desviación geodésica

En la relatividad general , si dos objetos se ponen en movimiento a lo largo de dos trayectorias inicialmente paralelas, la presencia de una fuerza gravitacional de marea hará que las trayectorias se doblen acercándose o alejándose entre sí, produciendo una aceleración relativa entre los objetos. ^[1]

Matemáticamente, la fuerza de marea en la relatividad general se describe mediante el tensor de curvatura de Riemann , ^[1] y la trayectoria de un objeto únicamente bajo la influencia de la gravedad se llama geodésica . La ecuación de desviación geodésica relaciona el tensor de curvatura de Riemann con la aceleración relativa de dos geodésicas vecinas. En geometría diferencial , la ecuación de desviación geodésica se conoce más comúnmente como ecuación de Jacobi .

Definición matemática

Para cuantificar la desviación geodésica, se comienza configurando una familia de geodésicas estrechamente espaciadas indexadas por una variable continua s y parametrizadas por un parámetro afín τ. Es decir, para cada s fijo , la curva barrida por γ _s (τ) a medida que τ varía es una geodésica. Al considerar la geodésica de un objeto masivo, a menudo es conveniente elegir τ como el tiempo adecuado del objeto . Si x ^μ ( s , τ) son las coordenadas de la geodésica γ _s (τ), entonces el vector tangente de esta geodésica es

${\displaystyle T^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial \tau }}.}$

Si τ es el tiempo adecuado, entonces T ^μ es la cuarta velocidad del objeto que viaja a lo largo de la geodésica.

También se puede definir un vector de desviación , que es el desplazamiento de dos objetos que viajan a lo largo de dos geodésicas infinitamente separadas:

${\displaystyle X^{\mu }={\frac {\partial x^{\mu }(s,\tau )}{\partial s}}.}$

La aceleración relativa A ^μ de los dos objetos se define, aproximadamente, como la segunda derivada del vector de separación X ^μ a medida que los objetos avanzan a lo largo de sus respectivas geodésicas. Específicamente, A ^μ se encuentra tomando la derivada covariante direccional de X a lo largo de T dos veces:

${\displaystyle A^{\mu }=T^{\alpha }\nabla _{\alpha }\left(T^{\beta }\nabla _{\beta }X^{\mu }\right).}$

La ecuación de desviación geodésica relaciona A ^μ , T ^μ , X ^μ y el tensor de Riemann R ^μ _νρσ : ^{[2] [3]}

${\displaystyle A^{\mu }={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

Una notación alternativa para la derivada covariante direccional es , por lo que la ecuación de desviación geodésica también se puede escribir como ${\displaystyle T^{\alpha }\nabla _{\alpha }}$ ${\displaystyle D/d\tau }$

${\displaystyle {\frac {D^{2}X^{\mu }}{d\tau ^{2}}}={R^{\mu }}_{\nu \rho \sigma }T^{\nu }T^{\rho }X^{\sigma }.}$

La ecuación de desviación geodésica se puede derivar de la segunda variación de la partícula puntual Lagrangiana a lo largo de las geodésicas, o de la primera variación de una Lagrangiana combinada. ^{[ se necesita aclaración ]} El enfoque lagrangiano tiene dos ventajas. En primer lugar, permite aplicar varios enfoques formales de cuantificación al sistema de desviación geodésica. En segundo lugar, permite formular la desviación para objetos mucho más generales que las geodésicas (cualquier sistema dinámico que tenga un momento indexado en un espacio-tiempo parece tener una generalización correspondiente de la desviación geodésica). ^{[ cita necesaria ]}

Límite de campo débil

La conexión entre la desviación geodésica y la aceleración de las mareas se puede ver más explícitamente al examinar la desviación geodésica en el límite del campo débil , donde la métrica es aproximadamente Minkowski, y se supone que las velocidades de las partículas de prueba son mucho menores que c . Entonces el vector tangente T ^μ es aproximadamente (1, 0, 0, 0); es decir, sólo el componente temporal es distinto de cero.

Las componentes espaciales de la aceleración relativa vienen dadas por

${\displaystyle A^{i}={R^{i}}_{0j0}X^{j},}$

donde i y j pasan solo por los índices espaciales 1, 2 y 3.

En el caso particular de una métrica correspondiente al potencial newtoniano Φ( x , y , z ) de un objeto masivo en x = y = z = 0, tenemos

${\displaystyle {R^{i}}_{0j0}=-{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial x^{i}\partial x^{j}}},}$

que es el tensor de marea del potencial newtoniano.

Ver también

• Bernhard Riemann
• Curvatura
• Glosario de geometría riemanniana y métrica

Referencias

1. Ohanian, Hans (1976). Gravitación y espacio-tiempo (1ª ed.). págs. 271–6.
2. Carroll, Sean (2004). Espaciotiempo y Geometría . págs. 144–6.
3. Wald, Robert (1984). Relatividad General . págs. 46–47.

• Stephani, Hans (1982), Relatividad general: una introducción a la teoría del campo gravitacional , Cambridge University Press, ISBN 0-521-37066-3.
• Wald, Robert M. (1984), Relatividad General , University of Chicago Press, ISBN 978-0-226-87033-5.

Enlaces externos

• Relatividad General y Cosmología Cuántica
• Tensores y Relatividad: Desviación geodésica Archivado el 16 de noviembre de 2011 en Wayback Machine.