En geometría de Riemann , un campo de Jacobi es un campo vectorial a lo largo de una geodésica en una variedad de Riemann que describe la diferencia entre la geodésica y una geodésica "infinitesimalmente cercana". En otras palabras, los campos de Jacobi a lo largo de una geodésica forman el espacio tangente a la geodésica en el espacio de todas las geodésicas. Llevan el nombre de Carl Jacobi .![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Definiciones y propiedades
Los campos de Jacobi se pueden obtener de la siguiente manera: Tome una familia de geodésicas de un parámetro suave con , luego ![{\displaystyle \gamma _{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Es un campo de Jacobi, y describe el comportamiento de las geodésicas en una vecindad infinitesimal de una geodésica determinada .![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un campo vectorial J a lo largo de una geodésica se dice que es un campo de Jacobi si satisface la ecuación de Jacobi :![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {D^{2}}{dt^{2}}}J(t)+R(J(t),{\dot {\gamma }}(t)){\dot {\ gama }}(t)=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde D denota la derivada covariante con respecto a la conexión de Levi-Civita , R el tensor de curvatura de Riemann , el campo vectorial tangente y t es el parámetro de la geodésica. En una variedad Riemanniana completa , para cualquier campo de Jacobi existe una familia de geodésicas que describen el campo (como en el párrafo anterior).![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)=d\gamma (t)/dt}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La ecuación de Jacobi es una ecuación diferencial ordinaria lineal de segundo orden ; en particular, los valores de y en un punto de determinan de forma única el campo de Jacobi. Además, el conjunto de campos de Jacobi a lo largo de una geodésica dada forma un espacio vectorial real de dimensión dos veces la dimensión de la variedad.![{\displaystyle J}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {D}{dt}}J}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como ejemplos triviales de campos de Jacobi se pueden considerar y . Éstas corresponden respectivamente a las siguientes familias de reparametrizaciones: y .![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma (\tau +t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _{\tau }(t)=\gamma ((1+\tau )t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cualquier campo de Jacobi se puede representar de forma única como una suma , donde es una combinación lineal de campos de Jacobi triviales y es ortogonal a , para todos . El campo corresponde entonces a la misma variación de geodésicas que , sólo que con parametrizaciones modificadas.![{\displaystyle J}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T+I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T=a{\dot {\gamma }}(t)+bt{\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle I}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplo motivador
En una esfera unitaria , las geodésicas que pasan por el polo norte son círculos máximos . Considere dos geodésicas de este tipo y con parámetro natural, separadas por un ángulo . La distancia geodésica ![{\displaystyle \gamma _{0}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma _{\tau }}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t\en [0,\pi ]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))\,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
es
![{\displaystyle d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t))=\sin ^{-1}{\bigg (}\sin t\sin \tau {\sqrt { 1+\cos ^{2}t\tan ^{2}(\tau /2)}}{\bigg )}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Calcular esto requiere conocer las geodésicas. La información más interesante es solo esa.
, para cualquier .![{\displaystyle \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En cambio, podemos considerar la derivada con respecto a en :![{\displaystyle \tau}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \tau =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}{\bigg |}_{\tau =0}d(\gamma _{0}(t),\gamma _{\tau }(t ))=|J(t)|=\sin t.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Observe que todavía detectamos la intersección de las geodésicas en . Observe además que para calcular esta derivada en realidad no necesitamos saber ![{\displaystyle t=\pi }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
,
más bien, todo lo que tenemos que hacer es resolver la ecuación
,
para algunos datos iniciales dados.
Los campos de Jacobi dan una generalización natural de este fenómeno a variedades arbitrarias de Riemann .
Resolviendo la ecuación de Jacobi
Deje y complete esto para obtener una base ortonormal en . Transpórtelo en paralelo para obtener una base todo el tiempo . Esto da una base ortonormal con . El campo de Jacobi se puede escribir en coordenadas en términos de esta base como y por lo tanto![{\displaystyle e_{1}(0)={\dot {\gamma }}(0)/|{\dot {\gamma }}(0)|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\big \{}e_{i}(0){\big \}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle T_{\gamma (0)}M}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \{e_{i}(t)\}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}(t)|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle J(t)=y^{k}(t)e_{k}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {D}{dt}}J=\sum _{k}{\frac {dy^{k}}{dt}}e_{k}(t),\quad {\frac {D ^{2}}{dt^{2}}}J=\sum _{k}{\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}e_{k}(t ),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y la ecuación de Jacobi se puede reescribir como un sistema
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y^{k}}{dt^{2}}}+|{\dot {\gamma }}|^{2}\sum _{j}y^{ j}(t)\langle R(e_{j}(t),e_{1}(t))e_{1}(t),e_{k}(t)\rangle =0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para cada . De esta manera obtenemos una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO). Dado que esta EDO tiene coeficientes suaves , tenemos que las soluciones existen para todos y son únicas, dadas y , para todos .
![{\displaystyle t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle y^{k}(0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {y^{k}}'(0)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle k}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
Considere una geodésica con un marco ortonormal paralelo , construido como se indicó anteriormente.![{\displaystyle \gamma (t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\ Displaystyle e_ {i} (t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle e_{1}(t)={\dot {\gamma }}(t)/|{\dot {\gamma }}|}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Los campos vectoriales dados por y son campos de Jacobi.
![{\displaystyle \gamma}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- En el espacio euclidiano (así como para espacios de curvatura seccional cero constante ), los campos de Jacobi son simplemente aquellos campos lineales en .
![{\displaystyle t}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para variedades de Riemann de curvatura seccional negativa constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , y , donde .
![{\displaystyle -k^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \exp(\pm kt)e_ {i}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Para variedades de Riemann de curvatura seccional positiva constante , cualquier campo de Jacobi es una combinación lineal de , y , donde .
![{\displaystyle k^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle t{\dot {\gamma }}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \sin(kt)e_ {i}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \cos(kt)e_{i}(t)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle i>1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- La restricción de un campo vectorial Killing a una geodésica es un campo de Jacobi en cualquier variedad de Riemann.
Ver también
Referencias
- Manfredo Perdigão do Carmo . Geometría riemanniana. Traducido de la segunda edición portuguesa por Francis Flaherty. Matemáticas: teoría y aplicaciones. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. xiv+300 págs. ISBN 0-8176-3490-8
- Jeff Cheeger y David G. Ebin . Teoremas de comparación en geometría de Riemann. Reimpresión revisada del original de 1975. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2008. x+168 págs. ISBN 978-0-8218-4417-5
- Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu . Fundamentos de la geometría diferencial. vol. II. Reimpresión del original de 1969. Biblioteca de clásicos de Wiley. Una publicación de Wiley-Interscience. John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1996. xvi+468 págs. ISBN 0-471-15732-5
- Barrett O'Neill . Geometría semiriemanniana. Con aplicaciones a la relatividad. Matemáticas puras y aplicadas, 103. Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], Nueva York, 1983. xiii+468 págs. ISBN 0-12-526740-1