Teorema de comparación de Rauch

Relaciona la curvatura seccional de una variedad de Riemann con la tasa de geodésicas separadas

En geometría de Riemann , el teorema de comparación de Rauch , llamado así por Harry Rauch , quien lo demostró en 1951, es un resultado fundamental que relaciona la curvatura seccional de una variedad de Riemann con la velocidad a la que las geodésicas se separan. Intuitivamente, afirma que para curvatura positiva, las geodésicas tienden a converger, mientras que para curvatura negativa, las geodésicas tienden a extenderse.

El enunciado del teorema involucra dos variedades de Riemann y permite comparar la velocidad infinitesimal a la que las geodésicas se separan en las dos variedades, siempre que se pueda comparar su curvatura. La mayoría de las veces, una de las dos variedades es un "modelo de comparación", generalmente una variedad con curvatura constante , y la segunda es la variedad en estudio: entonces se necesita un límite (ya sea inferior o superior) en su curvatura seccional para para aplicar el teorema de comparación de Rauch.

Declaración

Sean variedades de Riemann, en las que se dibujan segmentos geodésicos de velocidad unitaria y . Supongamos que no tiene puntos conjugados a lo largo , y sean dos campos de Jacobi normales a lo largo y tales que: ${\displaystyle M,{\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle \gamma :[0,T]\to M}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}:[0,T]\to {\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}(0)}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle J,{\widetilde {J}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}}$

• ${\displaystyle J(0)=0}$y ${\displaystyle {\widetilde {J}}(0)=0}$
• ${\displaystyle |D_{t}J(0)|=\left|{\widetilde {D}}_{t}{\widetilde {J}}(0)\right|}$.

Si la curvatura seccional de cada 2 planos que contiene es menor o igual que la curvatura seccional de cada 2 planos que contiene , entonces para todos . ${\displaystyle \Pi \subset T_{\gamma (t)}M}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle {\widetilde {\Pi }}\subset T_{{\tilde {\gamma }}(t)}{\widetilde {M}}}$ ${\displaystyle {\dot {\widetilde {\gamma }}}(t)}$ ${\displaystyle |J(t)|\geq |{\widetilde {J}}(t)|}$ ${\displaystyle t\in [0,T]}$

Condiciones del teorema

El teorema se formula utilizando campos de Jacobi para medir la variación en geodésicas. Como la parte tangencial de un campo de Jacobi es independiente de la geometría de la variedad, el teorema se centra en campos de Jacobi normales, es decir, campos de Jacobi que son ortogonales al vector de velocidad de la geodésica para todos los tiempos . Hasta la reparametrización, cada variación de las geodésicas induce un campo de Jacobi normal. ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ ${\displaystyle t}$

Se solicita que los campos de Jacobi desaparezcan en el tiempo porque el teorema mide la divergencia (o convergencia) infinitesimal de una familia de geodésicas emitidas desde el mismo punto , y dicha familia induce un campo de Jacobi que desaparece en el tiempo . ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle t=0}$

Teoremas analógicos

En condiciones muy similares, también es posible comparar el hessiano de la función de distancia con un punto determinado. ^[1] También es posible comparar el laplaciano de esta función (que es la traza del hessiano), con alguna condición adicional sobre una de las dos variedades: entonces basta con tener una desigualdad en la curvatura de Ricci (que es la traza del tensor de curvatura). ^[1]

Ver también

• Teorema de Toponogov

Referencias

1. Greene, Robert Everist; Wu, Hongxi (1979). Teoría de funciones sobre variedades que poseen un polo. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09108-4. OCLC  4593089.

• do Carmo, MP Geometría riemanniana , Birkhäuser, 1992.
• Lee, JM, Colectores de Riemann: una introducción a la curvatura , Springer, 1997.