demostrado, por ejemplo, que una máquina de Turing universal (de múltiples cintas) sólo sufre un factor de desaceleración logarítmica al simular cualquier máquina de Turing. ^[55]

Una variación de la tesis de Church-Turing aborda si se puede simular eficientemente un modelo de cálculo arbitrario pero "razonable". Esto se llama tesis de viabilidad , ^[56] también conocida como tesis ( clásica ) de la teoría de la complejidad de Church-Turing o tesis de Church-Turing ampliada , que no se debe a Church ni a Turing, sino que se realizó gradualmente en el desarrollo de teoría de la complejidad . Afirma: ^[57] "Una máquina probabilística de Turing puede simular eficientemente cualquier modelo realista de cálculo". La palabra "eficientemente" aquí significa reducciones de tiempo polinomiales . Esta tesis fue originalmente llamada tesis de Church-Turing de teoría de la complejidad computacional por Ethan Bernstein y Umesh Vazirani (1997). La tesis de la teoría de la complejidad de Church-Turing, entonces, postula que todos los modelos de cálculo "razonables" producen la misma clase de problemas que pueden calcularse en tiempo polinomial. Suponiendo la conjetura de que el tiempo polinómico probabilístico ( BPP ) es igual al tiempo polinómico determinista ( P ), la palabra "probabilístico" es opcional en la tesis de Church-Turing de la teoría de la complejidad. Cees F. Slot y Peter van Emde Boas introdujeron una tesis similar, llamada tesis de la invariancia . Dice: " Las máquinas 'razonables' pueden simularse entre sí dentro de una sobrecarga polinomialmente limitada en el tiempo y una sobrecarga de factor constante en el espacio". ^[58] La tesis apareció originalmente en un artículo en STOC '84, que fue el primer artículo que demostró que la sobrecarga de tiempo polinomial y la sobrecarga de espacio constante se podían lograr simultáneamente para una simulación de una máquina de acceso aleatorio en una máquina de Turing. ^[59]

Si se demuestra que BQP es un superconjunto estricto de BPP , invalidaría la tesis de Church-Turing de la teoría de la complejidad. En otras palabras, existirían algoritmos cuánticos eficientes que realizan tareas que no cuentan con algoritmos probabilísticos eficientes . Sin embargo, esto no invalidaría la tesis original de Church-Turing, ya que una computadora cuántica siempre puede ser simulada por una máquina de Turing, pero invalidaría la tesis clásica de Church-Turing de la teoría de la complejidad por razones de eficiencia. En consecuencia, la tesis de Church-Turing sobre la teoría de la complejidad cuántica establece: ^[57] "Una máquina cuántica de Turing puede simular eficientemente cualquier modelo realista de computación".

Eugene Eberbach y Peter Wegner afirman que la tesis de Church-Turing a veces se interpreta de manera demasiado amplia y afirman que "aunque [...] las máquinas de Turing expresan el comportamiento de los algoritmos, la afirmación más amplia de que los algoritmos capturan con precisión lo que se puede calcular no es válida". ^[60] Afirman que las formas de computación no capturadas por la tesis son relevantes hoy en día, términos que llaman computación super-Turing .

Implicaciones filosóficas

Los filósofos han interpretado que la tesis de Church-Turing tiene implicaciones para la filosofía de la mente . ^{[61] [62] [63]} B. Jack Copeland afirma que es una cuestión empírica abierta si existen procesos físicos deterministas reales que, a largo plazo, eluden la simulación por una máquina de Turing; además, afirma que es una cuestión empírica abierta si tales procesos están implicados en el funcionamiento del cerebro humano. ^[64] También hay algunas preguntas abiertas importantes que cubren la relación entre la tesis de Church-Turing y la física, y la posibilidad de la hipercomputación . Cuando se aplica a la física, la tesis tiene varios significados posibles:

1. El universo es equivalente a una máquina de Turing; por tanto, calcular funciones no recursivas es físicamente imposible. Esto se ha denominado tesis fuerte de Church-Turing, o principio de Church-Turing-Deutsch , y es una base de la física digital .
2. El universo no es equivalente a una máquina de Turing (es decir, las leyes de la física no son computables según Turing), pero los eventos físicos incomputables no son "aprovechables" para la construcción de una hipercomputadora . Por ejemplo, un universo en el que la física implica números reales aleatorios , a diferencia de reales computables , entraría en esta categoría.
3. El universo es una hipercomputadora y es posible construir dispositivos físicos para aprovechar esta propiedad y calcular funciones no recursivas. Por ejemplo, es una cuestión abierta si todos los eventos de la mecánica cuántica son computables por Turing, aunque se sabe que modelos rigurosos como las máquinas cuánticas de Turing son equivalentes a las máquinas deterministas de Turing. (No son necesariamente equivalentes eficientemente; véase más arriba.) John Lucas y Roger Penrose han sugerido que la mente humana podría ser el resultado de algún tipo de computación "no algorítmica" mejorada mecánicamente cuánticamente. ^{[65] [66]}

Hay muchas otras posibilidades técnicas que quedan fuera o entre estas tres categorías, pero sirven para ilustrar el alcance del concepto.

Los aspectos filosóficos de la tesis, relacionados con las computadoras físicas y biológicas, también se analizan en el libro de texto de Odifreddi de 1989 sobre teoría de la recursividad. ^{[67] : 101-123}

Funciones no computables

Se pueden definir formalmente funciones que no son computables. Un ejemplo bien conocido de esta función es la función Busy Beaver . Esta función toma una entrada n y devuelve la mayor cantidad de símbolos que una máquina de Turing con n estados puede imprimir antes de detenerse, cuando se ejecuta sin entrada. Encontrar un límite superior en la función de castor ocupado equivale a resolver el problema de la detención , un problema que las máquinas de Turing consideran irresoluble. Dado que las máquinas de Turing no pueden calcular la función del castor ocupado, la tesis de Church-Turing afirma que esta función no puede calcularse eficazmente mediante ningún método.

Varios modelos computacionales permiten el cálculo de funciones no computables (Church-Turing). Estos se conocen como hipercomputadoras . Mark Burgin sostiene que los algoritmos superrecursivos como las máquinas inductivas de Turing refutan la tesis de Church-Turing. ^{[68] [ página necesaria ]} Su argumento se basa en una definición de algoritmo más amplia que la ordinaria, de modo que las funciones no computables obtenidas de algunas máquinas inductivas de Turing se denominan computables. Esta interpretación de la tesis de Church-Turing difiere de la interpretación comúnmente aceptada en la teoría de la computabilidad, discutida anteriormente. El argumento de que los algoritmos superrecursivos son de hecho algoritmos en el sentido de la tesis de Church-Turing no ha encontrado una amplia aceptación dentro de la comunidad de investigación de la computabilidad. ^{[ cita necesaria ]}

Ver también

• maquina abstracta
• La tesis de Church en matemáticas constructivas.
• Principio de Church-Turing-Deutsch , que establece que cada proceso físico puede simularse mediante un dispositivo informático universal.
• Lógica de computabilidad
• Teoría de la computabilidad
• Decidibilidad
• Hipercomputación
• Modelo de computacion
• Oracle (informática)
• Algoritmo superrecursivo
• integridad de turing

Notas a pie de página

1. Robert Soare , "Máquinas Oracle de Turing, informática en línea y tres desplazamientos en la teoría de la computabilidad"
2. Rabin, Michael O. (junio de 2012). Turing, Church, Gödel, Computabilidad, complejidad y aleatorización: una visión personal. El evento ocurre a las 9:36 . Consultado el 5 de diciembre de 2021 .
3. Correspondencia entre Max Newman y Church en los documentos de Alonzo Church
4. Turing, Alan (2004). El Turing esencial: escritos fundamentales sobre informática, lógica, filosofía, inteligencia artificial y vida artificial, además de los secretos de Enigma (PDF) . Oxford: Prensa de Clarendon. pag. 44.ISBN​ 9780198250791. Consultado el 6 de diciembre de 2021 .
5. Soare, Robert I. (septiembre de 1996). "Computabilidad y recursividad". Boletín de Lógica Simbólica . 2 (3): 284–321. CiteSeerX 10.1.1.35.5803 . doi :10.2307/420992. JSTOR  420992. S2CID  5894394. 
6. El artículo de Church se presentó a la Sociedad Estadounidense de Matemáticas el 19 de abril de 1935 y se publicó el 15 de abril de 1936. Turing, que había logrado avances sustanciales en la redacción de sus propios resultados, se sintió decepcionado al enterarse de la prueba de Church tras su publicación. ^{[3] [4]} Turing completó rápidamente su artículo y lo apresuró a publicarlo; fue recibido por las Actas de la Sociedad Matemática de Londres el 28 de mayo de 1936, leído el 12 de noviembre de 1936 y publicado en la serie 2, volumen 42 (1936-1937); apareció en dos secciones: en la Parte 3 (páginas 230 a 240), publicada el 30 de noviembre de 1936 y en la Parte 4 (páginas 241 a 265), publicada el 23 de diciembre de 1936; Turing añadió correcciones en el volumen 43 (1937), págs. 544–546. ^{[5] : 45}
7. Iglesia 1936a
8. Kleine 1936
9. Turing 1937a
10. Kleine 1936
11. Turing 1937b. Esquema de prueba en la p. 153: ^[10] ${\displaystyle \lambda {\mbox{-definable}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {triv}{\implies }}}$ ${\displaystyle \lambda {\mbox{-}}K{\mbox{-definable}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {160}{\implies }}}$ ${\displaystyle {\mbox{Turing computable}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {161}{\implies }}}$ ${\displaystyle \mu {\mbox{-recursive}}}$ ${\displaystyle {\stackrel {Kleene}{\implies }}}$ ${\displaystyle \lambda {\mbox{-definable}}}$
12. Rosser 1939 en Davis 1965:225.
13. "efectivo". Nuevo diccionario colegiado de Merriam Webster (9ª ed.).
14. Véase también "efectivo". Diccionario en línea Merriam-Webster (11.ª ed.) . Consultado el 26 de julio de 2014 .que también proporciona estas definiciones de "eficaz": la primera ["que produce un efecto decidido, decisivo o deseado"] como la definición del sentido "1a" de la palabra "eficaz", y la segunda ["capaz de producir un resultado "] como parte de la "Discusión de sinónimos de EFECTIVO" allí, (en la parte introductoria, donde se resumen las similitudes entre los significados de las palabras "efectivo", "efectivo", "eficiente" y "eficaz").
15. Turing, AM (1938). Sistemas de lógica basados ​​en ordinales (PDF) (Doctor). Universidad de Princeton. pag. 8. Archivado desde el original (PDF) el 23 de octubre de 2012 . Consultado el 23 de junio de 2012 .
16. Gandy (1980:123) lo expresa de esta manera: Lo que es efectivamente calculable es computable. A esto lo llama "Tesis de la Iglesia".
17. David Hilbert y Wilhelm Ackermann: Grundzüge der theoretischen Logik, Berlín, Alemania, Springer, 1ª ed. 1928. (6.a ed. 1972, ISBN 3-540-05843-5 ) Traducción al inglés: David Hilbert y Wilhelm Ackermann: Principios de lógica matemática, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, EE. UU., 1950. 
18. Comentario de Davis ante Church 1936 Un problema irresoluble de la teoría de números elemental en Davis 1965:88. Church usa las palabras "calculabilidad efectiva" en la página 100 y siguientes.
19. En su reseña de la tesis de Church después de 70 años editada por Adam Olszewski et al. 2006, la crítica de Peter Smith a un artículo de Muraswski y Wolenski sugiere 4 "líneas" sobre el estado de la tesis de Church-Turing: (1) hipótesis empírica (2) axioma o teorema, (3) definición, (4) explicación. Pero Smith opina que (4) es indistinguible de (3), cf. Smith (11 de julio de 2007) Tesis de Church después de 70 años en http://www.logicmatters.net/resources/pdfs/CTT.pdf
20. cf. nota al pie 3 en Church 1936a Un problema irresoluble de la teoría de números elemental en Davis 1965:89.
21. Dawson 1997:99.
22. Sieg 1997:160.
23. Sieg 1997:160 citando la carta de 1935 escrita por Church a Kleene, cf. Nota a pie de página 3 en Gödel 1934 en Davis 1965:44.
24. cf. Iglesia 1936 en Davis 1965: 105 y siguientes.
25. Comentario de Davis antes de Gödel 1934 en Davis 1965:40.
26. Para una discusión detallada sobre la adopción por parte de Gödel de las máquinas de Turing como modelos de computación, consulte Oron Shagrir . "Goedel sobre Turing sobre la computabilidad" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de diciembre de 2015 . Consultado el 8 de febrero de 2016 .^{[ falta fecha ]}
27. Turing 1937a.
28. cf. Nota a pie de página del editor sobre el proceso combinatorio finito posterior a 1936. Formulación I. en Davis 1965:289.
29. Publicado en 1936 en Davis 1965:291, nota al pie 8.
30. Después de 1936 en Davis 1952:291.
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35. cf. Church 1934 en Davis 1965:100, también Turing 1939 en Davis 1965:160.
36. cursiva agregada, Rosser 1939 en Davis 1965:226.
37. Kleene 1943, pag. 60 en Davis 1965:274. Se omiten las notas a pie de página.
38. Kleine 1952:300.
39. Kleene 1952:376.
40. Kleene 1952:382, 536
41. Gandy 1980: 123 y siguientes.
42. Gandy 1980:135
43. Gandy 1980:126
44. Sieg 1998-1999 en Sieg, Sommer y Talcott 2002: 390 y siguientes; también Sieg 1997:154 y siguientes.
45. En una nota a pie de página, Sieg divide 1936 (B) de Post en (B.1) y (B.2) y (L) en (L.1) y (L.2) y describe (D) de manera diferente. Con respecto a su máquina Gandy propuesta, luego agrega LC.1, LC.2, GA.1 y GA.2. Estos son complicados; véase Sieg 1998–1999 en Sieg, Sommer y Talcott 2002:390 y siguientes.
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enlaces externos

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