En el campo matemático de la geometría riemanniana , el teorema de Toponogov (llamado así en honor a Victor Andreevich Toponogov ) es un teorema de comparación de triángulos. Es uno de una familia de teoremas de comparación que cuantifican la afirmación de que un par de geodésicas que emanan de un punto p se separan más lentamente en una región de alta curvatura que en una región de baja curvatura.
Sea M una variedad de Riemann de dimensiones m con curvatura seccional K que satisface Sea pqr un triángulo geodésico , es decir, un triángulo cuyos lados son geodésicos, en M , tal que el pq geodésico es mínimo y si δ > 0 , la longitud del lado pr es menor que . Sea p ′ q ′ r ′ un triángulo geodésico en el espacio modelo M δ , es decir, el espacio simplemente conexo de curvatura constante δ, tal que las longitudes de los lados p′q′ y p′r′ son iguales a las de pq y pr respectivamente y el ángulo en p′ es igual al de p . Entonces
Cuando la curvatura seccional está acotada desde arriba, un corolario del teorema de comparación de Rauch produce una afirmación análoga, pero con la desigualdad inversa [ cita necesaria ] .
