teorema de alfvén

En la magnetohidrodinámica ideal , el teorema de Alfvén , o teorema del flujo congelado , establece que los fluidos conductores de electricidad y los campos magnéticos incrustados están obligados a moverse juntos en el límite de grandes números de Reynolds magnéticos . Lleva el nombre de Hannes Alfvén , quien propuso la idea en 1943.

El teorema de Alfvén implica que la topología magnética de un fluido en el límite de un número de Reynolds magnético grande no puede cambiar. Esta aproximación se rompe en las láminas actuales , donde puede producirse la reconexión magnética .

Historia

El concepto de campos magnéticos congelados en fluidos con conductividad eléctrica infinita fue propuesto por primera vez por Hannes Alfvén en un artículo de 1943 titulado "Sobre la existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas", publicado en la revista Arkiv för matematik, astronomi och fysik . Él escribió: ^[1]

En vista de la conductividad infinita, todo movimiento (perpendicular al campo) del líquido con relación a las líneas de fuerza está prohibido porque daría lugar a infinitas corrientes parásitas . Así, la materia del líquido está "sujeta" a las líneas de fuerza...

"Sobre la existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas" interpretó los resultados del artículo anterior de Alfvén "Existencia de ondas electromagnéticas-hidrodinámicas", publicado en la revista Nature en 1942. ^[2]

Más adelante en su vida, Alfvén desaconsejó el uso de su propio teorema. ^[3]

Descripción general

De manera informal, el teorema de Alfvén se refiere al resultado fundamental de la teoría magnetohidrodinámica ideal de que los fluidos conductores de electricidad y los campos magnéticos internos están obligados a moverse juntos en el límite de grandes números de Reynolds magnéticos ( R _m ) , como cuando el fluido es un conductor perfecto o cuando las escalas de velocidad y longitud son infinitamente grandes. Los movimientos de los dos están restringidos en el sentido de que todos los movimientos del fluido en masa perpendiculares al campo magnético dan como resultado un movimiento perpendicular coincidente del campo a la misma velocidad y viceversa.

Formalmente, la conexión entre el movimiento del fluido y el movimiento del campo magnético se detalla en dos resultados principales, a menudo denominados conservación del flujo magnético y conservación de la línea del campo magnético . La conservación del flujo magnético implica que el flujo magnético a través de una superficie que se mueve con la velocidad del fluido en masa es constante, y la conservación de la línea del campo magnético implica que, si dos elementos fluidos están conectados por una línea de campo magnético, siempre lo estarán. ^[4]

Tubos de flujo y líneas de campo.

El teorema de Alfvén se expresa frecuentemente en términos de tubos de flujo magnético y líneas de campo magnético.

Un tubo de flujo magnético es una región del espacio en forma de tubo o cilindro que contiene un campo magnético tal que sus lados son paralelos en todas partes al campo. En consecuencia, el flujo magnético a través de estos lados es cero y las secciones transversales a lo largo de la longitud del tubo tienen un flujo magnético igual y constante. En el límite de un número de Reynolds magnético grande, el teorema de Alfvén requiere que estas superficies de flujo constante se muevan con el fluido en el que están incrustadas. Como tal, los tubos de flujo magnético se congelan en el fluido.

La intersección de los lados de dos tubos de flujo magnético forma una línea de campo magnético, una curva que es paralela al campo magnético en todas partes. En fluidos en los que los tubos de flujo están congelados, se deduce que las líneas del campo magnético también deben estar congeladas. Sin embargo, las condiciones para las líneas de campo congeladas son más débiles que las condiciones para los tubos de flujo congelados o, de manera equivalente, para la conservación del flujo. ^[5]^{: 25}

declaración matemática

En términos matemáticos, el teorema de Alfvén establece que, en un fluido eléctricamente conductor en el límite de un gran número de Reynolds magnético, el flujo magnético $Φ B$ a través de una superficie de material abierta y orientable es advectada por un campo de velocidad macroscópico, dependiente del espacio y del tiempo ^{. nota 1]} $v$ es constante, o

{\frac {D\Phi _ {B}}{Dt}}=0,

donde $D / Dt = \partial/\partial t + (v \cdot \nabla)$ es la derivada advectiva .

Conservación del flujo

En la magnetohidrodinámica ideal , la inducción magnética domina sobre la difusión magnética en las escalas de velocidad y longitud que se estudian. Entonces se supone que el término de difusión en la ecuación de inducción gobernante es pequeño en relación con el término de inducción y se desprecia. La ecuación de inducción luego se reduce a su forma ideal:

{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right).

La conservación del flujo magnético a través de superficies materiales incrustadas en el fluido se deriva directamente de la ecuación de inducción ideal y de la suposición de que no hay monopolos magnéticos mediante la ley de Gauss para el magnetismo . ^[6]^[7]

$En un fluido eléctricamente conductor con un campo magnético B$ dependiente del espacio y del tiempo y un campo de velocidad $v$ , una superficie abierta, orientable y arbitraria $S 1$ en el instante $t$ es advectada por $v$ en un tiempo pequeño $δt$ hacia la superficie $S 2$ . La tasa de cambio del flujo magnético a través de la superficie a medida que es advectada de $S 1$ a $S 2$ es entonces

{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}{\frac {\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t)\cdot d\mathbf {S} _{1}}{\delta t}}.

La integral de superficie sobre $S 2$ se puede reexpresar aplicando la ley de Gauss al magnetismo para asumir que el flujo magnético a través de una superficie cerrada formada por $S 1$ , $S 2$ y la superficie $S 3$ que conecta los límites de $S 1$ y $S 2$ es cero. En el momento $t + δt$ , esta relación se puede expresar como

0=-\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}+\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}+\iint _{S_{3}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{3},

donde el sentido de $S 1$ se invirtió de modo que $d S 1$ apunte hacia afuera del volumen cerrado. En la integral de superficie sobre $S 3$ , el elemento de superficie diferencial $d S 3 = d l \times v δt$ donde $d l$ es el elemento de línea alrededor del límite $\partial S 1$ de la superficie $S 1$ . Resolviendo para la integral de superficie sobre $S 2$ se obtiene

\iint _{S_{2}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{2}=\iint _{S_{1}}\mathbf {B} (t+\delta t)\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \ \delta t\times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} ,

donde el término final se reescribió utilizando las propiedades de los productos triples escalares y se tomó una aproximación de primer orden . Sustituyendo esto en la expresión para $D Φ B / Dt$ y simplificando se obtiene

{\begin{aligned}{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\lim _{\delta t\to 0}\iint _{S_{1}}{\frac {\mathbf {B} (t+\delta t)-\mathbf {B} (t)}{\delta t}}\cdot d\mathbf {S} _{1}-\oint _{\partial S_{1}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} (t)\right)\cdot d\mathbf {l} .\end{aligned}}

Aplicar la definición de derivada parcial al integrando del primer término, aplicar el teorema de Stokes al segundo término y combinar las integrales de superficie resultantes da

{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=\iint _{S_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\cdot d\mathbf {S} _{1}.

Usando la ecuación de inducción ideal, el integrando desaparece y

{\frac {D\Phi _{B}}{Dt}}=0.

Conservación de la línea de campo

La conservación de la línea de campo también se puede derivar matemáticamente utilizando la ecuación de inducción ideal, la ley de Gauss para el magnetismo y la ecuación de continuidad de masa. ^[5]

La ecuación de inducción ideal se puede reescribir usando una identidad vectorial y la ley de Gauss para el magnetismo como

{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {B} -\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {v} ).

Usando la ecuación de continuidad de masa,

{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\rho =-\rho \nabla \cdot \mathbf {v} ,

la ecuación de inducción ideal se puede reorganizar aún más para dar

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)=\left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\cdot \nabla \right)\mathbf {v} .

De manera similar, para un segmento de línea $δ l$ donde $v$ es la velocidad del plasma en masa en un extremo y $v + δ v$ es la velocidad en el otro extremo, la velocidad diferencial entre los dos extremos es $δ v = (δ l \cdot \nabla) v$ y

{\frac {D\delta \mathbf {l} }{Dt}}=(\delta \mathbf {l} \cdot \nabla )\mathbf {v}

que tiene la misma forma que la ecuación obtenida anteriormente para $B / ρ$ . Por lo tanto, si $δ l$ y $B$ son inicialmente paralelos, permanecerán paralelos.

Si bien la conservación del flujo implica la conservación de la línea de campo (ver § Tubos de flujo y líneas de campo), las condiciones para estas últimas son más débiles que las condiciones para las primeras. A diferencia de las condiciones para la conservación del flujo, las condiciones para la conservación de la línea de campo pueden satisfacerse cuando un término fuente adicional paralelo al campo magnético está presente en la ecuación de inducción ideal.

Matemáticamente, para que las líneas de campo se congelen, el fluido debe satisfacer

\left({\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}-\nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\right)\times \mathbf {B} =0,

mientras que, para que se conserve el flujo, el fluido debe satisfacer la condición más estricta impuesta por la ecuación de inducción ideal. ^[8]^[9]

Teorema de circulación de Kelvin

El teorema de circulación de Kelvin establece que los tubos de vórtice que se mueven con un fluido ideal están congelados en el fluido, de manera análoga a cómo los tubos de flujo magnético que se mueven con un fluido MHD ideal perfectamente conductor están congelados en el fluido. La ecuación de inducción ideal toma la misma forma que la ecuación de vorticidad $ω = \nabla \times v$ en un fluido ideal donde $v$ es el campo de velocidades:

{\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}).

Sin embargo, la ecuación de inducción es lineal, mientras que existe una relación no lineal entre $\nabla \times v$ y $v$ en la ecuación de vorticidad. ^[9]

Trascendencia

El teorema de Alfvén indica que la topología del campo magnético no puede cambiar en un fluido perfectamente conductor. Sin embargo, en el caso de flujos complicados o turbulentos, esto daría lugar a campos magnéticos muy enredados con topologías muy complicadas que deberían impedir los movimientos de los fluidos. Los plasmas astrofísicos con altas conductividades eléctricas no suelen mostrar campos tan complicados y enmarañados. La reconexión magnética parece ocurrir en estos plasmas a diferencia de lo que se esperaría de las condiciones de congelación del flujo. Esto tiene implicaciones importantes para las dinamos magnéticas . De hecho, una conductividad eléctrica muy alta se traduce en números de Reynolds magnéticos elevados, lo que indica que el plasma será turbulento. ^[10]

Fluidos resistivos

Incluso para el caso no ideal, en el que la conductividad eléctrica no es infinita, se puede obtener un resultado similar definiendo la velocidad de transporte del flujo magnético escribiendo:

\nabla \times ({\bf {{w}\times {\bf {{B})=\eta \nabla ^{2}{\bf {{B}+\nabla \times ({\bf {{v}\times {\bf {{B}),}}}}}}}}}}

en el que, en lugar de la velocidad del fluido $v$ , se ha utilizado la velocidad del flujo $w$ . Aunque, en algunos casos, este campo de velocidades se puede encontrar utilizando ecuaciones magnetohidrodinámicas , la existencia y unicidad de este campo vectorial depende de las condiciones subyacentes. ^[11]

Congelación del flujo estocástico

Las opiniones sobre la congelación del flujo en plasmas altamente conductores son incompatibles con el fenómeno de la estocasticidad espontánea. En algunos libros de texto, sin embargo, la congelación del flujo magnético debería mantenerse cada vez mejor a medida que la difusividad magnética tiende a cero (régimen no disipativo). Pero la sutileza es que números de Reynolds magnéticos muy grandes (es decir, resistividad eléctrica pequeña o conductividades eléctricas altas) generalmente se asocian con números de Reynolds cinéticos altos (es decir, viscosidades muy pequeñas). Si la viscosidad cinemática tiende a cero simultáneamente con la resistividad, y si el plasma se vuelve turbulento (asociado con números de Reynolds altos), entonces las trayectorias lagrangianas ya no serán únicas. El argumento de la congelación del flujo, analizado anteriormente, no se aplica en general y se debe emplear la congelación del flujo estocástica. ^[12]

El teorema de congelación de flujo estocástico para la magnetohidrodinámica resistiva generaliza la congelación de flujo ordinaria discutida anteriormente. Este teorema generalizado establece que las líneas del campo magnético de grano fino $B$ están "congeladas" en las trayectorias estocásticas, resolviendo la siguiente ecuación diferencial estocástica , conocida como ecuación de Langevin :

d{\bf {x}}={\bf {u}}({\bf {x}},t)dt+{\sqrt {2\eta }}d{\bf {W}}(t)

en el que $η$ es la difusividad magnética y $W es el$ ruido blanco gaussiano tridimensional (ver también proceso de Wiener ). Los muchos vectores de campo "virtuales" que llegan al mismo punto final deben promediarse para obtener el campo magnético físico en ese punto. . ^[13]

Ver también

Notas explicatorias

^ En magnetohidrodinámica (MHD), el campo de velocidad global $v$ es una combinación lineal de los movimientos medios de las especies individuales ponderados por la masa respectiva de las especies. Según el teorema de Alfvén, el campo magnético está restringido a moverse con esta velocidad general, pero no necesariamente con la velocidad de las especies individuales. Como tal, el teorema de Alfvén no garantiza que las especies individuales dentro del fluido estén restringidas para moverse con el campo magnético, y las corrientes pueden fluir perpendicularmente al campo magnético siempre que la velocidad total coincida con la velocidad del campo magnético. ^{[ cita necesaria ]}

Referencias

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^ Alfvén, Hannes (1942). "Existencia de Ondas Electromagnéticas-Hidrodinámicas". Naturaleza . 150 (3805): 405. Bibcode : 1942Natur.150..405A. doi :10.1038/150405d0. S2CID 4072220.
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